第8章最优消费投资决策连续时间解析课件

第8章最优消费/投资决策:连续时间第8章最优消费/投资决策:连续时间1连续时间模型假定消费/投资决策可以连续调整，事实上如果调整间隔非常短的话，则它是一种良好的近似，因此相对于离散模型来说，它更为灵活。连续时间理论以连续时间随机过程理论为数学基础，鉴于对它的研究已有上百年的历史，有大量的成果和工具可供使用，因此它也成为了成果最为丰富的金融经济学研究领域。它在各个方面都产生了比它们的离散时间等价物更为精准和明确的结果，即便是在存在明显交易费用（transactioncost）的情况下（这使得真实交易必定是离散的），许多结论同样也可以成立。连续时间模型假定消费/投资决策可以连续调整，事实上如果调整间2从金融分析的历史沿革来看，解决（连续时间）跨期最优消费/投资问题，历来有以下两种思路（或者说方法）。（1）随机最优控制方法。它被称为传统方法，它基于随机控制方法的一些标准成果，该方法在离散时间环境下的应用，我们在上一节中已经详细讨论过。在连续时间环境下，求解最优控制C*和w*的关键，是解一个被称为哈密尔顿-雅可比-贝尔曼（Hamilton-Jacobi-Bellman，HJB）的非线性偏微分方程（non-linearpartialdifferentialequation）。整个方法大致可以分为三个步骤。第一步是找到最优消费（C*

）/资产选择策略（w*），它们是最优期望效用的一个函数；第二步就是把这个（函数形式的）最优消费/投资策略代入到HJB方程，便得到一个非线性的偏微分方程，解这个方程；第三步把方程的解和它的偏导数代入最优消费/投资策略函数，得到它们的显性解。从金融分析的历史沿革来看，解决（连续时间）跨期最优消费/投资3（2）鞅方法（martingaleapproach）。这种方法出现在二十世纪80年代早期，并迅速在主流金融经济学的研究中流行开来。它在经济上基于完备市场（completemarket）假定和无套利（non-arbitrage）原则，在数学上借助于鞅和随机积分理论。（2）鞅方法（martingaleapproach）。这种4两种资产：几何布朗运动思路：本节将频繁使用随机最优控制方法，仍然按照先易后难的原则，先从两种资产的简单情况开始，然后推广到一般情形。在分析过程中，我们会不断比较连续时间模型与它的离散时间等价物之间的异同。两种资产：几何布朗运动思路：本节将频繁使用随机最优控制方法，5假定（1）假定消费、投资发生在无限小的时间间隔内，即连续进行。（2）理想化的证券市场上存在两种金融资产。一种为无风险资产，在投资者的整个生存期限内有固定的净收益率r，它的价格p0(t)

运动可以用下面的微分方程来表示：假定（1）假定消费、投资发生在无限小的时间间隔内，即连续进行6第8章最优消费投资决策连续时间解析课件7（3）消费者可以控制的决策变量有两个。一是每一时刻的消费数量，或者从整个时期来看，消费率过程（comsumptionrateprocess）C(t)

；另一个则是在不同资产之间分配投资基金的资产组合比例——或者资产组合过程（portfolioprocess）w(t)

。仍然令投向风险资产上的资金占总财富的比例为w(t)，则投向无风险资产上的财富比例就是1-w(t)。（3）消费者可以控制的决策变量有两个。一是每一时刻的消费数量8（4）整个个人生命周期内，除了开始时刻具有一定的初始资源禀赋以外，没有非资本收入，或者说具有0外生禀赋过程。这样财富过程（或者预算约束）可以表示为下面形式的微分方程：这是离散时间财富约束差分方程（2-3）式的连续时间形式，即两种资产的增值减去消费等于财富的积累。（4）整个个人生命周期内，除了开始时刻具有一定的初始资源禀赋9把两种资产的价格运动过程（2-47）和（2-48）两式代入上式，得到财富变化也遵循一个扩散过程（diffusionprocess）：

