2015年考试说明-理科数学高考

2015年理科数学高考考试说考试性命题原则及指导思2015年普通高等学校招生考试（卷）数学学科题，将按照“有利于考查，体现课改理念，力求平稳推进”的指导思想，依据《2015年普通高等学校招生考试大纲（课程标准实验版》和《2015年普通高等学校招生考试（卷）考试内一、考核目标与考查要数学学科题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学2015高考理科数学考试说（A（B题进行比较、判断、，具备利用所学知识解决简单问题的能力．（C进行分析、研究、，并且加以解决．想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力次的标志．实施运算过程中遇到而调整运算的能力．数据处理要依据统计中的方法对数据进行整理、分析，并确定给定的实际问题创新意识是理性思维的次表现．对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，移到不同情境中去的能力从而检测出考生理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式．应用问题题要坚持“贴近生活，演绎推理：演绎推理是由一般性题推出特殊性命题的一种推理模式，是一必然理．演绎推理的主要形式，就是由、推出结论的式推理理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．即PQ1→Q1Q2→Q2Q3→…→QnQ（P表示已知条件，Q表示结论“执因导果”，从已知出发，顺QP1→P1P2→P2

肯定题设而否定结论从而导出推理而得主要步骤是否定结论→推导出→结数形结合的思想：数形结合的思想就是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，有利于达到优化解题的目的．对数学方法与数学思想的考查是对数学知识在更次上的抽象和概括的考查．考查个性品质是指考生的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，认识数实事求是的科学态度解答试题，树立战胜的信心，体现锲而不舍的精神．二、考试内ABC√√√√（续表ABC√√√√√√√√√√函数的单调性、最大（小）√√√√√√√√√√√指数函数yax与对数函数ylogx互为反函数a（a0a1√√ 简单幂函数（yxyx2yx3,y,yx2x√√√√√（续表ABC√√√√√√√yAsin(x)√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√ab≥ab(a,b≥02√（续表ABC√√常见基本初等函数的导数公式√√简单复合函数（f(axb的复合函数）√√函数的极值、最大（小）√√√1C0（C为常数）(xx1Q*(sinx)cosx(cosx)sinx(ex)ex(ax)axlna(a0，且a1)(lnx)1(logx)1loge(a0，且a1 入√√√√√√√√√√√√√√√√（续表ABC√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√定理√√√√√（续表21：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4：平行于同一条直线的两条直线平行定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补ABC√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√取有限值的离散型随量及其分布√√√√n√取有限值的离散型随量的均√考试形式与试卷结一、考试形二、考试时间及分120150三、试卷结56四、试题难0.7以上的试题为容易题，0.4～0.70.4以下的试题为难题．试卷由三种题型示BA{xx20}Bxx240B （D）xZABpxA,2xB（A）p：xA,2x（C）p：xA,2x

（B）p：xA,2x（D）p：xA,2xa,bcd为实数，且cdabacbd （D）既不充分也不必要条ab0cd0a

a

a

a a{1,12,3}yxaRa （D）alog36blog510clog714 f(x)ax33x21f(xxx0a （A）(2,

（B）(,

（D）(,P O1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，x的始边为射线OA，终边为射线OPP作直线OAP 垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)， y=f(x在[0,]y1y1O y1O y1y1O y1O 9．设函数

f(

(0)的最小正周期为2f(xf(x，yf(x)在区间(02yf(x在区间34yf(x在区间(02yf(x在区间34已知等比数列{ana1a23a2a36a7 设等差数列{an}nSn，Sm－1＝2，Sm＝0，Sm＋1＝3 x不等式组x2y≤4D 1A1千克、B12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得（A）1800元（B）2400元（C）2800元（D）3100

1i2 （D）平面向量a12b42)cmabmRcacm

（D）过点(3,1)作圆(x1)2+y2=1A，BAB 353OM3522

（D）lCC的对称轴垂直，lCA，B3|AB|C2倍，C322

已知F为抛物线y2xAB在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB2（O为坐标原点，则△ABO与△AFO （C）178

