矩阵实用全套PPT

第三章矩阵(jǔzhèn)第一页，共25页。一.问题(wèntí)的提出问三个企业(qǐyè)间一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？三个企业(qǐyè)间相互支付多少金额？三个企业(qǐyè)各创造多少新价值?第二页，共25页。表3.3投入产出平衡表(单位(dānwèi)：元)

消耗部门(消耗系数)外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿00.650.5550000电厂0.250.050.1025000铁路0.250.0500新创造价值

总产出三个企业间一周内总产值多少才能满足(mǎnzú)自身及外界需求？可设x1,x2,x3分别(fēnbié)为本周内煤矿、电厂、铁路的总产值，则有第三页，共25页。上表给出父母基因型的所有可能组合使其后代形成(xíngchéng)每种基因对的概率。000.k*A或A*k数乘矩阵00000’矩阵转置(zhuǎnzhì)和约当标准形，即V-1AV=J.000.k+A与k-A数与矩阵加减k*A或A*k数乘矩阵a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];rank(a);rank([a,b])例2求通解(tōngjiě)k*A或A*k数乘矩阵n=input('输入n=')可设x1,x2,x3分别(fēnbié)为本周内煤矿、电厂、铁路的总产值，则有消耗(xiāohào)系数

消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿x10x10.65x20.55x350000电厂x20.25x10.05x20.10x325000铁路x30.25x10.05x20x30新创造价值

总产出表3.3投入产出平衡表(单位(dānwèi)：元)投入(tóurù)产出消耗(xiāohào)系数可得如下结论x1x2x3第四页，共25页。解：这是一个(yīɡè)投入产出问题。设x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总产值,x3为铁路总产值,则产出向量X=外界需求向量D=消耗矩阵C=写成矩阵形式第五页，共25页。则原方程(fāngchéng)为EX-CX=D产出向量(xiàngliàng)X=A\D投入产出矩阵为B=C*diag(X)总投入向量(xiàngliàng)Y=ones(1,3)*B新创造价值向量(xiàngliàng)F=X-Y’即(E-C)X=D令A=E-C即X=A-1Dclear;C=[00.650.55;0.250.050.10;0.250.050];D=[50000;25000;0]A=(eye(3)-C)A\Dans=1.0e+005*1.02090.56160.2833第六页，共25页。表3.3投入产出分析(fēnxī)表(单位：元)

消耗部门外界需求总产出煤矿电厂铁路生产部门煤矿0365061558250000102088电厂25522280828332500056163铁路2552228080028330新创造价值51044140419915

总产出1020885616328330第七页，共25页。二.矩阵代数(dàishù)的MATLAB函数A.’矩阵转置(zhuǎnzhì)A’矩阵共轭转置(zhuǎnzhì)A*B矩阵乘法A^k矩阵乘方A+B与A-B加与减k*A或A*k数乘矩阵 k+A与k-A数与矩阵加减