把两种资产的价格运动过程（2-47）和（2-48）两式代入上10第8章最优消费投资决策连续时间解析课件11第8章最优消费投资决策连续时间解析课件12这样我们就把最优消费/投资问题，用随机动态规划形式表达出来了，接着就可以根据前面提到的三个步骤来一步步地解决它。这样我们就把最优消费/投资问题，用随机动态规划形式表达出来了13第8章最优消费投资决策连续时间解析课件14第二步：把最优消费/投资组合的两个函数表达式代入HJB方程，并解这个偏微分方程。当然这并非是一件简单的事，因为求解一个高次的非线性偏微分方程是非常困难的，这种类型的方程是不大可能会有解析解的，即便是使用强大的数值方法（numericalmethods）对它进行求解也不是一件容易的事。第二步：把最优消费/投资组合的两个函数表达式代入HJB方程，15第三步：假定在上一步骤中，我们已经求出了价值函数J(W,t)

，就可以把它和它的偏导数代入在第一步中获得的C*和w*的函数式中，从而得到它们的显性解（explicitsolution）。这时它们仅仅是W、r、t、、、的函数。第三步：假定在上一步骤中，我们已经求出了价值函数J(W16综上所述，我们可以把一般最优化条件打包起来，写成一个由两个一阶条件和一个偏微分方程构成的方程组通过求解这个方程组可以同时获得最优消费C*

/投资w*解和价值函数J(W,t)

。综上所述，我们可以把一般最优化条件打包起来，写成一个由两个一17特殊形式的效用函数特殊形式的效用函数18第8章最优消费投资决策连续时间解析课件19解得：解得：20结论：最优资产选择比例w*是独立于财富水平、消费决策、甚至时间的一个常数。它是由投资机会（市场参数、和r）决定的，这与在考察静态资产选择问题时获得的相应结论很相似。而消费水平则取决于财富水平，这与前面离散时间模型的结论是一致的。结论：最优资产选择比例w*是独立于财富水平、消费决策、甚至21假定投资者决定不留任何遗产，而且效用函数采用HRHA形式假定投资者决定不留任何遗产，而且效用函数采用HRHA形式22第8章最优消费投资决策连续时间解析课件23解得结论：风险资产的需求与财富之间存在线性关系，而且HARA族函数是惟一能够体现这种线性关系的凹的效用函数。解得结论：风险资产的需求与财富之间存在线性关系，而且HARA24多种资产：n维几何布朗运动把上述关于两种资产的结论，推广到多种资产情形并不很复杂。只需要假定2修改为：市场上有n+1种资产，第0种仍然是收益为r的无风险资产，其他n种为风险资产，它们的价格运动遵循n维几何布朗运动：多种资产：n维几何布朗运动把上述关于两种资产的结论，推广到25第8章最优消费投资决策连续时间解析课件26第8章最优消费投资决策连续时间解析课件27第8章最优消费投资决策连续时间解析课件28第8章最优消费投资决策连续时间解析课件29第8章最优消费投资决策连续时间解析课件30结论：对于风险证券的最优需求w*是线性的，用矩阵求逆来解出它，得到：最优资产组合决策仍然是独立于消费决策的。结论：31重写一阶条件，有：为了获得显性解，仍然要假定效用函数采用下面的形式：重写一阶条件，有：为了获得显性解，仍然要假定效用函数采用下面32第8章最优消费投资决策连续时间解析课件33第8章最优消费投资决策连续时间解析课件34第8章最优消费投资决策连续时间解析课件35第8章最优消费投资决策连续时间解析课件36第8章最优消费投资决策连续时间解析课件37无限时间情形无限时间情形38第8章最优消费投资决策连续时间解析课件39第8章最优消费投资决策连续时间解析课件40第8章最优消费投资决策连续时间解析课件41第8章最优消费投资决策连续时间解析课件42第8章最优消费投资决策连续时间解析课件43第8章最优消费投资决策连续时间解析课件44一般情形：伊藤过程问题的描述：前面一直假定风险资产的价格遵循几何布朗运动。这也就是说，任意风险资产的瞬间收益率恒为

且方差为2。但是这往往是不现实的，在实际生活中

和2常常是其他外生变量的函数。一般情形：假定风险资产的价格运动遵循伊藤扩散过程，即一般情形：伊藤过程问题的描述：前面一直假定风险资产的价格遵循45这些定义形式上类似于几何布朗运动的情况，但关键的差异在于——这里的风险资产的期望收益和方差是外生的新自变量（向量）S的函数。而S就是在离散时间情况下，所定义的状态变量。如何决定这些状态变量是一个经验的问题。状态变量是全部外生经济风险的体现，它完全决定了投资者面对的投资机会集合。这些定义形式上类似于几何布朗运动的情况，但关键的差异在于——46尽管直接效用函数Ui[C(t),t]是状态独立的，间接效用函数J[W(t),S(t),t]现在是状态依存的了。上式仍然要满足非负消费和非负财富的隐性约束。尽管直接效用函数Ui[C(t),t]是状态独立的，间接效用函47第8章最优消费投资决策连续时间解析课件48用HJB方程对C和w求导，可以得到n+1个一阶最优条件：

