应用经济数学64

一.非齐次线性方程组的消元解法

ESC§6.4线性方程组的消元解法

二.线性方程组解的判定§6.4线性方程组的消元解法

一.非齐次线性方程组的消元解法

ESC§6.4线性方程组的消元解法

二.线性方程组解的判定§6.4线性方程组的消元解法

ESC一.非齐次线性方程组的消元解法设含有n个未知数m个方程的线性方程组若常数项,,…,不全为零,则称此方程组为非齐次线性方程组.非齐次线性方程组

ESC一.非齐次线性方程组的消元解法设含有n个未知数m个方程的线性方程组若常数项,,…,全为零,即则称此方程组为齐次线性方程组.齐次线性方程组

ESC一.非齐次线性方程组的消元解法记系数矩阵未知量矩阵常数项矩阵AXb若b≠O,则非齐次线性方程组用矩阵可表示为AX=b.若b＝O,则齐次线性方程组用矩阵可表示为AX=O.ESC增广矩阵A～

Ab一.非齐次线性方程组的消元解法ESC一.非齐次线性方程组的消元解法对于非齐次线性方程组AX=b,b≠O.和齐次线性方程组AX=O.要解决如下三个问题(1)方程组是否有解?(2)若有解,是否是唯一解?(3)如何求方程组的解?ESC一.非齐次线性方程组的消元解法案例用消元法解下列非齐次线性方程组:

消元法的基本思想是把方程组中的部分方程变成未知量较少从而求出解.也就是通过对方程组进行同解变形来实现的.项进行变换.分析的方程,而对方程组进行同解变形实际上就是对方程组的系数和常数下面在用消元法解方程组时,对照观察线性方程组的增广矩阵.(未完待续)ESC解案例(方程组与增广矩阵对照演示)

方程组增广矩阵

①②③①④⑤方程①乘上数(-2)、(-1)加到方程②和方程③上,得A～

A～

A～

分别将的第1行乘上数(-2)、(-1)加到第2行和第3行上,得A～

(未完待续)解案例(方程组与增广矩阵对照演示)

①④⑥①④⑤A～

方程组增广矩阵

A～

把方程⑤乘上,得ESC把上述矩阵的第3行乘上,得(未完待续)解案例(方程组与增广矩阵对照演示)

ESC①⑥④①④⑥方程组增广矩阵

A～

交换方程④和方程⑥的位置,得交换上述矩阵的第2行和第3行,得(未完待续)解案例(方程组与增广矩阵对照演示)

ESC①⑥④方程组增广矩阵

A～

为消去方程④未知量,将方程⑥乘上数3加到方程④上,得

将上述矩阵的第2行乘上数3加到第3行上,得①⑥⑦A～

1

阶梯形方程组

阶梯形矩阵

(未完待续)解案例(方程组与增广矩阵对照演示)

ESC方程组增广矩阵

A～

①⑥⑦A～

1为求方程组的解,将方程⑦乘上,得①⑥⑧把上述矩阵的第3行乘上,得(未完待续)解案例(方程组与增广矩阵对照演示)

ESC方程组增广矩阵

A～

①⑥⑧(未完待续)将上述矩阵第3行分别乘上数2、(-1),加到第2行和第1行上,得将代入前两个方程,即将方程⑧分别乘上数2、(-1)加到方程⑥和方程①上,得⑨⑩⑧解案例(方程组与增广矩阵对照演示)

ESC方程组增广矩阵

A～

(完)⑨⑩⑧将代入前一个方程,即将方程⑩乘上数(-3)加到方程⑨上,得将上述矩阵第2行乘上数(-3)加到第1行上,得A～

2原方程组的解

简化阶梯形矩阵

唯一解用消元法求解线性方程组过程·对照ESC方程组增广矩阵

(1)消元过程:通过对方程组的系数和常数项进行算术运算,自上而下地将各个方程所含未知量的个数依次减少,最后把方程组化为阶梯形方程组；(2)回代过程:由阶梯形方程组逐次求出各未知量.相应地A～

(1)用矩阵的初等行变换将化为阶梯形矩阵:阶梯形方程组相对应的矩阵是阶梯形矩阵;A

～

A

～

1(2)用矩阵的初等行变换将矩阵化为简化阶梯形矩:简化阶梯形矩阵给出了原方程组的解.A

～

1ESC非齐次线性方程组的求解过程与程序一.非齐次线性方程组的消元解法若r(A)=r()A

～

r(A)≠r()A

～

(1)经初等行变换将化为阶梯形矩阵;A

～

A

～

1(2)继续化为简化阶梯形矩阵;A

～

1A

～

2非齐次线性方程组无解,解题结束.(3)写出简化阶梯形矩阵对应的线性方程组.A

～

2由简化阶梯形矩阵给出原方程组的解.A

～

2ESC一.非齐次线性方程组的消元解法解线性方程组:

(未完待续)练习1(1)将线性方程组的增广解A～

矩阵化为阶梯形矩阵.

