小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第5讲神奇的九

第五讲第五讲神奇的九知识站牌六年级寒假

讲（一）级秋季的九级暑期的计数级暑期的规律数论中弃九法的学习及弃九法的应用漫画释义第11级下超常体系教师版 课堂引入大家一定非常喜欢数字谜吧，你能在一分钟内回答下面的数字谜吗？首先不同的汉字代表不同的数字

树 中中中中中中中中第一个为10899=9801，第二个为123456799111111111，其中这两个数字谜中的“树”都是9，99教学目标1、掌握加减法数字和与9的关系2、掌握多位数的计算中数字和与9的关系3、了解9在余数与数字谜中的应用知识点回顾1. 314, 31415, 31415926， 【分析】314(mod9）=8，31415(mod9）=5，31415926(mod9）=4，142857(mod9=02. 并检查自己填的是否正确【分析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4□32□是9的倍数，而4329,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．依次填入3、6，因为4332618是9的倍数，所以43326是9的倍数.3. 【分析】(85430)5(mod9)4. 检验下面的算式是否正确（1）46872×9537=447156404 （2）383831【分析】（1）46872是9的倍数，447156404÷9余8，即左边是9的倍数，而右边不是，因此算式.2第11级下超常体系教师版第五讲注：弃九法仅能判断出错误，若左右两边余数相等，等式不一定成立.如：18×365=6480.左右两边均是9的倍数，但算式却是错误的.经典精讲一、整除中的9二、进位借位中的99三、弃九法：“弃九法”也叫做弃九验算法，利用这种方法可以验算加、减、乘、除、乘方计算的结果是否错误。把一个数的各位数字相加得9的数去掉，直到和是一个一位数，这个数就叫做原来数的弃九数．例如，3217：2+7=9 例题思路进位、模块二：数论中的9：法应用例1通过枚举一些数回答下面的问题.(1)A的数字之和为5,B的数字之和为

,

A+B的数字之和为____.(2)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A+B进位1次,则A+B的数字之和为____.(3)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A-B没有借位,则A-B的差的数字之和为____.(4)A的数字之和为15,B的数字之和为13,A-B借了1次位,则A-B的差的数字之和为____.通过上面几道例题,你能否总结出数的加减与数字之和或差的关系.（学案对应：超常1）【分析】(1)5+3=8,14+12=26,104+3=107,…可发现结果为5+3=8;第11级下超常体系教师版 (3)555-535=20,5127-4126=11,…15-13=2(4)555-418=137,5622-5503=119,…15-13+9=119.例26 1209【分析】由加法的运算性质可知，这个竖式中，十位，百位相加均进位了，因此共进位2次，由例例3（1）111111×999999乘积的各位数字之和为______.（2）33333336666666乘积的各位数字之和为_____.（3）1993×123×999999乘积的各位数字之和为______.

k个9

k个9

)．1989个

乘积的各位数字之和为_______.于是我们采用添项凑整，简化运算.原式=111111×(1000000-1)=111111×1000000-111111×1=111111000000-11111111110888889数字之和为9654法2：原式=111111×(1000000-1)=111111×1000000-111111×1=111111000000-111111213×6=18；33×66=2178；333×666=221778；3333×6666=22217778；……4第11级下超常体系教师版第五讲n个3

22...2177...78(n-1)个2(n-1)个7

，则原式数字之和26176863法2：原式9999999222222222222220000000222222222222217777778所以，各位数字之和为7963法3：原式99999992222222222222200000002222222是有点繁琐．则M×999999=×1000000-1）=1000000-=abcdef000000-abcdef相减时借位6次，所以差的数字之和为（a+b+c+d+e+f）-（a+b+c+d+e+f）+6×9=54（4）

