深圳市高三数学一模试卷

深圳市高三数学一模试卷深圳市高三数学一模试卷16/16深圳市高三数学一模试卷绝密★启用前试卷种类：（A）深圳市2019年高三年级第一次调研考试数学（文科）2019．2本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定地址填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向正确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码齐整、不污损．2．选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的地址上．3．非选择题必定用毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必定写在答题卡各题目指定地域内；如需改动，先划掉原来的答案，尔后再写上新的答案；严禁使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．5．考生必定保持答题卡的齐整，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知会集A{x|1x2}，B{1,2,3}，则AIB（A）{1}（B）{2}（C）{1,2}（D）{1,2,3}2．设z22i，则|z|1i（A）2（B）2（C）5（D）33．在平面直角坐标系xOy中，设角的极点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点P(2,1)，则sin(π2)的值为（A）4（B）3（C）3（D）455550x34．设x，y满足拘束条件0y4，则z3xy的最大值为2xy6（A）7（B）9（C）13（D）155．已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(,0]为增函数，且f(3)0，则不等式f(12x)0的解集为（A）(1,0)（B）(1,2)（C）(0,2)（D）(2,)6．以下列图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（A）64（B）68（C）80（D）1097．已知圆锥的母线长为5，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为（A）25π（B）16π（C）25π（D）32π48．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金切割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金切割点，详尽方法以下：（1）取线段AB2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC11，连接AC；（2）以C为圆心，BC为半径画弧，AB2C交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．点E即为线段AB的黄金切割点．若在线段AB上D随机取一点F，则使得BEAFAE的概率约为AEB52.236）（参照数据：第（8）题图（A）（B）（C）（D）9．已知直线xπsin(2x)(|π是函数f(x)|)图象的一条对称轴，为了获取函数62yf(x)的图象，可把函数ysin2x的图象（A）向左平行搬动π个单位长度（B）向右平行搬动π个单位长度66（C）向左平行搬动π个单位长度（D）向右平行搬动π个单位长度121210．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，CC122，M为AA1的中点，则异面直线AC与B1M所成角的余弦值为（A）6（B）2（C）3（D）22346311．已知F1，F2是椭圆x2y21（ab0）的左，右焦点，过F2的直线与椭圆交于a2b2P，Q两点，若PQPF1且QF12PF1，则PF1F2与QF1F2的面积之比为（A）23（B）21（C）2+1（D）2+312．已知函数f(x)xlnx,x0,x2且f(x1)f(x2)，则|x1x2|的最大值为x1,x若x10,（A）1（B）2（C）2（D）22第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必定作答．第22～23题为选考题，考生依照要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．曲线yex1在点1，f(1)处的切线的斜率为．x14．已知平面向量a,b满足|a|2，|b|4，|2ab|43，则a与b的夹角为．15．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A,B,C,D四个点，若这四个点与F1，F2两点恰好是一个正六边形的极点，则该双曲线的离心率为．16．在ABC中，ABC150，D是线段AC上的点，DBC30，若ABC的面积为3，当BD取到最大值时，AC．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a14，公差d0，a4是a2与a8的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；1（2）求数列{}前n项和为Tn．Sn18．（本小题满分12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测，一共抽取了48件产品，并获取以下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的保护次数与指标Y有关，详尽见下表．质量指标Y频数82416一年内所需保护次数2011）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取

2件产品，求这

2件产品的指标

Y都在

内的概率；（3）已知该厂产品的保护花销为300元/次．工厂现推出一项服务：若花销者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费保护一次．将每件产品的购买支出和一年的保护支出之和称为花销花销．假设这48件产品每件都购买该服务，也许每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均花销花销，并以此为决策依照，判断花销者在购买每件产品时可否值得购买这项保护服务19．（本小题满分