（2-108）式就是代表性理性个人的最优风险资产组合。到此为止，我们就获得了个人终身最优消费/投资决策问题解的最一般形式。用HJB方程对C和w求导，可以得到n+1个一阶最优条件：49互助基金定理如何理解该最优资产组合的经济意义呢？可以把（2-108）式右边分解为两个独立的部分：先考虑第二部分即第二项等于0的情形，下列情形可能会导致第二项为0。（1）投资机会集方面。这又有两种情况：①状态变量Sj,(j=1,2,m)的变化是非随机的，这样就有gj=0,(j=0,1,2,m）；②在整个投资期间内市场参数——风险资产收益率、方差、协方差和无风险资产收益率，都独立于状态变量S(t)，即ij=0。这两种情况下，都会使得=0

，从而使等（2-108）式的第二项为0，这被统称为不变投资机会集（constantinvestmentopportunityset）。（2）效用函数方面。如果投资者引至效用函数J中财富的边际效用，即WJ不依赖于状态变量S(t)

，则这时混合偏导数JWs=0,(s=1,2,m)。根据包络条件，这只有当最优消费C*不依赖于状态变量S(t)时才成立。如果投资者具有对数形式的效用函数，则间接效用函数J(W，S)

是W的函数和S的函数的简单加总，从而使得（2-108）式中的第二项为0。互助基金定理如何理解该最优资产组合的经济意义呢？可以把（2-50在以上三种情况下，最优资产组合都可以简化为这就是上一小节中，假定资产价格遵循几何布朗运动时，也就是资产价格呈对数正态分布时的结论。进一步，令显然有1TwT=1。wT是最小方差曲线上与无风险借贷线（noriskborrowinglendingline）相切的切点资产组合。在以上三种情况下，最优资产组合都可以简化为51通过它可以把（2-109）式变形为即投资者的最优资产组合为切点资产组合的一个固定比例。它说明：如同在单一时期中按照均方效率原则决策的投资者，连续时间的投资者也仅仅会投资在两种资产（组合）上，一种是无风险资产，一种是切点资产组合。通过它可以把（2-109）式变形为52互助基金定理：定理2.2.1（两基金分离或者互助基金）如果连续决策的投资者面对不变投资机会集，他们会把财富在两种资产或者资产组合上做出分配，一种是无风险借贷，另一种是切点资产组合。说明：这是马科维茨-托宾分离定理的连续时间版本，但是它不需要倍受争议的二次效用形式和资产收益呈椭圆分布的假定。因此不变的投资机会集，是保证连续时间投资者像单一时期按照均方效率原则行动的风险厌恶投资者一样决策的充要条件。互助基金定理：53一般情形：假定上述关于对数效用函数和不变投资机会集的要求均不成立，则最优资产组合为一般情形：假定上述关于对数效用函数和不变投资机会集的要求均不54因此V-1j确实代表了那些可以对投资机会集变化（Sj变化）进行对冲（hedging）的资产组合，它本质上是一个逆对经济风险jS的最佳保值方案。投资者持有这些对冲资产组合的数量由系数(-JjW/WJWW)决定，因此投资者对那些可以对经济风险（状态变量）的意外变化进行保值的对冲资产组合，具有额外的需求。这是（连续时间）跨期动态决策最富有特色的部分，也是它与静态决策最大的区别所在。因此V-1j确实代表了那些可以对投资机会集变化（Sj55wH中包含了m种可以对m个状态变量进行保值的对冲基金。这样就有新的m+2助基金定理wH中包含了m种可以对m个状态变量进行保值的对冲基金。56定理2.2.2（m+2互助基金）如果投资者面对受状态变量影响的投资机会集，则他们会把财富在m+2种资产或者资产组合上做出分配，一种是无风险借贷，另一种是切点资产组合，其他是m种能够对于状态变量变化提供最佳保值的对冲资产组合。说明：这种基金组合确实复制了那种由原始的n+1种资产构成的最优资产组合。它不依赖于投资者偏好、财富水平，因此每一个投资者都可以通过投资这m+2种基金来获得最优资产组合。如果m≥n+1，则该定理意义不大；但如果m<<n，则这m+2种基金对可交易证券品种提供了非平凡的扩展（spanning）功能。为了比较静态决策和动态问题的差异，可以进一步分析那些扩展出的证券的特征。我们已经知道第1和2号基金是静态最优化中的普通基金，而跨期行为的标志就在其余的第2+m号基金上。定理2.2.2（m+2互助基金）如果投资者面对受状态变57第8章最优消费投资决策连续时间解析课件58如果把最优资产需求（2-108）式，用直接效用函数和最优消费函数表示出来的话，上述结论就会更容易理解。不过需要注意的是，最优消费*C现在是状态依存的了，即C*

