挑战程序设计竞赛-求素数算法课件

挑战程序设计竞赛-求素数算法

挑战程序设计竞赛-求素数算法

素数（primenumber），又称质数，指在大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1和本身两个因数的数）。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。素数在数论中有着非常重要的地位。最小的素数是2，也是素数中唯一的偶数；其他素数都是奇数。素数有无限多个，所以不存在最大的素数。

围绕著素数存在很多问题、猜想和定理。著名的有“孪生素数猜想”和“哥德巴赫猜想”。关于素数的算法是信息学竞赛和程序设计竞赛中经常出现的基础算法，虽然题目各不相同，但都要涉及验证一个自然数是否为素数的问题。下面探讨寻找一定范围内素数的几个算法。素数（primenumber），又根据以上思路，可编写以下的试除法函豹：其实，可以对素数的定义进行进一步的分析。要判断数n是否为素数，不需要用n一直除到n-1才能确认，而只需要除到√n而就可以了。例如，n=15，则能被15整除的除数有1、3、5，对于除数5就不用判断，因为n被3整除时其商就是5，也就表示n能被5整除了。根据以上思路，可编写以下的试除法函豹：

验证一个自然数是否为素数，这个问题早在中世纪就引起人们的注意，当时人们还在寻找一个公式可以一劳永逸地解决求素数的问题，直到高斯提出了素数产生的不确定性后，人们才认识到没有一个公式可以简单确认素数，从而人们才转去寻找各种验证素数的方法。

一、试除法试除法是根据素数的定义得出的一种方法，用需要验证的数n逐个除以从2开始至n-1中的所有数，若能被某一个数整除，表示有一个因数，说明数n不是素数：若直到n-1都不能被整除，则说明该数是素数。

根据以上思路，可编写以下的试除法函数：

试除法判断是否为素数的函数:intis_prime(intn){inti;if(n<=1)return0;//n不是素数，返回零

for(i=2;i<=n;i++){if(n%i==0)return0;//判断n能否被i整除

}return1;}

其实，可以对素数的定义进行进一步的分析。要判断数n是否为素数，不需要用n一直除到n-1才能确认，而只需要除到√n而就可以了。例如，n=15，则能被15整除的除数有1、3、5，对于除数5就不用判断，因为n被3整除时其商就是5，也就表示n能被5整除了。试除法判断是否为素数的函数:改进后的是否为素数的函数:intis_prime(intn){inti;if(n<=1)return0;//n不是素数，返回零

for(i=2;i*i<=n;i++)//for(inti=2;i<=sqrt(n);++i)

{if(n%i==0)return0;//判断n能否被i整除

}return1;}

改进后的程序中，在for循环中以i*i既i的平方与n值进行比较，就可以显著地减少循环的次数，提高验证的效率。这里用了i*i<=n来代替sqrt(n)，可以避免调用函数sqrt()，其消耗时间较多，特别是在大量数据测试的时候消耗很明显。改进后的是否为素数的函数:求出1000以内的所有素数:#include<cstdio>intis_prime(intn){for(inti=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0)return0;return1;}intmain(){inti,n=1000,num=0;for(i=2;i<=n;i++){if(is_prime(i))printf("%3d",i);}return0;}求出1000以内的所有素数:

在上面的代码中，通过is_prime()函数来验证指定区间(2～1000)中的每一个数是否为素数，而is_prime()函数中又通过循环进行验证。这种双循环会导致程序执行效率不高。试除法求解n以内素数的算法。复杂度是o(n*sqrt(n))，如果n很小的话，这种算法不会耗时很多。但是当n很大的时候，比如n=10000000时，n*sqrt(n)>30000000000,数量级相当大。在一般的电脑上它不是一秒钟跑不出结果，它是好几分钟都跑不出结果的。

这时可考虑采用另一种寻找素数的算法：著名的筛法(Eratosthenes)求素数方法。在上面的代码中，通过is_prime

二、筛法

Eratoslhenes算法假设有一个筛子，用来存放2~100之间的所有数。由于偶数都能被2整数，因此偶数都不是素数(2除外)，则将这些数筛去，得到如图-A所示的数据(设置了背景色的数字将被筛去)

接着再将3的倍数筛去，得到如图-B所示结果。接下来继续将5的倍数筛去，得到图-C所示结果。最后再将7的倍数筛去，得到如图-D所示结果，即可得到100以内的所有素数。原理很简单，就是当i是素数的时候，i的所有的倍数必然是合数。如果i已经被判断不是素数了，那么再找到i后面的素数来把这个素数的倍数筛掉。下面用图来演示如何用这种方法求100以内的素数。二、筛法