左除A\B为AX=B的解右除B/A为XA=B的解 1.矩阵(jǔzhèn)运算符第八页，共25页。2、特殊矩阵(jǔzhèn)生成zeros(m,n)生成m行n列的零矩阵(jǔzhèn);ones(m,n)生成m行n列的元素全为1的阵;eye(n)生成n阶单位矩阵(jǔzhèn);rand(m,n)生成m行n列[0,1]上均匀分布随机数矩阵(jǔzhèn)3矩阵处理trace(A)返回矩阵A的迹(对角线元素的和)diag(A)返回矩阵A对角线元素构成的向量diag(X)返回由向量X元素构成的对角矩阵.tril(A)提取矩阵A的下三角部分triu(A)提取矩阵A的上三角部分flipud(A)矩阵上下(shàngxià)翻转fliplr(A)矩阵左右翻转reshape(A,m,n)将矩阵A的元素重排成m行n列矩阵第九页，共25页。4、矩阵分析rank(A)返回(fǎnhuí)A的秩det(A)返回(fǎnhuí)方阵A的行列式;inv(A)返回(fǎnhuí)A的逆矩阵。null(A)返回A的零空间的基,即Ax=0的基础解系；orth(A)求A的列向量空间的正交规范基norm(x)返回向量x的范数(向量“大小”的度量)，即||x||=norm(A)返回矩阵A的范数(矩阵“大小”的度量)，即第十页，共25页。5.特征值与标准形[V,D]=eig(A)返回方阵(fānɡzhèn)A的特征值和特征向量。其中D为的特征值构成的对角阵，每个特征值对应的V的列为属于该特征值的一个特征向量。如果只有一个返回变量，则得到特征值构成的列向量。[V,J]=jordan(A)返回A的相似变换矩阵(jǔzhèn)和约当标准形，即V-1AV=J.当n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，J为特征值构成的对角矩阵(jǔzhèn)。第十一页，共25页。三.解线性方程组记为Ax=b其中(qízhōng)A=(aij)m×nx=(x1,…,xn)’,b=(b1,…,bm)’若秩(A)秩(A,b)，则无解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)<n,存在无穷(wúqióng)多解；通解是齐次线性方程组Ax=0的基础解系与Ax=b的一个特解之和。对于线性方程组Ax=b：Ax=0称为齐次的线性方程组第十二页，共25页。四.计算(jìsuàn)实验：线性方程组求解1、矩阵(jǔzhèn)除法(1)当A为方阵，A\B结果与inv(A)*B一致；(2)当A不是方阵,AX=B存在唯一解,A\B将给出这个解；(3)当A不是方阵,AX=B为不定方程组(即无穷多解)，A\B将给出一个具有最多零元素的特解；(4)当A不是方阵,AX=B若为超定方程组（即无解）,A\B给出最小二乘意义(yìyì)上的近似解，即使得向量AX－B的模达到最小。第十三页，共25页。例1解下列(xiàliè)方程组A=[12;3-2];B=[1;4];x=A\B求得唯一(wéiyī)解A=[121;3-21];B=[1;4];x=A\B求得一特解A=[12;3-2:1-1];B=[1;4;2];x=A\B求得一最小二乘近似(jìnsì)解第十四页，共25页。A=[12;-2-4;00];B=[1;-2;0];x=A\B仍可求一近似(jìnsì)特解增加(zēngjiā)方程0x+0y=0A=[12;-2-4];B=[1;-2];x=A\B不能直接(zhíjiē)求解第十五页，共25页。2线性方程组的通解(tōngjiě)解在无穷多解情况下可用三种方法求通解，●用rref化为行最简形以后求解(qiújiě)；●用除法求出一个特解，再用null求得一个齐次组的基础解系；●用符号工具箱中的solve求解(qiújiě)。例2求通解(tōngjiě)第十六页，共25页。cleara=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];rank(a);rank([a,b])rref([a,b])ans=1-1000001-1100000原方程(fāngchéng)等价于第十七页，共25页。eig求得的每个特征向量都是单位向量(即模等于(děngyú)1)，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化3．方阵的相似(xiānɡsì)对角化及应用

如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则必存在正交矩阵P,使得其中是A的特征值构成的对角矩阵(jǔzhèn)，P的列向量是对应的n个正交特征向量。第十八页，共25页。例3.设用正交矩阵P将A相似(xiānɡsì)对角化,并求A=[11/40;01/20;01/41];[P,T]=eig(A)P=1.00000-0.4082000.816501.0000-0.4082T=

1.00000001.0000

0000.5000特征值特征向量第十九页，共25页。染色体遗传中，后代是从父母体的基因对中各继承一个(yīɡè)基因，形成自己的基因型。如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制，那么就有三种基因型，上表给出父母基因型的所有可能组合使其后代形成(xíngchéng)每种基因对的概率。四、建模实验：基因(jīyīn)遗传第二十页，共25页。例、设金鱼某种遗传病染色体的正常基因为A，不正常基因为a,那么AA，Aa，aa分别表示正常金鱼，隐性患者，显性患者。设初始(chūshǐ)分布为90%正常金鱼，10%的隐性患者，无显性患者。考虑下列两种繁殖方案对后代该遗传病基因型分布的影响方案一：同类基因结合，均可繁殖；方案二：显性患者不允许繁殖，隐性患者必须与正常金鱼结合繁殖第二十一页，共25页。解设初始(chūshǐ)分布X(1)=第n代分布(fēnbù)为X(n)=A=B=则X(n)=An-1X(1)X(n)=Bn-1X(1)分别是两种情况(qíngkuàng)下第n代的基因型分布clearn=input('输入n=')A=[11/40;01/20;01/41];X=[0.9;0.1;0];fori=2:nX=A*X;endXn=Xa924;a924;a924;a924;a924;a924;a924;a924;a924;a924输入n=5方案一第二十二页，共25页。n23456789AA0.92500.93750.94370.94690.94840.94920.94960.9498Aa0.05000.02500.01250.00630.00310.00160.00080.0004aa0.02500.03750.04380.04690.04840.04920.04960.0498n101112131415161718AA0.94990.95000.95000.95000.9500Aa0.00020.00010.00000.00000.0000aa0.04990.05000.05000.05000.0500第12代开