(W,S,t)

。如果把最优资产需求（2-108）式，用直接效用函数和最优消费59根据包络条件和隐函数定理，对于C*>0，有根据包络条件和隐函数定理，对于C*>0，有60由于假定效用函数是凹的，所以（-JW/JWW）始终大于0。因为C*/W>0,所以第二项系数(-JjW/JWW）的符号取决于(-C*/Sj)的符号。如果某一状态变量的变化会导致当期最优消费的减少，我们就称这种变化是不利的变化。换句话说，如果(-C*/Sj<0)，则该状态变量的增加对投资者来说是不利的。在这种情况下，就有(-JjW/JWW)>0.观察对最优资产的额外需求（2-117）式容易知道，投资者对于其收益同该状态变量Sj的变化完全正相关的那种资产的额外需求是正的。通过持有更多的该种保值资产，投资者平滑了整个消费过程。应当注意的是，这并不是一般意义的平均化消费，它代表投资者对于可能出现的消费风险的保险/保值行为。静态分析中之所以缺乏这种保值行为，是因为在静态分析中，效用函数被假定为仅仅取决于期末财富水平，这就隐含着(-C*/Sj=0)。跨期动态模型中的风险资产，除了能够体现一般的期末财富风险/收益权衡关系以外，它还为其他经济风险提供防御的手段。由于假定效用函数是凹的，所以（-JW/JWW）始终大于0。因61综上所述，从各个方面来看，跨期模型都要比它的静态等价物强得很多。例如它放弃了笨拙的二次效用形式和正态分布假定；有趣的是：它所获得最优资产需求结构，也表现出它的比较静态等价物的资产分离（互助基金定理）特性；通过假定资产运动采用更为一般的伊藤形式，它避免了离散模型的无限负债可能，因此它更加符合实际，在数学上也更“容易”处理。综上所述，从各个方面来看，跨期模型都要比它的静态等价物强得很62动态资本资产定价模型思路：上一节的分析获得了个人最优投资决策w*。如同单期中获得CAPM的方式，也可以通过加总个人需求，获得风险资产的市场需求，并进一步发现它们的均衡价格（收益）。动态资本资产定价模型思路：上一节的分析获得了个人最优投资决策63跨期资本资产定价模型跨期资本资产定价模型64第8章最优消费投资决策连续时间解析课件65第8章最优消费投资决策连续时间解析课件66第8章最优消费投资决策连续时间解析课件67结论：投资者最优投资组合可以表示为三种基金的线性组合，这样就有所谓三基金分离（three-fundportfolioseparation），即个人可以在无风险借贷、切点资产组合wT和对冲资产组合wH之间分配投资基金，投资于后两种资产组合的比例由投资者的风险偏好态度决定，也就是说对于不同投资者来说一般是不同的。这一分离定理是m+2基金分离定理的简化形式。结论：投资者最优投资组合可以表示为三种基金的线性组合，这样就68第8章最优消费投资决策连续时间解析课件69第8章最优消费投资决策连续时间解析课件70总体上看，投资者倾向于使用对冲基金为特定的投资机会集进行保值的话，则会抬高这种资产组合的均衡价格，从而降低它的均衡收益率（如果反向对冲则效果正好相反）。这就使得它的收益率与CAPM所预言的收益率有所出入。总体上看，投资者倾向于使用对冲基金为特定的投资机会集进行保值71第8章最优消费投资决策连续时间解析课件72在跨期条件下，仅仅与市场资产组合相联系的系数，还不足以描绘一种资产的相对风险，它与投资机会集的协方差也会影响它的价格和最优需求数量。要注意的是：这两者都是系统风险，因而它是一种两的均衡。在跨期条件下，仅仅与市场资产组合相联系的系数，还不足以描绘73在什么条件下，跨期资本资产定价模型可以得到与静态的资本资产定价模型相兼容的结论？在什么条件下，跨期资本资产定价模型可以得到与静态的资本资产定74这个结论同静态的CAPM获得的结论完全一致，但它不需要二次效用形式和正态分布假定。显然，在这种情况下，因为r是常数，没必要做保值，从而市场系数就完全决定了单个风险资产的收益。这个结论同静态的CAPM获得的结论完全一致，但它不需要二次75第8章最优消费投资决策连续时间解析课件76消费资本资产定价模型上面的分析选择的状态变量是利率r，这是随意选择的。如何发现那些建立模型时可用的状态变量呢？一种方法就如前面讨论的无套利模型一样，基于历史数据采用某种因素分析方法。另一种则是理论假定采用某种状态变量。例如可以选择真实消费作为状态变量。消费资本资产定价模型上面的分析选择的状态变量是利率r，这是77投资者k的绝对风险厌恶系数为，代入（2-147）得投资者k的绝对风险厌恶系数为，代入（78第8章最优消费投资决策连续时间解析课件79第8章最优消费投资决策连续时间解析课件80第8章最优消费投资决策连续时间解析课件81说明：在这样一种跨期经济中，市场资产组合不再具有均方效率，而恰恰是那些在收益上与真实总消费有着最高相关关系的资产组合，是具有均方效率的。直观上理解ICAPM的数学分析基于以下观察：给定一条最优路径，个人会极力把消费的边际效用设定为财富的边际效用（包络条件）。因而财富的效用是这种理论的基本点，而这正恰恰是CCAPM的核心。给定财富和当前状态，一个间接效用函数就描述了通过最优决策，获得个人未来（终身）效用的当前价值。沿着这条最优路径，个人总是以资产收益对财富的边际效用变化之间的相关关系，来评估它们的价值。某种资产的边际价值（或者公平市场价格），就应当是它的未来支付的期望边际效用，而支付的边际效用的数学期望取决于该期望支付值的大小、履行支付的时间，以及它们与不同时间的一单位消费（或者支付）之间的协方差。说明：82第8章最优消费/投资决策:连续时间第8章最优消费/投资决策:连续时间83连续时间模型假定消费/投资决策可以连续调整，事实上如果调整间隔非常短的话，则它是一种良好的近似，因此相对于离散模型来说，它更为灵活。连续时间理论以连续时间随机过程理论为数学基础，鉴于对它的研究已有上百年的历史，有大量的成果和工具可供使用，因此它也成为了成果最为丰富的金融经济学研究领域。它在各个方面都产生了比它们的离散时间等价物更为精准和明确的结果，即便是在存在明显交易费用（transactioncost）的情况下（这使得真实交易必定是离散的），许多结论同样也可以成立。连续时间模型假定消费/投资决策可以连续调整，事实上如果调整间84从金融分析的历史沿革来看，解决（连续时间）跨期最优消费/投资问题，历来有以下两种思路（或者说方法）。（1）随机最优控制方法。它被称为传统方法，它基于随机控制方法的一些标准成果，该方法在离散时间环境下的应用，我们在上一节中已经详细讨论过。在连续时间环境下，求解最优控制C*和w*的关键，是解一个被称为哈密尔顿-雅可比-贝尔曼（Hamilton-Jacobi-Bellman，HJB）的非线性偏微分方程（non-linearpartialdifferentialequation）。整个方法大致可以分为三个步骤。第一步是找到最优消费（C*