一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz（1,0,1（1,1,0（0,1,1（0,0,0 已知二面角l的大小为60mnmnmn所 ABC-ABC的侧棱与底面垂直,9,

334114PA1B1C1的中心,PAABC

3

4

6ABCDA1B1C1D1OBD的PCC1OPA1BD所成的角为，则sin的取值范围是

3 3

63

6,22 （D）[22 t∈[-1，3]s是否 是否s=（A）36 （B）24 （C）18 （D）61220233 2448455577885001 47617 20甲的成 乙的成7878964467894664s1s2x1x2分别表示甲、乙两（A）x1x2，s1 （B）x1x2，s1（C）x1x2，s1 （D）x1x2，s15

5

5

（D）5节日前夕，在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独442（A）4

2

（C）4

（D）855

的值 f(x)Rx≥0时，f(x)=x2－4x的解集 设当xθ时，函数x＝sinx－2cox取得最大值，coθ= ．如图，从气球A上测得正前方的河流的B，C （用四舍五入法将结果精确到个位．sin670.92cos670.393sin370.60，cos370.80 3设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c．若bc2a，3sinA5sinB,则角C 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值 已知函数f（x）=4x+a（x>0,a>0）在x=3时取得最小值，则 xDE1设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，AD1AB,BE2DE1 2AC(1,2为实数)，则12的值为 x2y2

的左焦点为F，直线 m与椭圆交于点A、B．当△FAB的周最大时，△FAB的面积 设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x,y)，则|PA||PB|的最大值是 某几何体的三视图，则该几何体的体积 2424242主视 侧视442俯视ABCDA1B1C1D1中，M、NCD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小 设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)按从大到小排成的三位数记为D(a)（例如a815，则I(a)158，D(a)851．阅读的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图．由图中数据可知a ．若要从身高在[120,130)，[130，140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样方法选取18人参加一项活为．P1，P2，…，Pn为平面n个点，在平面PP1，P2，…，Pn的PP1，P2，…，Pn的一个ABA，B的中位点．现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C段AB上，则C是A，B，C的中位点A，B，C，D④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题 （写出所有真命题的序号A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数(x组成的集合：对于函数(xM，使得函数(x的值域包含于区间[MM．例如，当(xx3(x)sinx(xA(xB ①设函数f(x)的定义域为D，则“f(xA的充要条件是“bRaDf(a)bf(xBf(xf(xg(x)f(xA,g(xBf(xg(xBf(xaln(x2

x21

（x2aR）f(xB其中的真命题 （在等差数列{ana1a38a4a2a9的等比中项，求数列{an的首项、n项和．已知数列{annSna11an0anan1Sn1，其中an2an是否存在，使得{an510元的价格nN）的函数解析式；100天玫瑰花的日需求量（单位：枝 16171617枝？请说，要么不出现音乐；每盘击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得100200分（即获得200分．设每次击鼓出现音乐的12设每盘获得的分数为X，求X的分布列玩三盘，至少有一盘出现音乐的概率是多少在△ABCA，B，Ca，b，c2cos2ABcosBsin(AB)sinB 2求cosA2若a ，b5，求向量BA在BC方向上的投影2ACA沿直CAB，然后从BCA处下山，甲AC50米/2分钟后，ABB1B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分路AC长为1260米，经测量cosA12，cosC3 ABC3分钟，乙步行的速度应控制在什么ABC—A1B1C1AA1⊥底B1C1的中点，PAD的中点．ABCPA1BC平行的llADD1A1；设(Ⅰ)lABMACNA—A1M—N，在三棱锥PABCAPB=90∠PAB=60ABBCCAPABPCABCBAPCPBCMNNP求二面角A-NP-MxOy中，经过点(0,2)kl与椭PQ．k

