湖北省石首市2021-2022学年高二数学下学期期中试题

1、湖北省石首市2021-2022学年高二数学下学期期中试题考试时间：120分钟值分 :150分注意事项：1本试卷分为试题卷和答题卡，答题前请先将自己的姓名、学校、班级填写在答题卡上对应的位置。2选择题的答案请用 2B 铅笔以正确的填涂方式填写在答题卡上对应的位置，非选择题请将答案填写在相应的答题栏内，写在试题卷上的答案无效。一、单选题（每小题5分，共8小题40分）1已知函数可导，且，（）A3B 0C 3D 62“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（）A36

2、0种B480种C600种D720种3已知函数的导函数为，且满足，则曲线在处的切线方程是（）ABCD4用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5m，要使它的容积最大，则容器底面的宽为（）A0.5mB0.7mC1mD1.5m5正方体六个面上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种A420B600C720D7806函数，的图象大致为（）ABCD7已知，展开式中x的系数为，则等于（）ABCD8定义在上的函数的导函数为，且，若对任意恒成立，则关于的不等式的解集为（）ABCD二

3、、多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共4小题20分）9以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）ABCD10已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（）A展开式共有7项B所有二项式系数和为128C二项式系数最大的项是第4项D展开式的有理项共有4项11将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（）A第2行第2个数是B当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的

4、两项相等，且同时取得最大值C（，）D（，）12已知函数有两个零点，则（）Aa的取值范围为BCD三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13已知某质点的位移S与移动时间t满足，则质点在t2的瞬时速度是_14在的展开式中，含项的系数为_（结果用数值表示）153个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且仅有两个老师相邻，则不同站法的种数是_（结果用数字表示）16设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“密切函数”，区间称为“密切区间”设函数与在上是“密切函数”，则实数t的取值范围是_四、解答题（共6小题70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（1）4

5、个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法;（2）4法;（3）10法;（4）4法?18（12分）已知函数（1）求函数的单调区间;（2）经过点作函数图象的切线，求该切线的方程19（12分）在的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为（1）求n的值;（2）求展开式中所有的有理项;（3）求展开式中系数最大的项20（12分）已知函数（1）讨论的极值（2）当时，若无最小值，求实数a的取值范围21（12分）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润与投资金额x（单位:万元）满足：（且为常数），且曲线与直线在点相切；乙产品的利润与投资金额的算术平方根成正比，且其图象经过

6、点（1）分别求甲、乙两种产品的利润与投资金额间的函数关系式;（2）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元问怎样分配这40万元，才能使该公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?（结果保留3位小数，参考数据:，）22（12分）已知函数，为的导数（1）证明:当时，（2）设，证明：有且仅有2个零点数学参考答案单选题 1D 2C 3C 4C 5D 6C 7A 8B多选题 9BC 10BD 11AC 12BCD三、填空题 138 1412 15432 16第12题：【答案】B，C，D【解析】，因为，所以当时，单调递增，函数至多有一个零点; 当时，当时

7、，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，最大值为:，当时，所以函数至多有一个零点; 当时，而，当时，当时，所以函数在，内各有一个零点，所以，因此选项A不正确; 选项B:因为，所以，因此本选项正确; 选项C:因为，当时，所以，因此，构造新函数，因为，所以，单调递减，因此当时，又因为，所以，而，因此，所以本选项正确; 选项D:，令，显然有，令，显然，因此有:，设，所以有，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以，令，即，因为，所以，单调递增，因为，所以，而，所以，因为，所以，当时，单调递减，因此有，即，所以本选项说法正确，故选：BCD第16题：【答案】【解析】因为函数与在上是“密切函

8、数”，则即对于恒成立，所以，即对于恒成立，令，则，当时，;当时，; 所以，所以，所以，可得，所以实数t的取值范围是:故答案为:四、解答题17【解】：（1）每个小球有4种方法，共有种放法; 2分（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法; 5分（3）9个空中插入3个板即可，种放法; 7分（4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法 10分18【解】：，故， 1分取，则， 2分故函数的单调递减是;单调递增是 6分设切点为，则 7分，解得， 11分故切线方程为，即 12分19【解】：由题意知:， 1分则第4项的系数为，倒数第4项的系数为，则有即， 3分由（1）

9、可得，当时所有的有理项为，4分即，8分设展开式中第项的系数最大，则， 10分 11分，故系数最大项为 12分20【解】：因为，所以 1分令，得或 2分当时，由，得;由，得则在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，没有极大值 4分当时，由，得或;由，得则在上单调递减，在和上单调递增，函数有极大值，极小值 6分当时，恒成立，则在上单调递增，函数无极值 7分当时，由，得或;由，得则在上单调递减，在和上单调递增，函数有极大值，极小值综上，当时，函数有极小值，无极大值当时，函数有极大值，极小值;当时，函数无极值；当时，函数有极大值，极小值 9分（2）当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，则有最

10、小值，故不符合题意 10分当时，由（1）可知在上单调递减，在和上单调递增，因为无最小值，所以，即，解得; 11分当时，由（1）可知在上单调递增，所以无最小值，所以符合题意;综上，实数a的取值范围为 12分21【解】：函数的定义域为且，因为点在直线上，故有 1分又曲线与直线在点处相切，故有，得， 3分则甲产品的利润与投资金额间的函数关系式为 4分由题意得乙产品投资金额与利润的关系式为:，将点代入上式，可得， 5分所以乙产品的利润与投资金额间的关系式为; 6分设甲产品投资x万元，则乙产品投资万元，且，则公司所得利润为， 7分故有， 8分令，解得，令，解得，所以为函数的极大值点，也是函数的最大值点 10分万元所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司获得最大利润为21.124万元 12分22【解】：（1）证法1:当时，要证，只要证 1分设，则， 3分所以在上单调递减，;所以，当时， 5分证法2:， 1分设，当时，可证:，当时，设，则，单调递增，所以，所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增所以 5分证法3:当，即时，; 1分当时，要证，只要证，即，易知，当时，单调递增，而单调递减，所以当时，而，所以综上所述，当时， 5分（1）证：， 6分由（1）知，当时，在上单调递增，且，所