）/资产选择策略（w*），它们是最优期望效用的一个函数；第二步就是把这个（函数形式的）最优消费/投资策略代入到HJB方程，便得到一个非线性的偏微分方程，解这个方程；第三步把方程的解和它的偏导数代入最优消费/投资策略函数，得到它们的显性解。从金融分析的历史沿革来看，解决（连续时间）跨期最优消费/投资85（2）鞅方法（martingaleapproach）。这种方法出现在二十世纪80年代早期，并迅速在主流金融经济学的研究中流行开来。它在经济上基于完备市场（completemarket）假定和无套利（non-arbitrage）原则，在数学上借助于鞅和随机积分理论。（2）鞅方法（martingaleapproach）。这种86两种资产：几何布朗运动思路：本节将频繁使用随机最优控制方法，仍然按照先易后难的原则，先从两种资产的简单情况开始，然后推广到一般情形。在分析过程中，我们会不断比较连续时间模型与它的离散时间等价物之间的异同。两种资产：几何布朗运动思路：本节将频繁使用随机最优控制方法，87假定（1）假定消费、投资发生在无限小的时间间隔内，即连续进行。（2）理想化的证券市场上存在两种金融资产。一种为无风险资产，在投资者的整个生存期限内有固定的净收益率r，它的价格p0(t)