x2y2y

1OPOQABkM：(x＋1)2＋y2=1N：(x－1)2＋y2=9PMN内切P的轨迹为曲线C．ClPM都相切的一条直线，lCA，BP的半径最x2y2 1

C证明：OTPQ（O为坐标原点|TF|T|PQf(xf(xf(1)ex1f(0)x1x22f(xf(x1x2axb，求(a1)b2x22xa,xf(x)ln

x

aA(x1,f(x1，B(x2,f(x2(Ⅰ)函数f(x)的单调区间f(x)A，Bx20x2x1f(x)A，Baf(xexax2bx1a,bRe2.71828g(xf(xg(x在区间[0,1f(10f(x在区间(0,1内有零点，求a已知f(xexex2x(Ⅰ)f(x)的单调性g(x)f(2x4bf(xx0g(x)0，求b2已知1.4142 1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.0012Ⅵ．题型示例参考解 3．25

3

211．16 dnSn

2d8，

)2(ad)(a所以a1d4d(d3a10a14d0a11d3，即数列{an}401nSn4nSn

3n2．22．(Ⅰ)anan1Sn1an1an2Sn11，an1(an2an)an1，an10an2an(Ⅱ)a11a1a2S11a21．由(Ⅰ)a31．2a2a1a3，解得4an2an4，由此可得{a2n114a2n14n3{a2n34a2n4n1．an2n1an1an2，因此存在4，使得{an3．(Ⅰ)n16y5n5(16n10n8010n80,nyny

(nN) n（i）X可能的取值为607080XXPXEX600.1700.2800.7761617枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元YYPY

EY550.1650.2750.16850.54Y由以上的计算结果可以看出，DX<DY16枝玫瑰花时，利润波动相对较小．另EX<EY16枝玫瑰花．1717枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元YYPY

EY550.1650.275 由以上的计算结果可以看出，EX<EY1716174．(Ⅰ)X可能的取值为：10，20，100200P(X10)C111(11)23，P(X20)C2

12(11)13(

( P(X100)C3(1)3(11)01，P(X200)C010(1

( XX-P38381818Ai（i=1,2,3，P(A)P(A)P(A)P(X200)1 1P( 131

511(1

因此，玩三 至少有一盘出现音乐的概率是511X

EX1032031001 X因此，多次之后分数减少的可能性更大5．(Ⅰ)由2cos2ABcosBsinAB)sinBcosAC3 [cos(AB)1]cosBsin(AB)sinBcosB35即cosABcosBsinAB)sinB35则cosABB3，即cosA3 (Ⅱ)由cosA30Aπ，得sinA4 由正弦定理，有 ，所以，sinBbsinA 2sin abABBπ4根据余弦定理，有(42)252c225c35解得c1或c7（舍去故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB 226．(Ⅰ)在△ABCcosA12cosC3 0Aπ,0Bπ,0CsinA

5,sinC4 AB+C=πsinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC=53+124=6313513 sin

=sin

=BCsinABsinCAC4651260=1040米sin AB1040由(Ⅰ)BCsinAAC=500设乙出发t(t8DE处,DE2AE2AD22AEADcosA即DE2 14000t10000当t

35DE22 35设甲所用时间为t1，乙所用时间为t2，乙步行速度为v由题意t1260126分钟 t=2+1040+1500=11500分钟 3126115003 v 解不等式得1250v625 故为使两位旅客在C处相互等待的事件不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[1250625（单位：米/分钟） lA1BC外，BCA1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，lA1BC．由已知，AB=AC，DBC的中点，所以，BC⊥ADl⊥AD．AD，AA1ADD1A1ADAA1相交．lADD1A1．(Ⅱ)A1PAAE⊥A1PEEEF⊥A1MFAF．由(Ⅰ)知，MNAEA1AEA1A1MN．A1MAEFA1M⊥AF．故∠AFEA—A1M—N的平面角（设为=PADMABAP12Rt△AAP中，AP=5Rt△AAM中，AM=2 AA1AP=5AA1AA1AP=5AA1AM=225所以sin=AE 251sin2所以cos1sin2

12125A—AM—N的余弦值为15 x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系PADM，N

,,1)，N(31 31

3,,1323所以AM ,,1)，AA(0,0,1)，NM(3,0,0)3 AA1Mn1x1y1z1

即 故(x,y,z)

