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文档简介
函数的极值与导数单位:哈尔滨市第十三中学作者:吴海云人教版选修2-2高中数学一、复习与引入:
上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调性这个问题.其基本的步骤为:①求函数的定义域;②求函数的导数f’(x);③解不等式f’(x)>0得f(x)的单调递增区间;
解不等式f’(x)<0得f(x)的单调递减区间.
函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(2)是函数的一个极小值。
右图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:x2y0二、新课——函数的极值:
一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.请注意以下几点:(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念.oaX1X2X3X4baxy(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题.
由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有f’(x)=0.但反过来不一定.
如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小.
假设x0使f’(x)=0.那么在什么情况下x0是f(x)的极值点呢?oaX00bxy
如上图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此,x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即f’(x)>0;x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即f’(x)<0.oaX0bxy
同理,如上图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即f’(x)<0;在x0的右侧附近只能是增函数,即f’(x)>0.
从而我们得出结论:若x0满足f’(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果f’(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f’(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.
从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:
(1)如果在x0附近的左侧f’(x)>0,右侧f’(x)<0,那么,f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f’(x)<0,右侧f’(x)>0,那么,f(x0)是极小值.如何求函数的最大(小)值呢?
假设y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在[a,b]一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在极值点或区间端点取得。由于可导函数在区间(a,b)内的极值只可能在使f’(x)=0的点取得,因此把函数在区间端点的值与区间内使f’(x)=0的点的值作比较,最大者必为函数在[a,b]上的最大值,最小者必为最小值。
求函数y=f(x)在[a,b]的最大(小)值步骤如下:(1)求函数f(x)在开区间(a,b)内所有使f’(x)=0的点;(2)计算函数f(x)在区间内使f’(x)=0的所有点和端点的函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。例1.已知函数y=x3-4x+4,(1)求函数的极值,并画出函数的大致图象;(2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值解:(1)y’=(x3-4x+4)’=x2-4=(x+2)(x-2)令y’=0,解得x1=-2,x2=2x-2(-2,2)2y’+0-0+y↗极大值↘极小值↗当x变化时,y’,y的变化情况如下表:∴当x=-2时,y有极大值且y极大值=
当x=2时,y有极小值且y极小值=-(2)f(-3)=7,f(4)=9=,
与极值点的函数值比较得到该函数在区间[-3,4]上最大值是9,最小值是-例2.求y=(x2-1)3+1的极值.解:y’=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2
令y’=0解得x1=-1,x2=0,x3=1.
当x变化时,y′,y的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y’-0-0+0+y↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x=0时,y有极小值且y极小值=0例3.求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值解:先求导数,得y’=4x3-4x,
令y’=0即4x3-4x=0,
解得x1=-1,x2=0,x3=1.
导数y’的正负以及f(-2),f(2)如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13
从上表知:
当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4练习题1.函数y=1+3x-x3有(
)(A)极小值-1,极大值1(B)极小值-2,极大值3(C)极小值-2,极大值2(D)极小值-1,极大值3D2.函数y=(x2-1)3+1的极值点是()(A)极大值点x=-1(B)极大值点x=0(C)极小值点x=0(D)极小值点x=1C4.若函数y=x3+ax2+bx+27在x=-3时有极大值,在x=1时
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