图-A将2的倍数筛去图-B将3的倍数筛去

图-C将5的倍数筛去图-D将7的倍数筛去图-A将2的倍数筛去

从前面的图示中可看到，在使用Eratosthenes算法进行筛选时，只需要执行4次筛选就完成了100以内的素数的筛选，效率非常高。如果要筛选的数据范围更大，由于只需要选择已经筛选过的素数对后面的数进行筛选，因此可快速筛选出后面的素数。Eratosthenes算法比试除法的效率要高得多。

根据筛法所示的过程编写相应的程序，具体代码如下：从前面的图示中可看到，在使用Erato#include<cstdio>#defineMAX1000000boolprime[MAX];intmain(){inti,j,num=0;for(i=2;i<MAX;i++)prime[i]=true;for(i=2;i<MAX;i++){if(prime[i])for(j=i+i;j<MAX;j+=i)prime[j]=false;}

for(i=2;i<MAX;i++){if(prime[i]==true){num++;printf("%8d",i);}}printf("\nTotal=%d",num);return0；}#include<cstdio>

通过上面的筛法实现可以看出，用筛法直接判断素数是很有限的，筛法受内存的限制，要判断n是否为素数，需要开大小为n的bool数组。当n很大的时候，显然是不可取的。所以我们可以折中以上两种算法，将试除法和筛法结合在一起。再深入理解，你确实会发现一个本质问题。从2到√n中，存在很多不必要的判断，比如，n不能被 2整除的话，n必然不能被4整除，必然不能被2的倍数整除。所以，我们再结合筛选法，优化处理小于√n的所有素数。这样在大量测试数据的时候，效率就提高很多了。通过上面的筛法实现可以看出，用筛法直接voidprime(intn){memset(isprime,0,sizeofisprime);

memset(p,0,sizeof p);np=0;

for(inti=2;i<=n;i++){if(!isprime[i])p[np++]=i;for(intj=0;j<np&&p[j]*i<=n;j++){isprime[p[j]*i]=1;if(i%p[j]==0)break;

}}

}boolBrute_Force3(intn){for(inti=0;p[i]*p[i]<=n;i++)if(n%p[i]==0)returnfalse;returntrue;

}voidprime(intn)挑战程序设计竞赛-求素数算法课件11醉翁亭记

1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。

2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。

3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。

4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。

关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例

环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？

明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见《我的积累本》。目标导学四：解读文段，把握文本内容1．赏析第一段，说说本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。

明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集中到最佳处。再写琅琊山“蔚然而深秀”，点山“秀”，照应上文的“美”。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”来。作者利用空间变幻的手法，移步换景，由远及近，为我们描绘了一幅幅山水特写。2．第二段主要写了什么？它和第一段有什么联系？明确：第二段利用时间推移，抓住朝暮及四季特点，描绘了对比鲜明的晦明变化图及四季风光图，写出了其中的“乐亦无穷”。第二段是第一段“山水之乐”的具体化。3．第三段同样是写“乐”，但却是写的游人之乐，作者是如何写游人之乐的？明确：“滁人游”，前呼后应，扶老携幼，自由自在，热闹非凡；“太守宴”，溪深鱼肥，泉香酒洌，美味佳肴，应有尽有；“众宾欢”，投壶下棋，觥筹交错，说说笑笑，无拘无束。如此勾画了游人之乐。4．作者为什么要在第三段写游人之乐？明确：写滁人之游，描绘出一幅太平祥和的百姓游乐图。游乐场景映在太守的眼里，便多了一层政治清明的意味。太守在游人之乐中酒酣而醉，此醉是为山水之乐而醉，更是为能与百姓同乐而醉。体现太守与百姓关系融洽，“政通人和”才能有这样的乐。5．第四段主要写了什么？明确：写宴会散、众人归的情景。目标导学五：深入解读，把握作者思想感情思考探究：作者以一个“乐”字贯穿全篇，却有两个句子别出深意，不单单是在写乐，而是另有所指，表达出另外一种情绪，请你找出这两个句子，说说这种情绪是什么。明确：醉翁之意不在酒，在乎山水之间也。醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。这种情绪是作者遭贬谪后的抑郁，作者并未在文中袒露胸怀，只含蓄地说：“醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。”此句与醉翁亭的名称、“醉翁之意不在酒，在乎山水之间也”前后呼应，并与“滁人游”“太守宴”“众宾欢”“太守醉”连成一条抒情的线索，曲折地表达了作者内心复杂的思想感情。目标导学六：赏析文本，感受文本艺术特色1．在把握作者复杂感情的基础上朗读文本。2．反复朗读，请同学说说本文读来有哪些特点，为什么会有这些特点。(1)句法上大量运用骈偶句，并夹有散句，既整齐又富有变化，使文章越发显得音调铿锵，形成一种骈散结合的独特风格。如“野芳发而幽香，佳木秀而繁阴”“朝而往，暮而归，四时之景不同，而乐亦无穷也”。(2)文章多用判断句，层次极其分明，抒情淋漓尽致，“也”“而”的反复运用，形成回环往复的韵律，使读者在诵读中获得美的享受。(3)文章写景优美，又多韵律，使人读来不仅能感受到绘画美，也能感受到韵律美。目标导学七：探索文本虚词，把握文言现象虚词“而”的用法用法