999...91000k个9 k个0

MM

-的数字之和+9k=9k1989个1 1989 1989个9 1989

..99

99...9919891989个

的各个位数字之和为：1989=17901例41234567891011121314…20082009除以9，商的个位数字是_________.写，所得到的数也能被9整除.由于200992232，所以除以9为4.第11级下超常体系教师版 里面介绍了一个检验加法是否正确的方法九法。一定错误。。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、和乘方的结果是否正确同样适用。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是的。但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式两端一定弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的数字谜问题。例5（2010年第15届华杯赛决赛第5题） 【分析】一个数与其各位数字之和模9同余，显然这个数除以9余6，这是一个同余类，其内部的数从小到大排成一个等差数列，公差为9首项为6，末项为2004，其个数为例62008 【分析】法一（位值原理）：设这样的四位数为abcd，则abcdabcd2008，即1001a101b11c2d2008，则a1或2．⑴若a2，则101b11c2d6，得bc0，d3，abcd2003；⑵若a1，则101b11c2d1007，由于11c2d11929117，所以101b1007117890，所以b8，故b为9，11c2d100790998，则c为偶数，且11c982980，故c7，由c为偶数知c8，d5，abcd1985；法二（同余）：设这样的四位数为abcd，则abcdabcd20086第11级下超常体系教师版第五讲由于abcdabcd(mod9)，所以abcdabcd2(abcd)20081(mod9)，那么abcd5(mod9)，即abcd除以9的余数是5，又不超过299929，所以abcd可以为5、14、23.如果是5，则abcd2008(abcd)200852003，满足；如果是14，则abcd2008(abcd)2008141994，但1994数字和是23，不是14，不满足；

cd

2008(abcd)2008231985

，满足。所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：200319853988．例7258，等式成立则其中未被选中的数字是_.□□+□□□+□□□□=201029，_____.□□□□+□□□+□□－□=2010.学解题”与“能力”的差的最小值是_______.最大值是_____.【分析】（1）根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差9的整数x相同.右边的余数是3，当x=3时，左右余数会相等.所以减数处的数字是3.除以9的余数相同.当x=6时成立，即未选中的数字为6.“于是差最小为1842-95=1757.第11级下超常体系教师版 1948-25=1923例8(第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛)右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字

1、2、34、5、6、7、89，同的汉字代表不同“由．北奥运会京梦想成真而：“D”＋“E”＋“F”＋“G”最大为：8＋7＋6＋5=26最小为：2＋3＋4＋5=14所以：“D”＋“E”＋“F”＋“G”=18“A”、“B”、“C”、“D”、“E”、“F”、“G”分别代表2-8所以：“A”“B”＋“C”=2＋3＋……8-18=17可以得出：“A”、“B”、“C”必是下面四组中的一组：8、7、2 8 8、5、4 7ABCDEFG

ABC+DEFGABC0根据数字和分析，加数的数字之和为A+B+C+D+E+F+G=35，和的数字和为一位，所以十位没有向百位进位。所以有CG10,BF1C,进而有BFG9234所以有G2,3,4当G2时，C8,B3,F4,A17836,有63857426380当G3时，C7,B4,F2,A17476,有64758236470当G4时，C6,B3,F2,A17638,有836752483608第11级下超常体系教师版第五讲动手尝试用弃九法验算乘除法运算是否正确413×212=875566=208知识点总结x(2)若A的数字之和为x,B的数字之和为y,A-B借位k次,则差的数字之和为x-y+9kk个9k个9

)乘积的各位数字之和为9k.附加题

将12345678910111213依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是________【分析】本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和．1～9共有9个数字，1099共有90个两位数，共有数字：902180(个),100～999共900个三位数，共有数字：90032700(个),所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，(19979180)36022，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位．从100开始的第602个三位数是701，第603个三位第11级下超常体系教师版 数是702，其中2未写出来．因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702978(组)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为927．

(第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛)在图中的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么满足要求的不同算式共有多少种？十六届+华杯初赛2011【分析】显然华=1．和的数字之和除以9的余数应该与加数上的数字之和除以9的余数相等，根据位进1位，下面就十位和个位的进位情况讨论：以共有1×6×6+2×6×6+2×6×6=180种．93. 【分析】由于一个数除以9的余数等于这个数的各位数字之和除以9的余数，那么这五个四位数的最高的前2位和最小为10+10+23+24+34=101，而和的数字均是奇数.因此前三位最小为099+1088+2547+2646+3735=111154. 9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、．10第11级下超常体系教师版第五讲