运动可以用下面的微分方程来表示：假定（1）假定消费、投资发生在无限小的时间间隔内，即连续进行88第8章最优消费投资决策连续时间解析课件89（3）消费者可以控制的决策变量有两个。一是每一时刻的消费数量，或者从整个时期来看，消费率过程（comsumptionrateprocess）C(t)

；另一个则是在不同资产之间分配投资基金的资产组合比例——或者资产组合过程（portfolioprocess）w(t)

。仍然令投向风险资产上的资金占总财富的比例为w(t)，则投向无风险资产上的财富比例就是1-w(t)。（3）消费者可以控制的决策变量有两个。一是每一时刻的消费数量90（4）整个个人生命周期内，除了开始时刻具有一定的初始资源禀赋以外，没有非资本收入，或者说具有0外生禀赋过程。这样财富过程（或者预算约束）可以表示为下面形式的微分方程：这是离散时间财富约束差分方程（2-3）式的连续时间形式，即两种资产的增值减去消费等于财富的积累。（4）整个个人生命周期内，除了开始时刻具有一定的初始资源禀赋91把两种资产的价格运动过程（2-47）和（2-48）两式代入上式，得到财富变化也遵循一个扩散过程（diffusionprocess）：

把两种资产的价格运动过程（2-47）和（2-48）两式代入上92第8章最优消费投资决策连续时间解析课件93第8章最优消费投资决策连续时间解析课件94这样我们就把最优消费/投资问题，用随机动态规划形式表达出来了，接着就可以根据前面提到的三个步骤来一步步地解决它。这样我们就把最优消费/投资问题，用随机动态规划形式表达出来了95第8章最优消费投资决策连续时间解析课件96第二步：把最优消费/投资组合的两个函数表达式代入HJB方程，并解这个偏微分方程。当然这并非是一件简单的事，因为求解一个高次的非线性偏微分方程是非常困难的，这种类型的方程是不大可能会有解析解的，即便是使用强大的数值方法（numericalmethods）对它进行求解也不是一件容易的事。第二步：把最优消费/投资组合的两个函数表达式代入HJB方程，97第三步：假定在上一步骤中，我们已经求出了价值函数J(W,t)

，就可以把它和它的偏导数代入在第一步中获得的C*和w*的函数式中，从而得到它们的显性解（explicitsolution）。这时它们仅仅是W、r、t、、、的函数。第三步：假定在上一步骤中，我们已经求出了价值函数J(W98综上所述，我们可以把一般最优化条件打包起来，写成一个由两个一阶条件和一个偏微分方程构成的方程组通过求解这个方程组可以同时获得最优消费C*

/投资w*解和价值函数J(W,t)

。综上所述，我们可以把一般最优化条件打包起来，写成一个由两个一99特殊形式的效用函数特殊形式的效用函数100第8章最优消费投资决策连续时间解析课件101解得：解得：102结论：最优资产选择比例w*是独立于财富水平、消费决策、甚至时间的一个常数。它是由投资机会（市场参数、和r）决定的，这与在考察静态资产选择问题时获得的相应结论很相似。而消费水平则取决于财富水平，这与前面离散时间模型的结论是一致的。结论：最优资产选择比例w*是独立于财富水平、消费决策、甚至103假定投资者决定不留任何遗产，而且效用函数采用HRHA形式假定投资者决定不留任何遗产，而且效用函数采用HRHA形式104第8章最优消费投资决策连续时间解析课件105解得结论：风险资产的需求与财富之间存在线性关系，而且HARA族函数是惟一能够体现这种线性关系的凹的效用函数。解得结论：风险资产的需求与财富之间存在线性关系，而且HARA106多种资产：n维几何布朗运动把上述关于两种资产的结论，推广到多种资产情形并不很复杂。只需要假定2修改为：市场上有n+1种资产，第0种仍然是收益为r的无风险资产，其他n种为风险资产，它们的价格运动遵循n维几何布朗运动：多种资产：n维几何布朗运动把上述关于两种资产的结论，推广到107第8章最优消费投资决策连续时间解析课件108第8章最优消费投资决策连续时间解析课件109第8章最优消费投资决策连续时间解析课件110第8章最优消费投资决策连续时间解析课件111第8章最优消费投资决策连续时间解析课件112结论：对于风险证券的最优需求w*是线性的，用矩阵求逆来解出它，得到：最优资产组合决策仍然是独立于消费决策的。结论：113重写一阶条件，有：为了获得显性解，仍然要假定效用函数采用下面的形式：重写一阶条件，有：为了获得显性解，仍然要假定效用函数采用下面114第8章最优消费投资决策连续时间解析课件115第8章最优消费投资决策连续时间解析课件116第8章最优消费投资决策连续时间解析课件117第8章最优消费投资决策连续时间解析课件118第8章最优消费投资决策连续时间解析课件119无限时间情形无限时间情形120第8章最优消费投资决策连续时间解析课件121第8章最优消费投资决策连续时间解析课件122第8章最优消费投资决策连续时间解析课件123第8章最优消费投资决策连续时间解析课件124第8章最优消费投资决策连续时间解析课件125第8章最优消费投资决策连续时间解析课件126一般情形：伊藤过程问题的描述：前面一直假定风险资产的价格遵循几何布朗运动。这也就是说，任意风险资产的瞬间收益率恒为

