第1课矩阵的初等变换课件

线性代数线性代数线性代数课程简介初等代数课程中，介绍了二阶、三阶方程组的求解线性代数中，主要讨论一般方程组的求解问题为此，引入了行列式、矩阵、向量等概念这些概念非常重要，成为了其他学科的基本工具线性代数课程简介初等代数课程中，介绍了二阶、三阶方程组的求解线性代数这门课程有两大作用1、掌握几种重要的数学概念、方法2、培养抽象思维能力、逻辑思维能力线性代数这门课程有两大作用1、掌握几种重要的数学概念、方法2参考资料胡建华：线性代数解题指导考研复习资料(华中科技大、清华等）同济大学《线性代数》及配套辅导书）参考资料胡建华：线性代数解题指导考研复习资料(华中科为表示它是一个整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。定义

实矩阵:

元素是实数复矩阵：元素是复数例如：是一个实矩阵,是一个复矩阵,实矩阵:元素是实数复矩阵：元素是复数例如：是一个(1)1×1的矩阵就是一个数。

(2)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵或n阶矩阵。

(3)只有一行的矩阵称为行矩阵或n

维行向量。ai称为A的第i个分量。称为列矩阵或m

维列向量。ai称为A的第i个分量。(4)只有一列的矩阵(1)1×1的矩阵就是一个数。(2)行数(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O

。(6)矩阵(约定未写出元素全为零)称为单位矩阵。(7)矩阵称为对角矩阵。记作(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O。(6)矩阵(定义设，如果(此时称A与B是同型矩阵)且则称A与B相等，记作A=B。问：与相等吗？定义设称矩阵的下面三种变换为初等行变换(1)交换矩阵的某两行，记为(2)以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为(3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，记为类似定义三种初等列变换以上六种变换统称为矩阵的初等变换定义称矩阵的下面三种变换为初等行变换矩阵的初等变换举例

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1矩阵的初等变换举例15-1-11-21-1

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第i行的k倍加到第j行记为rj+kri。

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1c3+c1三种初等变换都是可逆的。注：矩阵间的初等变换不能用等号第i行的k倍加到第j行记为rj+kri。初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．初等列变换也有类似的结果…逆变换逆变换逆变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．初等列变换也初等变换的作用？定义行阶梯形矩阵及行最简(阶梯)形矩阵(行最简形就是所谓的最简单的“代表”)书P5定义4行阶梯形矩阵初等变换的作用？定义行阶梯形矩阵及行最简(阶梯)形矩阵(行最行最简阶梯形矩阵（1）台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上只有一行；（3）每个台阶上第一个元素不为零。行阶梯形矩阵：行最简阶梯形(1)(2)(3)+(4)台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零。行最简阶梯形矩阵（1）台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上

只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。书P6定理1.1.1定理例1只用初等行变换必化阶梯形：从上到下，从左到右,化最简形：从下向上，从右到左。化阶梯形：从上到下，从左到右,化最简形：从下向上，从右到左。(等价关系)定义

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作。等价满足：自反性：(2)对称性：(3)传递性：(等价关系)定义如果矩阵A经过有限次初等变换变成§3

解线性方程组的消元法讨论有n个未知数m个方程的线性方程组⑴是否有解？⑵若有解，解是否唯一？⑶如何求出所有的解？§3解线性方程组的消元法讨论有n个未知数m个方程的线性方若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，则称(1)为非齐次线性方程组若B=(b1,b2,…，bm)T＝O，即：

则称(2)为(1)对应的齐次线性方程组（或(1)的导出组）若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，则称(1)为非齐次系数矩阵增广矩阵系数矩阵增广矩阵解线性方程组例1解线性方程组例1下列三种变换称为方程组的三种同解变换：（1）两个方程互换位置；（2）用一个非零数

k乘某个方程；（3）某个方程的常数倍加到另一个方程上去。下列三种变换称为方程组的三种同解变换：（1）两个方程互换位置解线性方程组解互换(1)与(2)的位置得例1解线性方程组解互换(1)与(2)的位置得例1(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)(3)×(-1/2)消元过程结束，以下过程称为“回代过程”。(3)×(-1/2)消元过程结束，以下过程称为“回代过程”(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×2(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×2所以，消元法增广矩阵的初等行变换消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。(1)－(2)原方程组的解为：所以，消元法增广矩阵的初等行变换消元过程就是增广矩阵化为行阶解线性方程组解：增广矩阵例2解线性方程组解：增广矩阵例2即则原方程组的解为有何特点？即则原方程组的解为有何特点？解：同解方程组最后一个方程0=-2是矛盾方程，所以方程组无解。例3特点解：同解方程组最后一个方程0=-2是矛盾方程，所以方程组无例4求解齐次线性方程组解对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形:例4求解齐次线性方程组解对系数矩阵A施行初等行变换化为最简写出等价方程组并移项:有何特点？写出等价方程组并移项:有何特点？令写出参数形式的通解通解其中为任意实数。我们已经初步掌握了线性方程组的求解过程，比较上述三个例题，可得线性方程组解的简要判别，书P12-15，我们将在后面的章节中学习。令写出参数形式的通解通解其中为任意实数。我们已经初步掌握了线线性方程组有解的理论总结线性方程组有解的理论总结线性方程组进行初等行变换同解方程组为：（1.3）其中方程组中方程“0=0”表示恒等式。线性方程组进行初等行变换同解方程组为：（1.3）其中方程组中由方程组（1.3）可以看出：（1）当时，方程组（1.3）无解，从而原方程组（1.1）无解；由方程组（1.3）可以看出：（1）当时，方程组（1.3）无解（2）当时，方程组（1.3）有解，故方程组（1.1）也有解，并且此时1）当r=n时，方程组（1.3）为：由于，由“回代过程”知此方程组有唯一解，故方程组（1.1）有唯一解。（2）当时，方程组（1.3）有解，故方程组（1.1）也有解，2）当r<n时，方程组（1.1）有无穷多解，(1.4)称为自由未知量，一组值，给定自由未知量代入（1.4）可唯一得出的一组值，这样得到的的一组值就是方程组（1.1）的一个解。2）当r<n时，方程组（1.1）有无穷多解，(1.4由于自由未知量的取值是任意的，所以方程组（1.1）有无穷多解。由于自由未知量的取值是任意的，所以方程组（1.1）有无穷多解作业p161、（1）（3）2、（2）作业p161、（1）（3）2、（2）线性代数线性代数线性代数课程简介初等代数课程中，介绍了二阶、三阶方程组的求解线性代数中，主要讨论一般方程组的求解问题为此，引入了行列式、矩阵、向量等概念这些概念非常重要，成为了其他学科的基本工具线性代数课程简介初等代数课程中，介绍了二阶、三阶方程组的求解线性代数这门课程有两大作用1、掌握几种重要的数学概念、方法2、培养抽象思维能力、逻辑思维能力线性代数这门课程有两大作用1、掌握几种重要的数学概念、方法2参考资料胡建华：线性代数解题指导考研复习资料(华中科技大、清华等）同济大学《线性代数》及配套辅导书）参考资料胡建华：线性代数解题指导考研复习资料(华中科为表示它是一个整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。定义

