等差数列 完整版课件

1.数列:按照一定顺排列的一列数,记作{an}a1,a2,a3,…

an,…2.通项:如果数列{an}的第n项an与n的关系以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.复习3.递推公式:如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任意一项与它的前一项an-1(n>1)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.1.某此系统抽样所抽取的样本号分别是:7,19,31,43,55,67,79,91,103,115.2.某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m)是:

7500,8000,8500,9000,10000,10500.(观察以下数列)引入这两个数列有何共同特征从第2项起,每一项与其前一项之差等于同一个常数.请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义交流1.等差数列如果一个数列从第2项起,每一项与其前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.(1)第2项起等于同一常数(2)等差数列递推公式:相邻两项,后减前探究判断、证明一个数列a是否为等差数列的主要依据练习:判断下列数列中哪些是等差数列,哪些不是？如果是,写出首项a1和公差d,如果不是,说明理由.2.等差数列的通项公式根据等差数列的定义得到方法一:不完全归纳法2.等差数列的通项公式将所有等式相加得方法二累加法知三求一例1:(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项？如果是,是第几项？解:⑴由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得

a20=8+(20-1)×(-3)=-49.⑵由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1).由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项.例2:在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.解:由题:

a1+4d=10

a1+11d=31

a1=-2

d=3∴这个数列的首项a1是-2,公差d=3.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费？3．等差中项

如果a,A,b

成等差数列,那么A

叫做a

与b

的等差中项

.4.等差数列通项公式的推广解析:由等差数列的通项公式得思考:已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,求a12,a3n.解法一:依题意得:

a1+2d=9

a1+8d=3解得a1=11

d=-1∴这个数列的通项公式是:an=11-(n-1)=12-n

故a12=0,a3n

=12–3n.解法二:1.等差数列{an}中,a1＋a5＝10,a4＝7,求数列{an}的公差2.在数列{an}中a1=1,an=an+1+4,则a10=

.3.等差数列{an}的前三项依次为a-6,-3a-5,-10a-1,则a等于()

A.1B.-1C.-D.5、等差数列的通项及图象特征解析:

思考结论:首项是1,公差是2的无穷等差数列的通项公式为an＝2n-1相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点,如右图例如:性质:设若则等差数列的性质数列{an}是等差数列,m、n、p、q∈N+,且m+n=p+q,,则am+an=ap+aq.判断:可推广到三项,四项等注意:等式两边作和的项数必须一样多(2)已知等差数列{an}中,a3和a15是方程x2－6x－1=0的两个根,则a7＋a8＋a9＋a10＋a11=

(3)已知等差数列{an}中,a3＋a5=

－14,2a2＋a6=

－15,则a8=

跟踪训练(1)已知等差数列{an}中,

3.更一般的情形,an=,d=小结:1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b(k、b为常数)am+(n-m)db为a、c的等差中项AA2b=a+c4.在等差数列{an}中,由m+n=p+qam+an=ap+aq注意:上面的命题的逆命题是不一定成立的；5.在等差数列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===

跟踪训练300<83+5×(n-1)500巩固练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6,-3a-5,-10a-1,则a等于()

A.1B.-1C.-D.2.在数列{an}中a1=1,an=an+1+4,则a10=

.(-3a-5)-(a-6)=(-10a-1)-(-3a-5)提示:提示:d=an+1-an=-43.在等差数列{an}中a1=83,a4=98,则这个数列有多少项在300到500之间？-35提示:n=45,46,…,8440例4例5

已知三个数成等差数列,它们的和是12,积是48,求这三个数.

解:设三个数为a-d,a,a+d,则解之得故所求三数依次为2,4,6或6,4,2例6如图,三个正方形的边AB,BC,CD的长组成等差数列,且AD＝21cm,这三个正方形的面积之和是179cm2.(1)求AB,BC,CD的长；(2)以AB,BC,CD的长为等差数列的前三项,以第9项为边长的正方形的面积是多少？3,7,11a9=35S9=12255、等差数列的性质已知数列为等差数列,那么有性质1:若成等差数列,则成等差数列.证明:根据等差数列的定义,即成等差数列.如成等差数列,成等差数列.推广:在等差数列有规律地取出若干项,所得新数列仍然为等差数列.(如奇数项,项数是7的倍数的项)性质2:设若则性质3:设c,b

为常数,若数列为等差数列,则数列及为等差数列.性质4:设p,q

为常数,若数列、均为等差数列,则数列为等差数列.例8(1)已知等差数列{an}中,a3＋a15=30,求a9,a7＋a11解:(1)∵a9是a3和a15的等差中项∴(2)已知等差数列{an}中,a3＋a4＋a5＋a6＋a7=150,求a2＋a8的值∵7+11=3+15(2)∵3+7=4+6=5+5∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7=5a5=150即a5=30故a2＋a8=2a5=60∴a7＋a11=a3＋a15=30∴a3＋a7=a4＋a6=2a5(1)等差数列{an}中,a3＋a9＋a15＋a21=8,则a12=(2)已知等差数列{an}中,a3和a15是方程x2－6x－1=0的两个根,则a7＋a8＋a9＋a10＋a11=2

(3)已知等差数列{an}中,a3＋a5=

－14,2a2＋a6=

－15,则a8=－19

跟踪训练例8解:(1)∵a9是a3和a15的