且方差为2。但是这往往是不现实的，在实际生活中

和2常常是其他外生变量的函数。一般情形：假定风险资产的价格运动遵循伊藤扩散过程，即一般情形：伊藤过程问题的描述：前面一直假定风险资产的价格遵循127这些定义形式上类似于几何布朗运动的情况，但关键的差异在于——这里的风险资产的期望收益和方差是外生的新自变量（向量）S的函数。而S就是在离散时间情况下，所定义的状态变量。如何决定这些状态变量是一个经验的问题。状态变量是全部外生经济风险的体现，它完全决定了投资者面对的投资机会集合。这些定义形式上类似于几何布朗运动的情况，但关键的差异在于——128尽管直接效用函数Ui[C(t),t]是状态独立的，间接效用函数J[W(t),S(t),t]现在是状态依存的了。上式仍然要满足非负消费和非负财富的隐性约束。尽管直接效用函数Ui[C(t),t]是状态独立的，间接效用函129第8章最优消费投资决策连续时间解析课件130用HJB方程对C和w求导，可以得到n+1个一阶最优条件：

（2-108）式就是代表性理性个人的最优风险资产组合。到此为止，我们就获得了个人终身最优消费/投资决策问题解的最一般形式。用HJB方程对C和w求导，可以得到n+1个一阶最优条件：131互助基金定理如何理解该最优资产组合的经济意义呢？可以把（2-108）式右边分解为两个独立的部分：先考虑第二部分即第二项等于0的情形，下列情形可能会导致第二项为0。（1）投资机会集方面。这又有两种情况：①状态变量Sj,(j=1,2,m)的变化是非随机的，这样就有gj=0,(j=0,1,2,m）；②在整个投资期间内市场参数——风险资产收益率、方差、协方差和无风险资产收益率，都独立于状态变量S(t)，即ij=0。这两种情况下，都会使得=0

，从而使等（2-108）式的第二项为0，这被统称为不变投资机会集（constantinvestmentopportunityset）。（2）效用函数方面。如果投资者引至效用函数J中财富的边际效用，即WJ不依赖于状态变量S(t)

，则这时混合偏导数JWs=0,(s=1,2,m)。根据包络条件，这只有当最优消费C*不依赖于状态变量S(t)时才成立。如果投资者具有对数形式的效用函数，则间接效用函数J(W，S)

