常微分方程定性理论剖析课件

数学分析开放式系列讲座一常微分方程(2)文晓2019年6月数学分析开放式系列讲座一11.解的Lyapunov稳定性例1.考虑方=x的解t→+∞时的变化情况解:容易观察到满足初值条件x(0)=0的解为x1(t)=0,满足初值条件x(0)=c的解为x2(t)=cet。当C≠0时,容易观察到当t→+∞,。|x1(t)-x2(t)→+。这说明无论取初值条件C多靠近0,在时间t→+∞时,解的误差仍然会很大。1.解的Lyapunov稳定性2例2.考虑方程a=-x的解在时间t→+∞时的变化情况解:容易验证,所有的解在t→+∞时都趋于例2中的方程的解在时间区间为[a,+∞)这样的无穷区间上仍然具有解对初值的连续依赖性,即在初值误差很小的时候,所得的解与所要求的解就会很小。我们把这种性质称为Lyapunov稳定性。例2.考虑方程a=-x的解在时间t→+∞时的3定义1.考虑微分方程∫(t,x(3)设它满足解的存在唯一性条件。又假设(3)的个解x=q(t在区间上[to,+∞)有定义,如果对任意的E>0,都存在一个δ=6(E)>0,使得只要xo-q(t0)<δ,则方程(3)满足初始条件x(to)=xo的解x=φ(t;to;xo)也在[to,+∞)上有意义,并且满足φ(t;to;x0)-φ(t|<E,vt≥to.则称方程(3)的解x=q(t)是Lyapunov稳定的定义1.考虑微分方程4如果除了满足上述条件之外,还满足只要xo-q(to)|<δ,就有LimIop(t;to;xo)-o(t)I则称解是Lyapunov渐进稳定的。注:类似地也可以考虑t→-∞时的情形,此时称这个解为负向Lyapunov稳定和负向Lyapunov渐进稳定如果除了满足上述条件之外,还满足只要5常微分方程定性理论剖析课件6常微分方程定性理论剖析课件7常微分方程定性理论剖析课件8常微分方程定性理论剖析课件9常微分方程定性理论剖析课件10常微分方程定性理论剖析课件11常微分方程定性理论剖析课件12常微分方程定性理论剖析课件13常微分方程定性理论剖析课件14常微分方程定性理论剖析课件15常微分方程定性理论剖析课件16常微分方程定性理论剖析课件17常微分方程定性理论剖析课件18常微分方程定性理论剖析课件19常微分方程定性理论剖析课件20常微分方程定性理论剖析课件21数学分析开放式系列讲座一常微分方程(2)文晓2019年6月数学分析开放式系列讲座一221.解的Lyapunov稳定性例1.考虑方=x的解t→+∞时的变化情况解:容易观察到满足初值条件x(0)=0的解为x1(t)=0,满足初值条件x(0)=c的解为x2(t)=cet。当C≠0时,容易观察到当t→+∞,。|x1(t)-x2(t)→+。这说明无论取初值条件C多靠近0,在时间t→+∞时,解的误差仍然会很大。1.解的Lyapunov稳定性23例2.考虑方程a=-x的解在时间t→+∞时的变化情况解:容易验证,所有的解在t→+∞时都趋于例2中的方程的解在时间区间为[a,+∞)这样的无穷区间上仍然具有解对初值的连续依赖性,即在初值误差很小的时候,所得的解与所要求的解就会很小。我们把这种性质称为Lyapunov稳定性。例2.考虑方程a=-x的解在时间t→+∞时的24定义1.考虑微分方程∫(t,x(3)设它满足解的存在唯一性条件。又假设(3)的个解x=q(t在区间上[to,+∞)有定义,如果对任意的E>0,都存在一个δ=6(E)>0,使得只要xo-q(t0)<δ,则方程(3)满足初始条件x(to)=xo的解x=φ(t;to;xo)也在[to,+∞)上有意义,并且满足φ(t;to;x0)-φ(t|<E,vt≥to.则称方程(3)的解x=q(t)是Lyapunov稳定的定义1.考虑微分方程25如果除了满足上述条件之外,还满足只要xo-q(to)|<δ,就有LimIop(t;to;xo)-o(t)I则称解是Lyapunov渐进稳定的。注:类似地也可以考虑t→-∞时的情形,此时称这个解为负向Lyapunov稳定和负向Lyapunov渐进稳定如果除了满足上述条件之外,还满足只要26常微分方程定性理论剖析课件27常微分方程定性理论剖析课件28常微分方程定性理论剖析课件29常微分方程定性理论剖析课件30常微分方程定性理论剖析课件31常微分方程定性理论剖析课件32常微分方程定性理论剖析课件33常微分方程定性理论剖析课件34常微分方程定性理论剖析课件35常微分方程定性理论剖析课件