文本举例表并列 1.蔚然而深秀者；2.溪深而鱼肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧哗者表递进 1.而年又最高；2.得之心而寓之酒也表承接 1.渐闻水声潺潺，而泻出于两峰之间者；2.若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝；3.野芳发而幽香，佳木秀而繁阴；4.水落而石出者；5.临溪而渔；6.太守归而宾客从也；7.人知从太守游而乐表修饰 1.朝而往，暮而归；2.杂然而前陈者表转折 1.而不知人之乐；2.而不知太守之乐其乐也虚词“之”的用法用法

文本举例表助词“的” 1.泻出于两峰之间者；2.醉翁之意不在酒；3.山水之乐；4.山间之朝暮也；5.宴酣之乐位于主谓之间，取消句子独立性

而不知太守之乐其乐也表代词 1.望之蔚然而深秀者；2.名之者谁(指醉翁亭)；3.得之心而寓之酒也(指山水之乐)【教学提示】

更多文言现象请参见《我的积累本》。三、板书设计路线：环滁——琅琊山——酿泉——醉翁亭风景：朝暮之景——四时之景山水之乐(醉景)风俗：滁人游——太守宴——众宾欢——太守醉宴游之乐(醉人)

心情：禽鸟乐——人之乐——乐其乐与民同乐(醉情)

可取之处

重视朗读，有利于培养学生的文言语感，并通过节奏划分引导学生理解文意，突破了仅按注释疏通文义的桎梏，有利于引导学生自主思考；不单纯关注“直译”原则，同时培养学生的“意译”能力，引导学生关注文言文的美感，在一定程度上有助于培养学生的核心素养。

不足之处

文章难度相对较高，基础能力低的学生难以适应该教学。

11醉翁亭记

1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。

11醉翁亭记

1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见《我的积累本》。目标导学四：解读文段，把握文本内容1．赏析第一段，说说本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集中到最佳处。再写琅琊山“蔚然而深秀”，点山“秀”，照应上文的“美”。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”来。作者利用空间变幻的手法，移步换景，由远及近，为我们描绘了一幅幅山水特写。2．第二段主要写了什么？它和第一段有什么联系？明确：第二段利用时间推移，抓住朝暮及四季特点，描绘了对比鲜明的晦明变化图及四季风光图，写出了其中的“乐亦无穷”。第二段是第一段“山水之乐”的具体化。3．第三段同样是写“乐”，但却是写的游人之乐，作者是如何写游人之乐的？明确：“滁人游”，前呼后应，扶老携幼，自由自在，热闹非凡；“太守宴”，溪深鱼肥，泉香酒洌，美味佳肴，应有尽有；“众宾欢”，投壶下棋，觥筹交错，说说笑笑，无拘无束。如此勾画了游人之乐。4．作者为什么要在第三段写游人之乐？明确：写滁人之游，描绘出一幅太平祥和的百姓游乐图。游乐场景映在太守的眼里，便多了一层政治清明的意味。太守在游人之乐中酒酣而醉，此醉是为山水之乐而醉，更是为能与百姓同乐而醉。体现太守与百姓关系融洽，“政通人和”才能有这样的乐。5．第四段主要写了什么？明确：写宴会散、众人归的情景。目标导学五：深入解读，把握作者思想感情思考探究：作者以一个“乐”字贯穿全篇，却有两个句子别出深