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文档简介

研究生课程《常微分方程续论》教学大纲课程编号：Math2115课程名称：常微分方程续论英文名称：Continuationtheoryofordinarydifferentialequations

开课单位：数学科学学院

开课学期：秋课内学时：36

教学方式：讲授适用专业及层次：数学专业、硕士研究生

考核方式：考查预修课程：数学分析，常微分方程

一、教学目标与要求本课程系统地介绍常微分方程的基本理论及一些非线性分析方法在微分方程中的应用。本课程的重点内容是常微分方程Cauchy问题的可解性分析（包括解的存在性与唯一性）、解的延拓定理、微分积分不等式、Chaplygin比较定理、解的整体存在性与唯一性、解对初值及参数的连续依赖性、线性微分方程解的结构分析、周期系数线性微分方程的Floquet-Lyapunov理论、增算子与上下解方法、拟上下解方法、几类微分方程周期有关边值问题解的存在性分析等。通过本课程的学习，使研究生具备微分方程领域的基础理论，培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力。在重视微分方程数学理论学习的同时，培养研究生应用微分方程知识解决实际问题的能力。本课程的学习，为他们学习后续课程以及从事微分方程领域的研究打好基础。

二、课程内容与学时分配第一章

预备知识（6学时）

1.1

Ascoli-Arzela定理

1.2几个不动点定理Banach压缩映像原理Brouwer不动点定理Schauder不动点定理Krasnoselskii不动点定理

1.3Lebesgue控制收敛定理

1.4

几个不等式Gronall-Bellman不等式Holder不等式Minkowski不等式

第二章

微分方程基础理论（14学时）

2.1

解的存在唯一性定理Cauchy-Picard解的存在唯一性定理Cauchy-Peano解的存在性定理

2.2

解的延拓性定理

2.3微分积分不等式与Chaplygin比较定理

2.4解的整体存在唯一性定理

2.5解对初值及参数的连续依赖性

第三章

线性微分方程基础理论（6学时）

3.1

齐次线性方程与非齐次线性方程解的结构

3.2

周期系数线性微分方程的Floquet-Lyapunov理论

基本性质与可化方程

第四章

边值问题与上下解方法（10学时）

4.1Banach空间中的锥理论、增算子与上下解方法

4.2

微分方程周期边值问题

4.3

二阶微分方程两点边值问题

4.4拟上下解方法及其应用

4.5

二阶Volterra积分微分方程周期边值问题

三、教材

时宝，张德存，盖明久，微分方程理论及其应用，北京：国防工业出版社，2005主要参考书1.WolfgangWalter,OrdinaryDifferentialEquations,Springer-Verlag,19982.

尤秉礼，常微分方程补充

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