A～

ESC一.非齐次线性方程组的消元解法(未完待续)练习1(1)将线性方程组的增广续解A～

矩阵化为阶梯形矩阵.

A～

阶梯形矩阵A

～

1与对应的方程组为

A～

10=0.ESC一.非齐次线性方程组的消元解法(未完待续)练习1续解(2)继续将阶梯形矩阵化为简化阶梯形矩阵.A～

1A～

1A～

2简化阶梯形矩阵ESC一.非齐次线性方程组的消元解法(未完待续)练习1续解A～

1A～

2(3)写出与对应的方程组A～

2简化阶梯形矩阵该方程组可写成ESC一.非齐次线性方程组的消元解法(完)练习1续解该方程组可写成若取则原方程组的解是(3)写出与对应的方程组A～

2,求出原方程组的解.其中

为任意常数.

原方程组有无穷多组解线性方程组的一般解ESC一.非齐次线性方程组的消元解法解线性方程组:

(未完待续)练习2解A～

并对其施行初等行变换,化为阶梯形矩阵.(1)写出方程组的增广矩阵,A～

ESC一.非齐次线性方程组的消元解法(完)练习2续解A～

并对其施行初等行(1)写出方程组的增广矩阵,A～

变换,化为阶梯形矩阵.A

～

阶梯形矩阵

A

～

1与对应的方程组为

A～

1矛盾方程原方程组无解ESC一.非齐次线性方程组的消元解法以上我们利用消元法解了三个线性方程组.其求解过程可由方程组的增广矩阵进行初等行变换得到.A～

观察线性方程组系数矩阵A的秩r(A)、增广矩阵的秩r():

A～

案例中:

A～

A

A～r(A)=r()=3=未知量的个数,A～

原方程组有唯一解(未完待续)ESC一.非齐次线性方程组的消元解法(完)A～

A

A～r(A)=r()=2<未知量的个数4,A～

练习1中:

原方程组有无穷多组解A～

A

A～练习2中:

r(A)=2≠r()=3,

A～

原方程组无解ESC二.线性方程组解的判定设含有n个未知数m个方程的线性方程组非齐次线性方程组

或用矩阵表示AX=b.有解r(A)=r()=r.

A～

这时,自由未知量的个数为n-r.(1)当r=n(未知量的个数)时,有唯一解;(2)当r<n时,有无穷多解,定理6.3ESC方程组:

(未完待续)练习3解A～

并对其施行初等的增广矩阵,A～

写出方程组行变换.解线性

二.线性方程组解的判定ESC(未完待续)练习3续解A～

并对其施行初等的增广矩阵,A～

写出方程组行变换.二.线性方程组解的判定ESC(未完待续)练习3续解A～

并对其施行初等的增广矩阵,A～

写出方程组行变换.阶梯形矩阵A

～

1由阶梯形矩阵知,A～

1r(A)=r()=3<未知量的个数5,A～

原方程组有无穷多组解自由未知量的个数为5－3=2.

二.线性方程组解的判定ESC(未完待续)练习3续解并对其施行初等的增广矩阵,A～

写出方程组行变换.A～

1简化阶梯形矩阵A

～

2二.线性方程组解的判定ESC(完)练习3续解简化阶梯形矩阵A

～

2A～

1A～

2与对应的方程组A～

2若取则方程组的一般解为其中

为任意常数.

二.线性方程组解的判定原方程组有无穷多组解ESC方程组:

(未完待续)练习4解(1)A～

已知线性

(2)当方程组有解时,求出它求(1)为何值时方程组有解?

为什么?

的一般解.施行初等行变换.的增广矩阵

对线性方程组A～

二.线性方程组解的判定ESC(未完待续)练习4A～

二.线性方程组解的判定续解(1)方程组有解.当即时,有r(A)=r(),

A～

r(A)=2,

r()=2,A～

此时(2)当时,A～

简化阶梯形矩阵ESC(完)练习4A～

二.线性方程组解的判定续解(2)r(A)=r()=2<3,

A～

所以原线性方程组有无穷多解,且含1个自由未知量.

因为

若取则方程组的一般解为:其中

为任意常数.

方程组有无穷多组解ESC二.线性方程组解的判定设含有n个未知数m个方程的线性方程组齐次线性方程组

用矩阵表示AX=O.一定有零解这时,自由未知量的个数为n-r(A).(1)当r(A)=n(未知量的个数)时,仅有零解;(2)当r(A)<