3, 11 23 x1y3

从而 z13取x11，则y1 3

3,0)A1MNn2(x2y2z2nAM

nAM

(x,y,z)

3,

即即

故有

2

(x,y,z)(3,0,0) 23

1y

从而

2

y22z21n2021设二面角A—A1M—N的平面角为θ,又θ为锐角

153,(0,2,25A—AM—N的余弦值为15 8ABD，ADOPO、CO、CD．PAD为等边三角形．POABC．所以OCPPCABC3不妨设AB=4，则PD=2，CD ，OD=1，PO33Rt△OCDCO

OD2OD2

PO2PO2所以在Rt△POC中，sinOCPPO 3 PCABC所成的角的正弦值为34DE(Ⅱ)，过D作DE⊥PA于点E，连结CE．CDPAB，故CDPADE又DEPA， PACDE．所以CEPA．所以∠DECBAPC3由(Ⅰ)知，CD= ，又在正△中，DE=33Rt△CDE

，所以cosCEDDE 5 BAPC的余弦值为55ABDPO⊥ABOCD．因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB平面ABC=AD，POABC．AB=BC=CAEACEO∥CDOOB,OE,OP的方向分别x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz．3 33 3

33,0，P（0,0, 33=所以CP123,3，而OP0,0,3为平面ABC的一个法向量．设为直线PC与平面ABC所成的角，=CP|CPCP|CP||OP

000016PCABC所成的角的正弦值为34由(Ⅰ)，有AP1,0,3AC223,0APCnx1y1z1

从而

3z12x123y1x13y11z11n

BAPC为锐角．ABPm(0,10)，则nnmnnmBAPC的余弦值为55

5131319．(Ⅰ)BDO由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，AO⊥BD，OC⊥BD．因为AO，OC平面AOC内，且AOOCO，BDAOC．BOHNH，PH．M，NAD，ABNH∥AO，MN∥BD．AO⊥BDNH⊥BD．因为NH，NP平面NHP，且NHNPN，所以BD⊥平面NHP．HPNHPBD⊥HP．OC⊥BD，HPBCD，OCBCDHP∥OC．HBO中点，PBC(Ⅱ)NQ⊥ACQMQ．MN⊥NP，所以MNQA-NP-M的一个平面角3由(Ⅰ)知，△ABD，△BCD为边长为2的正三角形，所以AOOC 由俯视图可知，AO⊥平面BCD．3OCBCDAO⊥OCRt△AOCAC6BR⊥ACAB2(AC2在△ABC中，AB=AB2(AC22ABC内，NQ⊥AC，BR⊥ACNQ∥BR．NABQAR的中点，NQBR10 MQ

104 所以在等腰△MNQcosMNQ24

105A-NP-M的余弦值是105OC，OBBCDOC⊥OBOA，OB，OCO为坐标原点，以OB,OC,OAx轴，y轴，z轴的正方向，建立空间Oxyz．3则A(0，0，3 3M，NAD，AB的中点，又由(Ⅰ)知，PBC的中点，所以M(1,0,3) 3) 3,0)N(,

P(2于是AB1,03BC1,3,0MN(1,0,0)，NP

3,3) ABCn1x1y1z1

即

有

3)

从而

3z1

3y13取z11，则x1 ，y11，所以n1(3,1,1)．设平面MNP的一个法向量n2(x2,y2,z2)，则3nMN

nMN

(x2,y2,z2)(1,0,0)

x2 即 有

从而n nNP (x,y,z)

3,

3)

3y

3z

2

z21n2(0,1,1)．A-NP-M的大小为，(3,1,1)5(3,1,1)55A-NP-M的余弦值是10510．(Ⅰ)l2ykx 2

x22

(kx

1

1k2x222kx10 lPQ8k241k24k220 k的取值范围为

k 或k 22 22, 2 (Ⅱ)P(x1y1Q(x2y2OPOQ(x1x2,y1y2)xx42k 12k y1y2k(x1x2)22 A(2,0B(0,1AB2,1，所以OPOQABx1x22(y1y2)k2由(Ⅰ)知k 或k2