12分）已知四棱锥

P

ABCD的底面

ABCD为平行四边形，

PD

DC，

AD

PC．（1）求证：

AC

AP；（2）若平面

APD

平面

ABCD，

ADC

120，AD

DC

4，求点

B到平面PAC的距离．20．（本小题满分12分）设抛物线C：y24x，直线l:xmy20与C交于A，B两点．（1）若AB46，求直线l的方程；（2）点M为AB的中点，过点M作直线MN与y轴垂直，垂足为N，求证：以MN为直径的圆必经过必然点，并求出该定点坐标．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)ax2exx2，其中a2．1a0时，求函数f(x)在1,0上的最大值和最小值；（）当（2）若函数f(x)为R上的单调函数，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．若是多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡大将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程x2tcos,在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为tsin（t为参数），以坐标原y,点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos，直线l与曲线C交于A，B两个不同样的点．（1）求曲线C的直角坐标方程；2P为直线l与x轴的交点，求11的取值范围．（）若点22PAPB23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数f(x)x1x2，g(x)x2mx1．（1）当m4时，求不等式f(x)g(x)的解集；（2）若不等式f(x)g(x)在1m的取值范围．］上恒建立，求2深圳市2019年高三年级第一次调研考试文科数学试题参照答案及评分标准第Ⅰ卷一．（1）C（2）B（3）A（4）C（5）B（6）A（7）C（8）A（9）C（10）B（11）D（12）C12【解析】不如x2x1，由f(x1)f(x2)，要使|x1x2|最大，即化求x1x2max，可化（如所示）A(x1,y1)到yx1(x0)距离的最大．此需A点的切与yx1平行．当x0，f(x)lnx1，令f(x)1，x11，A(1,0)，x21所以|x1x2|的最大2．二．填空：13．e114．6015．216．2716【解析】由意可知SABC1acsin1501ac3，得ac43．BDx，24SBCDSABD1ax3cx43，可得x43，当且当a3cx取到最大44a3c，所以a23，c2，由余弦定理可得b27．三、解答：解答写出文字明，明程或演算步．17．（本小分12分）Sn等差数列{an}的前n和．已知a14，公差d0，a4是a2与a8的等比中．（1）求数列{an}的通公式；（2）求数列{1}前n和Tn．Sn【解析】（1）∵a2，a4，a8成等比数列，∴a42a2a8，∴(a13d)2(a1d)(a17d)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∴(43d)2(4d)(47d)，解得d4或d0，∵d0，∴d4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分∴数列{an}的通公式aa(n1)d4n(nN)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分n1（2）∵Snn(a1an)22n，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分22n∴12n211(11)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分Sn2n2nn1∴Tn111S1SnS21(11)(11)L(11)1(11)．⋯⋯⋯⋯⋯12分21223nn12n1【命意】本主要考等差数列的通公式、前n和公式、等比中、裂相消求和法等知与技术，重点考方程思想，考数学运算、推理等数学核心涵养．18．（本小分12分）工厂从生上每半个小抽取一件品并其某个量指Y行，一共抽取了48件品，并获取以下表．厂生的品在一年内所需的次数与指Y有关，详尽下表．量指Y数82416一年内所需次数2011）以每个区的中点作每指的代表，用上述本数据估厂品的量指Y的平均（保留两位小数）；（2）用分抽的方法从上述本中先抽取6件品，再从6件品中随机抽取

2件品，求

2件品的指

Y都在

内的概率；（3）已知厂品的用300元/次．工厂推出一服：若消者在厂品每件多加100元，品即可一年内免一次．将每件品的支出和一年的支出之和称消用．假48件品每件都服，也许每件都不服，就两种情况分算每件品的平均消用，并以此决策依照，判断消者在每件品可否得服【解析】（

1）指

Y的平均

1+10

2

．⋯⋯⋯⋯⋯

2分6

6

6（2）由分抽法知，先抽取的

6件品中，指

Y在

内的有

3件，A1、A2、A3；指Y在内的有2件，B1、B2；指Y在内的有1件，C．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分从6件品中随机抽取2件品，共有基本事件15个：A1,A2、A1,A3、A1,B1、A1,B2、A1,C、A2,A3、A2,B1、A2,B2、A2,C、A3,B1、A3,B2、A3,C、B1,B2、B1,C、B2,C．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分其中，指Y都在9.8,10.2内的基本事件有3个：A1,A2、A1,A3、A2,A3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分所以由古典概型可知，2件品的指Y都在319.8,10.2内的概率P．155⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（3）不如每件品的售价x元，假48件品每件都不服，支出48x元．其中有16件品一年内的用300元/件，有8件品一年内的用600元/件，此平均每件品的消用=148x16300+8600=x200元；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分48假48件品每件品都服，支出48x100元，一年内只有8件品要花，需支出8300=2400元，平均每件品的消用=148x100+8300x150元．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分48所以服得消者．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分【命意】本主要考通用本估体（平均数）、古典概型、概率决策等知点，重点体数学运算、数据解析等数学核心涵养．19．（本小分

12分）已知四棱

P

ABCD的底面

ABCD平行四形，

PD

DC

，AD

PC．（1）求：

AC

AP；（2）若平面

APD

平面

ABCD，

ADC

120，AD

DC

4，求点

B到平面PAC的距离．【解析】（1）明：取PC中点M，接AM，DM，⋯⋯1分QPDDC，且MPC中点，DMPC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分QADPC，ADIDMD，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分PCQAM

