概率统计与随机过程：第二章 随机变量及其概率分布

第二章随机变量及其分布随机变量随机变量的分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量函数的分布

从概率的定义我们知道，概率是自变量为集合的特殊的函数；为了能用变量，函数及微积分等工具来得出事件发生的概率、研究随机现象，引进了概率论中的另一重要概念――随机变量。§2.1随机变量例1、抛一枚硬币1次，观察正(H)、反(T)面朝上的情况。例2、从含有2个黑球，3个白球的盒子中任取3个球，观察取出球的情况。若令X表示取出的3个球中黑球的个数例3、观察某网站在一段时间内被点击次数。例4、观察某厂生产灯泡的使用寿命t.定义：设E是一个随机试验，Ω＝是其样本空间，如果对每一个，有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X是E的一个随机变量。

（1）由定义可知，随机试验E的随机变量不是唯一的。例2中，我们也可以定义随机变量Y：“3个球中白球的个数”，则Y也是随机试验E的一个随机变量。说明（2）引进随机变量后，随机事件可以用随机变量在实数轴上某一个集合中取的值来表示。所以，研究随机事件的概率就转化为研究随机变量取值的概率。§2.2随机变量的分布函数

对于随机试验而言，仅仅知道它可能的出现的随机事件并不重要，重要的是这些事件出现的可能性有多大。相对于随机变量X来说，就是X取什么值不重要，重要的是X取这些值的概率有多大。注意（1）分布函数的定义域为一切实数；（2）分布函数在x处的取值所表示的是随机变量X在上的概率。定义：设X是一个随机变量，是一个实数，函数就称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。分布函数的性质：（1）单调不减，即若，则有（2）且（3）右连续，即特别需要说明的是：随机变量的分布函数具有上述3条性质；反之也成立。例1、判断以下函数是否为分布函数：

关于分布函数还有一些常用公式：（1）（2）（3）（4）（8）（5）（6）（7）§2.3离散型随机变量离散型随机变量：随机变量的可取值范围，有的可以排列出来，有的不能排列出来。把可取值能按一定的次序一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量。定义：如果离散型随机变量X的一切可能取值为，则称P(X=xk)＝pk为随机变量X的概率分布列，简称分布列或分布律。分布律又常常表示为表格的形式：Xx1x2

…xk…Pp1p2

…pk…一、离散型随机变量的分布列例1、一射手对某一目标进行射击，一次击中的概率为0.8（1）求一次射击的分布列；（2）求到击中目标为止所需的射击次数的分布列。解（1）设{X=0}＝{击不中目标}，{X=1}＝{击中目标}，则：

p1＝P(X=0)＝0.2，p2＝P(X=1)＝0.8所以分布列为：X01

pk0.20.8所以Y的分布律为：pk＝P(Y=k)＝0.2k-1×0.8，k=1,2,…或者Y的分布律用表格表示为

Y12…k…

pk0.80.2×0.8…0.2k-1×0.8…

（2）设射击到击中目标为止，射击的次数是随机变量Y，则Y∈{1,2,3,…,k,…}。例2、把3个球任意的放到4个盒子中，令X表示落到第1个盒中球的个数，求X的分布列。解：分布律的性质：反之，若数列满足这两条性质，则一定是某一离散型随机变量的分布律。（1）（2）例3、设离散型随机变量X的分布列为求正数a的值。解：根据性质所以，例4、设离散型随机变量X的分布列其中，为已知，求常数C。解：对随机变量而言，除了要研究其分布列以外，还要研究其分布函数。根据上一节的内容可得离散型随机变量X的分布函数为

从几何上来看，这个函数的图像应是阶梯型例5、把3个球任意的放到4个盒子中，令X表示落到第1个盒中球的个数,求X的分布函数。解：X的分布列为X0123则分布函数为：

二、常见的离散型随机变量

（1）（0-1）分布：设随机变量X只可能取0和1两个数值，它的分布律为

其中，则称X

服从（0-1）分布。（2）二项分布：若随机变量X的分布律为

其中，则称X服从参数为n，p的二项分布，记为，当时，就是（0-1）分布。定义：把试验E在相同的条件下重复进行n次，各次试验的结果有限且互不影响，则称这n次试验为n次独立试验。

