《空间点、直线、平面之间的位置关系》课件与同步练习（共两套）

第8章

立体几何初步8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系

异面直线1空间内，我们把不在同一平面内的两条直线称之为异面直线异面直线的概念异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线，而不能单纯理解为分别在不同平面内的两条直线.要注意异面直线定义中的“任何”两个字，它指的是空间中的任意平面.因此，异面直线也可以理解为在空间中找不到一个平面，使其同时经过这两条直线.异面直线1空间内，两条异面直线既不平行，也不相交.异面直线作图的时候，我们可以借助辅助的平面来体现异面直线的不共面的特点.异面直线的画法

异面直线1异面直线的判定方法方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直线反证法既不平行，也不相交的两条直线异面直线判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线时异面直线.

异面直线1异面直线的判定方法

平行异面相交异面空间中直线与直线的关系2异面直线共面直线空间中两条直线的位置关系有三种：——不同在任何一个平面内，没有公共点相交直线平行直线——在同一平面内，有且只有一个公共点——在同一平面内，没有公共点

空间中直线与平面的位置关系3直线与平面的位置关系位置关系公共点个数符号语言图形语言

有无数个公共点

有且只有一个公共点没有公共点

空间中直线与平面的位置关系3直线与平面的位置关系

当直线与平面没有公共点时，直线与平面平行；当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交；当直线与平面有无数个公共点时，直线在平面内.空间中直线与平面的位置关系3直线与平面位置关系的分类无公共点有公共点有且只有一个公共点有无数个公共点直线与平面平行直线与平面相交直线在平面内按公共点个数分类直线在平面内直线在平面外直线与平面平行直线与平面相交直线上所有点都在平面内按空间的位置分类空间中直线与平面的位置关系3直线与平面位置关系的分类

结合图形可知C正确.

空间中平面和平面的位置关系4平面与平面的位置关系位置关系图形语言符号语言公共点个数两个平面平行两个平面相交

①空间中平面和平面的位置关系4平面与平面位置关系的分类无公共点有公共点平面与平面平行平面与平面相交有无数个公共点(交线)下列说法正确的是________①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内②若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行③若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线④若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面空间中平面和平面的位置关系4两个平面位置关系的画法当两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图①.而图②的画法不恰当.

空间中平面和平面的位置关系4两个平面位置关系的画法两个平面相交的画法画出表示两个平面的平行四边形相交的两边，如图①画出表示两个平面交线的线段，如图②分别过图②中表示两个平面相交两边的线段的端点引线段，使它们平行且相等于图②中表示交线的线段，如图③画出图中表示平面的平行四边形的第四边(被遮住的线，可以用虚线表示，也可以不画)，如图④

空间中平面和平面的位置关系4两个平面位置关系的画法——如何区别空间图形中的实线与虚线？

我们知道，画空间图形时，看得见的线画成实线，看不见的线画成虚线或者不画.如果所有的线都画成实线，则同一个图形可以想象出不同的形状，如图①，可以想象成两种不同的形状.

(1)可以想象成点A和我们的眼睛分别位于平面BCD的两侧，

我们看不见点A；(2)也可以想象成点A和我们的眼睛在平面BCD的同侧，我

们能看见点A.这样就得到了两种不同的形状.图②则不会

产生上述感觉，也符合人的视觉效果原理：近实远虚.直线与平面的位置关系判断直线在平面内，只需判定直线与平面有两个公共点，即“两点定一线”（基本事实②）直线在平面外包括两种情况：直线与平面平行；直线与平面相交.当直线与平面无公共点时，直线与平面平行；当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交空间直线与平面位置关系的分类时解决此类问题的突破口，这类判断问题常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型(图长方体，正方体等)也是解决这类问题的有效方法.直线与平面的位置关系下列说法，正确的有__________①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个

平面相交②一条直线和另一条直线平行，则它和经过另一条直线的任何平面都平行③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条也一定与这个平面

平行①③交线及截面问题

基本事实③告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点就找到了它们的交线.因此求两个平面的交线的突破口，就是找到这两个平面的两个公共点，找公共点的常用方法是根据基本事实①及其推论延展平面：相交延展法——可以在两平面内分别取一线，使这两条线满足共面不平行，延长相交于一点，该点即为两平面的一个公共点；平行延展法——如不共线三点ABC确定一个平面，过其中一点例如A作直线BC的平行线，即可达到延展平面的目的8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系第八章立体几何初步课程目标1．了解直线与直线之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；2．了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示；3．了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示．数学学科素养1.数学抽象：异面直线的理解；2.逻辑推理：判断空间点、直线、平面之间的位置关系；3.直观想象：空间图形中点、直线、平面之间的位置关系.