平面平面

ADMADM

，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分，PCAM，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分MPC中点，ACPA．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（2）点P作PH垂直AD延于点H，接CH，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分Q平面APD平面ABCD，平面APDI平面ABCDAD，PH平面APD，PHAD，PH平面ABCD，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分QCH平面ABCD，PHCH，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分QPDDC，ADAD，ACAP，ADPADC，ADCADP120，PDCDAD4，ACAP43，PHCH23，PC26．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分hB点B到平面PAC的距离，由于VPABCVBACP，可得1SABCPH1SACPhB，33SABC14433，242SACP1264267，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分2所以hB47．7即点B到平面PAC的距离47．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分7【命意】本主要考了面垂直的判判定理、面垂直的定、面面垂直的性、等体法求点到面的距离等知，重点考等价思想，体了直想象、数学运算、推理等核心涵养．20．（本小分12分）抛物C：y24x，直l:xmy20与C交于A，B两点．（1）若AB46，求直l的方程；（2）点MAB的中点，点M作直MN与y垂直，垂足N，求：以MN直径的必必然点，并求出定点坐．xmy2,4my80【解析】（1）由y24x,消去x并整理，得y2，⋯⋯⋯⋯⋯1分然16m2320，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由达定理可得，y1y24m，y1y28，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分QABm21y1y2m21(y1+y2)24y1y2，AB4m21m2246，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分m24（舍去）或m21，m1，直方程xy20或xy20．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（2）AB的中点M的坐(xM,yM)，yMy1y22m，2又Qx1x2m(y1y2)44m24，xMx1x22m22，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分2M(2m22,2m)，由意可得N(0,2m)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分以MN直径的点P(x0,y0)uuuur(2m2uuurPM2x0,2my0)，PN(x0,2my0)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分由意可得，PMPN0，即(42x0)m24y0mx02y022x00，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分42x00，由意可知4y00，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分x02y022x00，x02，y00，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分11定点(2,0)即所求．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分12【命意】本主要考抛物方程、直与抛物地址关系、弦公式、定点等知，重点考数形合思想，体了数学运算、数学建模、推理等数学核心涵养．21．（本小分12分）已知函数f(x)ax2exx2，其中a2．（1）当a0，求函数f(x)在1,0上的最大和最小；（2）若函数f(x)R上的函数，求数a的取范．【解析】（1）当a0，f(x)=2exx2，f(x)=2ex1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分由f(x)0解得xln2，由f(x)0解得xln2．故函数f(x)在区1,ln2上减，在区ln2,0上增．⋯⋯⋯⋯2分∴f(x)minfln2ln21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分210，f(0)=0，∵f(1)=e∴f(x)maxf(0)0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）法一：令g(x)f(x)axa2ex1，g(x)ax2a2ex．（i）当a=0，由（1）知，与意不符；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（ii）当a0，由g(x)0x22，g(x)0x2a2．a222∴g(x)min=g2=aea10，a∵g(0)=a+10，∴此函数f(x)存在异号零点，与意不符．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（iii）当2a0，由g(x)0，可得x22，a由g(x)0可得x22．a∴g(x)在,22上增，在22，上减．aa222故g(x)max=ga．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分a22由意知，a10恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分ae令22t，上述不等式等价于ett1，其中t1．⋯⋯⋯⋯⋯9分a2易，当t0，ett1t1，2又由（1）的知，当t10，，ett1建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分2由120，解得2a1．2a上，当2a1，函数f(x)R上的函数，且减．⋯12分（2）法二：因f(1)210，所以函数f(x)不可以能在R上增．⋯6分e所以，若函数f(x)R上函数，必是减函数，即f(x)0恒建立．由f(0)a10可得a1，故f(x)0恒建立的必要条件2a1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分令g(x)f(x)axa2ex1，g(x)ax2a2ex．当2a1，由g(x)0由g(x)02可得x2a

，可得x22，a，∴g(x)在,2上增，在22，上减．aa222故g(x)max=g=aea1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分2a222a1，22．令h(a)=aea，下：当h(a)=aea10122122，其中t1,0，1t即ea．令1．ata2a原式等价于明：当t1,0，ett1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分2由（1）的知，然建立．上，当2a1，函数f(x)R上的函数，且减．⋯⋯⋯12分【命意】本主要考利用数研究函数的性和最，以及不等式恒建立，重点考分、化化等数学思想，体了数学运算、推理等核心涵养．考生在第22、23两中任一作答．注意：只能做所定的目．若是多做，按所做的第一分，作答用2B笔在答卡大将所号后的方框涂黑．22．（本小分10分）修4－4：坐系与参数方程xOy中，直l的参数方程x2tcos,在直角坐系ytsin,（t参数），以坐原点极点，x的正半极建立极坐系，曲C的极坐方程2cos，直l与曲C交于A，B两个不同样的点．（1）求曲C的直角坐方程；（2）若点P直l与x的交点，求11的取范．22PAPB【解析】（1）∵2cos∴22cos，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∵2x2y2，cosx，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴曲C的直角坐方程x2y22x0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（2）将x2tcos,ytsin,代入曲C的直角坐方程，可得t26cost80，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分由意知=36cos2320，故cos28，又cos21，9cos28,1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分9个方程的两个数根分t1，t2，t1t26cos，t1t28，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分t1与t2同号，由