222 210．(Ⅰ)2(41)233(41)(41)233(41)233

a212所以椭圆C的离心率ec 212 由(Ⅰ)C

x22

y2Q的坐标为Q的坐标为(02355lxlM，NlM，N的坐标分别为(x1kx1+2)，(x2,kx2+2)|AM|2=(1k2)x2，|AN|2=(1k2)x2 又|AQ|2=x2y2)2(1k2x2 |AQ

|AM

|AN2

(1k2)x 2122x2122x21y=kx+2

x22

y2=1(2k21)x28kx60 由△(8k)24(2k2160k23xx262k2x1

2k2

， 代入①中并化简，得

10k2Qy=kx+2k=y2x10(y2)23x218由③及k2>3，可知0<x2<3，即x(6, (0,6) 又(0235满足10(y2)23x218x(6,6) Q（x，y）C内，所以1≤y≤1．又由10(y2)218+3x2，有(y

299且1≤y≤1[,5[,

y(,2 ]31 31Q的轨迹方程为10(y2)23x218x(6,6)y(1235 PP（x,y）,PMN3 3x2y21(x椭圆（左顶点除外），

2)CP(xy由于PMPN2R2≤2，所以RP的圆心为（2,0）时，R=2P的半径最长时，其方程为(x2)2y24．l90lyAB23l90r1Rlxlx1k 1k

1k=±24

22k=4y=22

x+2

1，并整理得

8x80解得 462，所以AB x 18 k2AB184AB=2312．(Ⅰ)由已知可得

7a2a2b2a2

a26b22，C的标准方程是

1 (Ⅱⅰ)由(Ⅰ)可得，F的坐标是(20T点的坐标为(3mTFkTF

m

mm0PQ

1PQxmy2mm0PQx2xmy2xmyP(x1y1Q(x2y2PQC的方程联立，得x2y2 消去x，得(m23)y24my20其判别式16m28(m230yy

4m，yy

x

m(

m2y)4

1

m2．

m2PQM的坐标为

6m2

2m)m2OM

m3OT

mMOT3OT（ⅱ）由（ⅰ）m2m2(xx(xx)2(yy (m21)[(yy)24yy 1(m21)(m21))24m2224(m2 m21(m m21(m |PQ

1(1(m214m21(43m21

m2

m1|TF||PQ|TF|最小时，T点的坐标是(3,1或(31|PQx1f(0f(xf(1)ex1x1x2,f(0f(1)e12

exx1x22g(xf(xex1x，则g(xex1g(xxRx0f(xf(00x0f(xf(00f(x区间为(0(Ⅱ)h(xexa1)xb

exx1x2，且单调递增区间为(02f(x1x2axbh(x02（1）当a10时，当x0且x1b时，h(x)0，与h(x)≥ a（2）a10(a1)b0（3）a10h(x)h(x)exa1xln(a1h(x0xln(a1)h(x0故当xln(a1)时，hx (a1)(a1)ln(a1)b≥0．则有(a1)b≤(a1)2(a1)2ln(a1)．令Fx2x2lnx(x0)，则Fx(12lnx)e当0x 时，F(x)0；当xe时，F(x)0ex

e

e2从而(a1)be2e当a e时，(a1)bee (a1)be214．(Ⅰ)f(x)的单调递减区间为(1，单调递增区间为[10和(0Af(x1,Bf(x2ABf(x1f(x2)1．x<0f(x)求导，得f(x)2x2．2因为x1x20时，所以(2x12)(2x22)1，所以2x1202x22因此12)

当且仅当(2x2)2x21x3x1 f(x)A，Bx2x1x1x20x2x10时f(x1f(x2，故x10x2x10f(x)的图象在点(x1,f(x1

2x2)xx2a x20f(x)的图象在点(x2,f(x2 122 nx1(xx)，即 xln122

1x x2

lnx1x2 x10x21x10

ln(2x12)

x2ln(2x211x0，则

011 h(x1)(111 h(x1)h(0ln21aln2x1(1