如果每次试验只有两个结果，则n次独立试验又称为n重伯努利(Bernoulli)试验。定理：设X是n重伯努利实验中成功（A发生）的次数，则X~B(n,p)，其中p=P(A)例6、在正常情况下，家禽感染某种疾病的概率为0.2，现发明了一种新药，把它注射到25只健康的家禽身上，结果有1只家禽感染了这种疾病，试评价这种药物的疗效。定理：X~B(n,p)，则此时X的取值即为事件A最可能成功的次数，当k为最可能成功的次数时，称P(X=k)为二项分布的中心项。例7、为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人。现有同类设备300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率为0.001，在通常情况下，一台设备的故障由一个工人来处理。问至少要配备多少工人，才能保证设备发生故障后但不能及时维修的概率小于0.01？解：设需要配备N名工人。记同一时刻发生故障的设备数为X，则。问题的实质是求最小的N，使此时我们用二项分布公式来计算，很难得出结果，因此必须找另外的方法。查表得:N+1=3,即N=2。因此，为满足要求，至少需配备2名工人。定理：（3）泊松（Poisson）分布：设随机变量X可能取的一切值为0，1，2，…，而取各个值的概率为，其中是常数，则称X服从参数为λ的泊松（Poisson）分布，记为X～P（）。定理：

，则①当是整数时，②当不是整数时，（4）超几何分布：若X的分布律为则称随机变量X服从超几何分布，记为（5）几何分布：若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布，记为。（6）负二项分布：若随机变量X的分布律为其中0<p<1已知，则称随机变量X服从负二项分布，记为。一、连续型随机变量的概念

如果随机变量的取值能充满实数轴上的某个区间，甚至于整个实数轴。这样的随机变量称为连续型随机变量。§2-4连续型随机变量定义：设随机变量X

的分布函数为。若存在非负可积函数，使得对于任一实数x

有①则称X

是连续型随机变量，其中函数称为X的概率密度函数，简称为概率密度。概率密度的性质：（1）（2）反之，任何一个函数满足了（1），（2），则由①定义的也一定是某个连续型随机变量的分布函数。例1：设连续型随机变量X的概率密度函数为：

，－∞<x<+∞，求常数C。例2、设连续型随机变量X的分布函数为求常数A及其概率密度函数。（3）若在x处连续，则注意：一般的，同一个连续型随机变量X的概率密度函数可以有许多，但它们除了在有限个点或可数个点上不相等外，其它点都相等。也即连续型随机变量X的概率密度函数是“几乎处处”唯一的。

所以对连续型随机变量X而言，概率为0的事件未必是不可能事件；概率为1的事件也未必是必然事件。（4）连续型随机变量X在一个点上取值的概率恒为0。二、几个重要的连续型随机变量

1、均匀分布记为。设有连续型随机变量X，其概率密度为则称X在区间上服从均匀分布，分布函数：

例3、设随机变量X在区间[0,1]上服从均匀分布，现对其进行4次独立观察，求至少有一次观察值大于2/3的概率。2、指数分布若随机变量X具有密度：其中，是常数，则称X

服从参数为λ

的指数分布。记为：X～。（指数分布又常被称为寿命分布）分布函数：指数分布有一个特性：无记忆性。我们看下面的例子：例6、某种电器元件的使用寿命X服从参数为λ＝1/2000的指数分布（单位：小时）（1）任取一个元件，求能正常使用1000小时以上的概率。（2）求其正常使用1000小时后还能使用1000小时的概率。由本题可见，指数分布的无记忆性；其实，不仅是指数分布有这样的性质，几何分布也同样具有这样的性质。一般的，有3.正态分布定义：连续型随机变量X的密度函数为：其中μ、σ都是常数(－∞<μ<+∞，σ>0)，则称X服从参数为μ、σ的正态分布，记为：X～N(μ,σ2)。正态曲线具有以下性质：（1）曲线位于x轴的上方，以直线x=μ为对称轴，它向左向右对称地无限延伸，并且以x轴为渐近线；（2）当x=μ时曲线处于最高点，当x向左右远离μ时，曲线逐渐降低，整条曲线呈现“中间高、两边低”的形状；

（3）参数σ决定了正态曲线的形状，σ愈大，曲线愈“矮胖”(即分布愈分散)，σ愈小，曲线愈“高瘦”(即分布愈集中于μ的附近)。

参数μ确定曲线的位置，反映了分布的集中点，由于曲线关于直线x=μ对称，所以称μ为正态分布的分布中心。σ反映了分布的分散程度。注特殊的：当μ＝0、σ＝1时的分布称为标准正态分布，记为N(0,1)，则其密度函数为：分布函数为：正态分布与标准正态分布的联系：重要公式：定理：设X～，则服从。例7、某科统考成绩近似服从正态分布在参加统考的人中，及格者100人，（及格分数为60分）计算：（1）不及格人数。（2）估计第10名的成绩。例8、测量某一目标的距离时，测量误差X(cm)～N(50,1002)，求：（1）测量误差的绝对值不超过150厘米的概率。（2）在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过150厘米的概率。α分位点：给定常数α

，若存在数