自主预习，回答问题阅读课本128-131页，思考并完成以下问题1、什么是异面直线？2、空间两条直线的位置关系？3、直线与平面的位置关系？4、平面与平面的位置关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.复习回顾1.点与直线的位置关系是什么？用数学符号怎样表示？2.直线与平面的位置关系是什么？用数学符号怎样表示？点在直线上点不在直线上点不在平面内点在平面内思考：我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面，12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，如图所示的长方体，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？

黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？

旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skewlines）空间两条直线的位置关系：共面直线异面直线相交直线平行直线不同在任何一个平面内，没有公共点。同一平面内，有且只有一个公共点同一平面内，没有公共点；ab异面直线的画法为表示异面直线不共面的特点，常以平面衬托。关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？

A.空间中既不平行又不相交的两条直线；

B.平面内的一条直线和这平面外的一条直线；

C.分别在不同平面内的两条直线；

D.不在同一个平面内的两条直线；

E.不同在任何一个平面内的两条直线.

√a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。

思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab共3对：AB与CD，AB与GH，EF与GH练习：如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果以阴影部分为底面将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？观察:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？思考：在长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B所在直线与长方体六个面所在平面有几种位置关系？直线与平面的位置关系只有三种：①直线在平面内---有无数个公共点；②直线与平面相交---有且只有一个公共点；③直线与平面平行---没有公共点。

（1）直线在平面内（2）直线与平面相交（3）直线与平面平行直线在平面外直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

判断直线与平面的位置关系关键在于—判断直线与平面的交点个数。图形表示αaaαaα符号表示aa∩＝Aa∥观察:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？C′A′B′D′ABCD

观察

：教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？直观感觉：桌面与地面

墙面与地面

平行相交两个平面的位置关系只有两种，即两个平面平行，两个平面相交.（1）两个平面平行

---没有公共点；（2）两个平面相交

---有一条公共直线.αβα∥βα∩β=a画两个互相平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。探究：如图，在长方体中，连接，请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子，并用符号表示这些位置关系。例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系。解：在（1）中，在（1）中，例2.如图，直线AB与直线a具有怎样的位置关系？为什么？解：直线AB与a是异面直线。理由如下。若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行。设它们确定的平面为，则。由于经过点B与直线a有且仅有一个平面，因此平面与平面重合，从而，进而，这与矛盾。所以直线AB与a是异面直线。判断两直线是异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。××√达标检测B①②①从有无公共点的角度：有且仅有一个公共点---------相交直线在同一平面内--------相交直线②从是否共面的角度没有公共点---------平行直线异面直线不同在任何一个平面内---------异面直线平行直线1.两直线的位置关系小结2.直线与平面的位置关系3.平面与平面的位置关系《8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系》同步练习1.异面直线(1)定义:不同在

的两条直线叫做异面直线.(2)画法:任何一个平面内知识清单2.空间两条直线的位置关系位置关系共面情况有无公共点相交在同一平面内

.平行在同一平面内没有公共点异面不同在任何一个平面内没有公共点有且只有一个公共点3.直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内

.有

公共点直线a与平面α相交

.有且只有

公共点直线a与平面α平行

.

公共点a⊂α无数个a∩α=A一个a∥α无4.平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行

.

.两平面相交

.有无数个公共点,这些点在

.α∥β无公共点α∩β=l一条直线上1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(

)(A)异面 (B)平行(C)相交 (D)以上都有可能2.直线l与平面α有两个公共点,则(

)(A)l∈α (B)l∥α(C)l与α相交 (D)l⊂α小试牛刀答案D答案D4.直线a⊂平面α,直线b⊄平面α,则a,b的位置关系是

.

答案

平行、相交或异面3.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是(

)(A)平行 (B)相交(C)平行或相交 (D)不能确定答案C题型分析举一反三解析

(1)因为C∈平面ABCD,AB⊂平面ABCD,又C∉AB,C1∉平面ABCD,所以AB与CC1异面.(2)因为A1B1∥AB,AB∥DC,所以A1B1∥DC.(3)因为A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,所以A1D1∥BC,则A1,B,C,D1在同一平面内.所以A1C与D1B相交.解题技巧(判定两直线异面的常用方法)(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.【跟踪训练1】解析

如图所示,一