广东省揭阳市文彦中学2023年高三数学理期末试题含解析

1、广东省揭阳市文彦中学2023年高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若等比数列中满足，则 ( )(A) (B) (C) (D) 参考答案：D略2. 函数y=cos2(x)的一条对称轴为（）Ax=Bx=C x=Dx=参考答案：D【考点】弧长公式；二倍角的余弦【分析】利用倍角公式可得函数y=cos（2x）+，由2x=k，kZ，解得对称轴方程，k取值为1即可得出【解答】解：=cos（2x）+，令2x=k，kZ，解得对称轴方程为：x=+，kZ，当k=1时，一条对称轴为x=故选：D3. 在中，已知，那么一定是

2、 A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形参考答案：B略4. 已知集合;,则中所含元素的个数为 (）A B C D参考答案：D5. 函数的反函数的图象大致是A B C D参考答案：D6. 定义两个实数间的一种新运算“*”：.对任意实数给出如下结论：； ； ；其中正确的个数是（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 参考答案：D略7. 已知函数f（x）=，g（x）=lnxx2+，实数a，b满足ab1，若?x1a，b，?x2（0，+），使得f（x1）=g（x2）成立，则ba的最大值为（）A2B2C2D3参考答案：D【考点】函数的图象【分析】求出g（x）max=g（1）=

3、3，令t=x1（t0），设h（t）=2（t），作函数y=f（t）的图象如图所示，由f（t）=3得t=1或t=4，即可得出结论【解答】解：g（x）=lnxx2+，g（x）=，0 x1时X，g（x）0；x1时，g（x）0，g（x）max=g（1）=3f（x）=2+（x1），令t=x+1（t0），设h（t）=2+（t），作函数y=h（t）的图象如图所示，由f（t）=3得t=1或t=4，ba的最大值为3故答案为：38. 已知定义在R上的可导函数f(x)满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）A. (,2)B. (,1)C. (2,+)D. (1,+)参考答案：A【分析】构造函数，根据已知条件判断出的单

4、调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集为.故选：A【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9. 已知函数的周期为2,当时,如果，则函数的所有零点之和为（ ） A2 B4 C6 D8参考答案：D10. 设又记 则 A B C D参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I分别为的重心、内心，若GIx轴，则的

5、外接圆半径R= .参考答案：5 12. 函数的单调递增区间为 参考答案：由知当即时，为增函数. ,函数的增区间为.13. 定义是向量和的“向量积”，它的长度，其中为向量 和的夹角，若，则 .参考答案：14. 已知与之间具有很强的线性相关关系，现观测得到的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为，其中的值没有写上当不小于时，预测最大为 ；参考答案： 略15. 已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M=K| =，当K1，K2M时，若对于任意的r2，不等式|c|恒成立，则实数c的最小值为参考答案：【分析】由=+，可得A，B，C共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC

6、为AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得=r，可得K的轨迹为圆，求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值【解答】解：由=+，可得A，B，C共线，由=，可得|cosAKC=|cosBKC，即有AKC=BKC，则KC为AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得=r，即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r在r2递增，可得r2=，即有|K1K2|AB|，即，由题意可得c，故c的最小值为故答案为：16. 若正项等比数列满足，则公比 ， 参考答案：，试题分析：因为，所以，因

7、为，所以，因为，所以，所以，所以答案应填：，17. 非零向量m,n满足3|m|=2|n|, 且n(2m+n),则m,n夹角的余弦值为 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设函数f（x）=|xa|+5x（1）当a=1时，求不等式f（x）5x+3的解集；（2）若x1时有f（x）0，求a的取值范围参考答案：【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；分类讨论；不等式的解法及应用【分析】（1）当a=1时，|x+1|+5x5x+3，从而解得；（2）当x0时，f（x）=|xa|+5x0恒成立，从而转化为故只需使当1x0时，f（x）=|xa|+5x0，

8、从而化简可得（4x+a）（6xa）0，从而分类讨论解得【解答】解：（1）当a=1时，|x+1|+5x5x+3，故|x+1|3，故4x2，故不等式f（x）5x+3的解集为；（2）当x0时，f（x）=|xa|+5x0恒成立，故只需使当1x0时，f（x）=|xa|+5x0，即|xa|5x，即（xa）225x2，即（xa5x）（xa+5x）0，即（4x+a）（6xa）0，当a=0时，解4x6x0得x=0，不成立；当a0时，解（4x+a）（6xa）0得，x，故只需使1，解得，a4；当a0时，解（4x+a）（6xa）0得，x，故只需使1，解得，a6；综上所述，a的取值范围为a4或a6【点评】本题考查了绝对

9、值不等式的解法及分类讨论的思想应用19. （本小题满分10分） 已知的解为条件，关于的不等式的解为条件.（1）若是的充分不必要条件时，求实数的取值范围. （2）若是的充分不必要条件时，求实数的取值范围. 参考答案：解：（1）设条件的解集为集合A,则 设条件的解集为集合B,则若是的充分不必要条件,则是的真子集（2）若是的充分不必要条件, 则是的真子集20. （选修41：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D（）证明：DB=DC；（）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径参考答案：【考点】与圆有

10、关的比例线段【专题】直线与圆【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得ABE=BCE，由已知角平分线可得ABE=CBE，于是得到CBE=BCE，BE=CE由已知DBBE，可知DE为O的直径，RtDBERtDCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=设DE的中点为O，连接BO，可得BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30得到CFBF进而得到RtBCF的外接圆的半径=【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G由弦切角定理可得ABE=BCE，而ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE又DBBE，DE为O的直径，DCE=90D

11、BEDCE，DC=DB（II）由（I）可知：CDE=BDE，DB=DC故DG是BC的垂直平分线，BG=设DE的中点为O，连接BO，则BOG=60从而ABE=BCE=CBE=30CFBFRtBCF的外接圆的半径=【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力21. 已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），点A（1，）在椭圆C上（）求椭圆C的标准方程；（）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M、N时，能在直线y=上找到一点P，在椭圆C上

12、找到一点Q，满足=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】（）方法一、运用椭圆的定义，可得a，由a，b，c的关系，可得b=1，进而得到椭圆方程；方法二、运用A在椭圆上，代入椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（）设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，D为线段MN的中点，则D为线段PQ的中点，求得y4的范围，即可判断【解答】解：（）方法一：设椭圆C的焦距为2c，则c=1，因为A（1，）在椭圆C上，所以2a=|AF1|+|AF2|=+=2，因此a=，b2=a2c2=1，故椭圆C的方程为+y2=1；方法二：设椭圆C的焦距为2c，则c=1，因为A（1，）在椭圆C上，所以c=1，a2b2=c2， +=1，解得a=，b=c=1，故椭圆C的方程为+y2=1；（）设直线l的方程为y=2x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，），Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），由消去x，得9y22ty+t28=0，所以y1+y2=，且=4t23