实矩阵:

元素是实数复矩阵：元素是复数例如：是一个实矩阵,是一个复矩阵,实矩阵:元素是实数复矩阵：元素是复数例如：是一个(1)1×1的矩阵就是一个数。

(2)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵或n阶矩阵。

(3)只有一行的矩阵称为行矩阵或n

维行向量。ai称为A的第i个分量。称为列矩阵或m

维列向量。ai称为A的第i个分量。(4)只有一列的矩阵(1)1×1的矩阵就是一个数。(2)行数(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O

。(6)矩阵(约定未写出元素全为零)称为单位矩阵。(7)矩阵称为对角矩阵。记作(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O。(6)矩阵(定义设，如果(此时称A与B是同型矩阵)且则称A与B相等，记作A=B。问：与相等吗？定义设称矩阵的下面三种变换为初等行变换(1)交换矩阵的某两行，记为(2)以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为(3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，记为类似定义三种初等列变换以上六种变换统称为矩阵的初等变换定义称矩阵的下面三种变换为初等行变换矩阵的初等变换举例

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1c3+c1三种初等变换都是可逆的。注：矩阵间的初等变换不能用等号第i行的k倍加到第j行记为rj+kri。初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．初等列变换也有类似的结果…逆变换逆变换逆变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．初等列变换也初等变换的作用？定义行阶梯形矩阵及行最简(阶梯)形矩阵(行最简形就是所谓的最简单的“代表”)书P5定义4行阶梯形矩阵初等变换的作用？定义行阶梯形矩阵及行最简(阶梯)形矩阵(行最行最简阶梯形矩阵（1）台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上只有一行；（3）每个台阶上第一个元素不为零。行阶梯形矩阵：行最简阶梯形(1)(2)(3)+(4)台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零。行最简阶梯形矩阵（1）台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上

只用初等行变换必能将矩阵化为行阶梯形，从而再化为行最简形。行阶梯形不唯一，行最简形唯一。书P6定理1.1.1定理例1只用初等行变换必化阶梯形：从上到下，从左到右,化最简形：从下向上，从右到左。化阶梯形：从上到下，从左到右,化最简形：从下向上，从右到左。(等价关系)定义

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作。等价满足：自反性：(2)对称性：(3)传递性：(等价关系)定义如果矩阵A经过有限次初等变换变成§3

解线性方程组的消元法讨论有n个未知数m个方程的线性方程组⑴是否有解？⑵若有解，解是否唯一？⑶如何求出所有的解？§3解线性方程组的消元法讨论有n个未知数m个方程的线性方若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，则称(1)为非齐次线性方程组若B=(b1,b2,…，bm)T＝O，即：

则称(2)为(1)对应的齐次线性方程组（或(1)的导出组）若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，则称(1)为非齐次系数矩阵增广矩阵系数矩阵增广矩阵解线性方程组例1解线性方程组例1下列三种变换称为方程组的三种同解变换：（1）两个方程互换位置；（2）用一个非零数

k乘某个方程；（3）某个方程的常数倍加到另一个方程上去。下列三种变换称为方程组的三种同解变换：（1）两个方程互换位置解线性方程组解互换(1)与(2)的位置得例1解线性方程组解互换(1)与(2)的位置得例1(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)(3)×(-1/2)消元过程结束，以下过程称为“回代过程”。(3)×(-1/2)消元过程结束，以下过程称为“回代过程”(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×2(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×2所以，消元法增广矩阵的初等行变换消元过程就是增广矩阵化为行阶梯形矩阵，回代过程就是继续化成行最简阶梯形的过程。(1)－(2)原方程组的解为：所以，消元法增广矩阵的初等行变换消元过程就是增广矩阵化为行阶解线性方程组解：增广矩阵例2解线性方程组解：增广矩阵例2即则原方程组的解为有何特点？即则原方程组的解为有何特