第十一2006【分析】法1：显然十位和百位都出现了进位，所以有以下的等式：“第”=1，“十”“华”=9，如果“届”“赛”没有出现进位，那么“一”“杯”=10，“届”“赛”=6，那么“届”和“赛”一个是2现进位，那么“一”“杯”9，“届”“赛”16，所以7个汉字代表的7个数字之和等于1991635．经过尝试“十”、“华”、“一”、“杯”、“届”、“赛”分别是3、6、4、5、7、9时可满足条件(答案不止一种)．

1为1，则202ab8917，其中满足除以9余1的只有10，所以ab10，

A3333333332010个3

，那么A的各位数字之和等于

【分析

10A303303330

3330个2010个3 2010 2006个3

333273009370370370369700 2006个

，数字和为66810256705.家庭作业1. 【分析】100-50+5×9=952. 右边的加法算式中，每个“□”内有一个数字，所有“□”内的数字之和最大可达到．第11级下超常体系教师版11【分析】法1：末尾和最大24，十位和最大18，百位和最大18，24+18+18=60法2：三个数字相加，最高可进2位.上式中均可进2位，因此方框内的数字之和最大为+4+9×6=60

555333乘积的各位数字之和为_____. 2007个3【分析】

555333 2007个3

5552007个5

999N999 2007个9 2007个9，N为整数，由结论可知乘积的各位数字之2007×9=180634. 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9的余数.【分析】数，但是由于1999与1999被9除的余数相同，2000与2000被9除的余99，5. 九位数则所有这些九位数的最大公因数为．【分析】

本题的范围很大，必须缩小入手点．涉及因数倍数问题，首先思考这类数本身具有的特点．因为123945，所以无论次序如何，它们的数字之和总可以被9整除，因而9为所有这些九位数的公因数．99这362880个数的最大公因数．6. 个．【分析】839的数字和后(即数字和的82倍)是9的倍数；而82,91，所以数字和是9的倍数，原数是839747的倍数，12第11级下超常体系教师版第五讲依次检验：74721494符合，而74732241和74742988均不符合．所以满足条件的四位数只有1个．7. 在右边的加法算式中，若每个字母均表示0到9中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不相同，也不与算式中已有的数字相同，则A与B乘积的最大值是多少？

CFDG10 AB【分析】因为ECF9DG10AB，等号两边除以9的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以9的余数相等，而所有数字的和是9的倍数，所以两边都是9的倍数，即10AB是9的倍数，由于AB7815，所以AB8，再根据“和一定，差小积大”，所以A、B的取值为3、5时，A与B乘积的最大值是15．8. 在右面的加法竖式中如果不同的汉字代表不同的数使得算式成立 十六届华杯初赛 【分析】一需要进两位，有两种可能：9为了让“华杯初赛”尽量大，“”应尽量大，“十”应尽量小(1)超常班学案第11级下超常体系教师版139减数，用竖式做减法运算时，有两次借位.那么甲乙两数之差的各位数字之和是____.【分析】9-10+2×9=17【分析】根据弃九法可得知，乘积是310313171113，适当组合可得知两数为317217和1113143，和为360.【超常班学案3】将从1开始的到103的连续奇数依次排列写成一个多位数：a=13579111315171921……9799101103.则数a共有_____位，数a除以9的余数是___.a6.所以，a被9除的余数是（7+6）被9除的余数，是4.【超常班学案4】将数字0-9填入下面十个方框内，使等式成立，则共有_____种不同的填法.xy相同，只有x,y均为9的倍数时符合要求.再由数字谜的特点可知，1，0，9的位置固定，如下图.CF9DG10AB.C+D=11=3+8=4+7有2种成立的情况.因此共有53!2!60种不同的填法.123班学案【123班学案1】用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是 14第11级下超常体系教师版 第五讲【分析】由于一个数除以9的余数等于这个数的各位数字之和除以9的余数，那么这五个四位数的，．注：最值问题，需要证明出理论最值，之后构造成功