是W的函数和S的函数的简单加总，从而使得（2-108）式中的第二项为0。互助基金定理如何理解该最优资产组合的经济意义呢？可以把（2-132在以上三种情况下，最优资产组合都可以简化为这就是上一小节中，假定资产价格遵循几何布朗运动时，也就是资产价格呈对数正态分布时的结论。进一步，令显然有1TwT=1。wT是最小方差曲线上与无风险借贷线（noriskborrowinglendingline）相切的切点资产组合。在以上三种情况下，最优资产组合都可以简化为133通过它可以把（2-109）式变形为即投资者的最优资产组合为切点资产组合的一个固定比例。它说明：如同在单一时期中按照均方效率原则决策的投资者，连续时间的投资者也仅仅会投资在两种资产（组合）上，一种是无风险资产，一种是切点资产组合。通过它可以把（2-109）式变形为134互助基金定理：定理2.2.1（两基金分离或者互助基金）如果连续决策的投资者面对不变投资机会集，他们会把财富在两种资产或者资产组合上做出分配，一种是无风险借贷，另一种是切点资产组合。说明：这是马科维茨-托宾分离定理的连续时间版本，但是它不需要倍受争议的二次效用形式和资产收益呈椭圆分布的假定。因此不变的投资机会集，是保证连续时间投资者像单一时期按照均方效率原则行动的风险厌恶投资者一样决策的充要条件。互助基金定理：135一般情形：假定上述关于对数效用函数和不变投资机会集的要求均不成立，则最优资产组合为一般情形：假定上述关于对数效用函数和不变投资机会集的要求均不136因此V-1j确实代表了那些可以对投资机会集变化（Sj变化）进行对冲（hedging）的资产组合，它本质上是一个逆对经济风险jS的最佳保值方案。投资者持有这些对冲资产组合的数量由系数(-JjW/WJWW)决定，因此投资者对那些可以对经济风险（状态变量）的意外变化进行保值的对冲资产组合，具有额外的需求。这是（连续时间）跨期动态决策最富有特色的部分，也是它与静态决策最大的区别所在。因此V-1j确实代表了那些可以对投资机会集变化（Sj137wH中包含了m种可以对m个状态变量进行保值的对冲基金。这样就有新的m+2助基金定理wH中包含了m种可以对m个状态变量进行保值的对冲基金。138定理2.2.2（m+2互助基金）如果投资者面对受状态变量影响的投资机会集，则他们会把财富在m+2种资产或者资产组合上做出分配，一种是无风险借贷，另一种是切点资产组合，其他是m种能够对于状态变量变化提供最佳保值的对冲资产组合。说明：这种基金组合确实复制了那种由原始的n+1种资产构成的最优资产组合。它不依赖于投资者偏好、财富水平，因此每一个投资者都可以通过投资这m+2种基金来获得最优资产组合。如果m≥n+1，则该定理意义不大；但如果m<<n，则这m+2种基金对可交易证券品种提供了非平凡的扩展（spanning）功能。为了比较静态决策和动态问题的差异，可以进一步分析那些扩展出的证券的特征。我们已经知道第1和2号基金是静态最优化中的普通基金，而跨期行为的标志就在其余的第2+m号基金上。定理2.2.2（m+2互助基金）如果投资者面对受状态变139第8章最优消费投资决策连续时间解析课件140如果把最优资产需求（2-108）式，用直接效用函数和最优消费函数表示出来的话，上述结论就会更容易理解。不过需要注意的是，最优消费*C现在是状态依存的了，即C*

(W,S,t)

。如果把最优资产需求（2-108）式，用直接效用函数和最优消费141根据包络条件和隐函数定理，对于C*>0，有根据包络条件和隐函数定理，对于C*>0，有142由于假定效用函数是凹的，所以（-JW/JWW）始终大于0。因为C*/W>0,所以第二项系数(-JjW/JWW）的符号取决于(-C*/Sj)的符号。如果某一状态变量的变化会导致当期最优消费的减少，我们就称这种变化是不利的变化。换句话说，如果(-C*/Sj<0)，则该状态变量的增加对投资者来说是不利的。在这种情况下，就有(-JjW/JWW)>0.观察对最优资产的额外需求（2-117）式容易知道，投资者对于其收益同该状态变量Sj的变化完全正相关的那种资产的额外需求是正的。通过持有更多的该种保值资产，投资者平滑了整个消费过程。应当注意的是，这并不是一般意义的平均化消费，它代表投资者对于可能出现的消费风险的保险/保值行为。静态分析中之所以缺乏这种保值行为，是因为在静态分析中，效用函数被假定为仅仅取决于期末财富水平，这就隐含着(-C*/Sj=0)。跨期动态模型中的风险资产，除了能够体现一般的期末财富风险/收益权衡关系以外，它还为其他经济风险提供防御的手段。由于假定效用函数是凹的，所以（-JW/JWW）始终大于0。因143综上所述，从各个方面来看，跨期模型都要比它的静态等价物强得很多。例如它放弃了笨拙的二次效用形式和正态分布假定；有趣的是：它所获得最优资产需求结构，也表现出它的比较静态等价物的资产分离（互助基金定理）特性；通过假定资产运动采用更为一般的伊藤形式，它避免了离散模型的无限负债可能，因此它更加符合实际，在数学上也更“容易”处理