几何机动分析结构力学

关于几何机动分析结构力学第一页，共四十八页，2022年，8月28日1-1-1几何不变体系、几何可变体系1几何不变体系如果不考虑材料的变形，在任意荷载作用下，一个体系内的各杆件之间不存在发生刚体位移的可能。那么，称这个体系为几何不变体系，如图1-1所示。常规的工程结构绝大部分都是几何不变体系。第二页，共四十八页，2022年，8月28日2几何可变体系

如果不考虑材料的变形，尽管受到很小的作用力，一个体系内的各杆件之间存在发生刚体位移的可能。那么，称这个体系为几何可变体系。几何可变体系又可以分为两种，一种是几何常变体系，另一种是几何瞬变体系。（1）几何常变体系几何常变体系是指体系内部可以发生“有限量”的刚体位移。这里，“有限量”的含义是指体系的刚体位移值与体系本身的几何尺寸在数学上属同一量级。第三页，共四十八页，2022年，8月28日图1-2（a）所示体系，上部结构为铰接四边形，内部杆件之间存在发生“有限量”刚体位移的可能，是几何可变体系。图1-2（b）所示体系，虽然，上部结构为铰接三角形，内部杆件之间不存在发生刚体位移的可能，是几何不变体系。但是，如果把上部的三角形结构按照图1-2（b）所示方法建造在下面的基础上，则上部结构与基础之间就存在发生水平“有限量”刚体位移的可能。此时，由上部结构和基础组成的大体系就是几何常变体系。图1-2几何常变系第四页，共四十八页，2022年，8月28日几何常变体系只能在特定荷载下维持平衡，在一般荷载作用下均可能发生运动，因此几何常变体系不能作为常规的工程结构。（2）几何瞬变体系这是一类比较特殊的体系，原本是一个几何可变体系，但经过“微小量”位移以后，就变成了几何不变体系。这类体系，被称为几何瞬变体系。图1-3所示体系为几何瞬变体系的一种形式。在后面的分析中可以看到，几何瞬变体系在常规荷载作用下，能产生很大的内力和位移，因此，也不能作为常规的工程结构。第五页，共四十八页，2022年，8月28日1-1-2刚片、自由度和约束1刚片几何组成分析时，为了表述方便，常把几何不变体系称为刚片。因此，刚片可以是一根杆件，也可以是一个体系中部分杆件组成的小体系。支撑上部结构的基础通常也视为一个刚片。如图1-4a中阴影部分所示。第六页，共四十八页，2022年，8月28日在几何组成分析中，在保证与体系其它部分连接形式不变的前提下，刚片是可以替换的。因为，这样的替换不改变体系的自由度和约束的情况。因此，体系的几何组成结论不变。例如：图1-4a中的刚片Ⅰ是一根折杆，与体系的其它部分用铰连接。可以用最简单的直杆来替换。同理，刚片Ⅱ也可以用直杆替换。如图1-4所示。这样的替换会使结构的分析变得简单。第七页，共四十八页，2022年，8月28日2自由度所谓自由度是一个体系相对某个参照系的独立运动方式，自由度的数目在数值上等于确定体系在这个参照系中的位置需要的独立坐标数。几何组成分析中，通常以要分析的体系中某个刚片为参照系。因此，本书中的自由度是指体系内部相对的独立运动方式，即体系的内部自由度。第八页，共四十八页，2022年，8月28日例如：图1-5（a）所示的两个刚片组成的体系。两个刚片之间可以发生相对水平运动、相对竖向运动和相对转动。因此，体系的内部自由度为3。同理，在图1-5（b）所示的点A和基础组成的体系中，点A和基础之间可以发生相对水平运动和相对竖向运动。因此，体系的内部自由度为2；当然，在刚片和基础组成的体系中，其内部自由度为3（图1-5（c））第九页，共四十八页，2022年，8月28日3约束能够限制运动的装置称为约束。体系的自由度数目可因加入约束而减少。能够减少几个自由度，就称为几个约束。常见的约束有如下几种。（1）链杆图1-6所示为刚片AB和基础组成的体系。没有链杆时，该体系内部有3个自由度。加上链杆后，A点不能沿链杆方向运动，刚片AB和基础之间只有两个独立的相对运动方式，即水平方向的平动和刚片AB绕A点的转动。此时，体系内部的自由度数目已由3减少到2。第十页，共四十八页，2022年，8月28日由此可见，一根链杆相当于1个约束，可减少1个自由度。“链杆”的定义是广泛的。任何几何不变体系（刚片），只要它与体系的其它部分仅以两个单铰连接，都可视为沿两个单铰连线方向的链杆。链杆的约束作用就是使它所联系的两点之间的距离保持不变。第十一页，共四十八页，2022年，8月28日（2）铰结点:一种是单铰结点，另一种是复铰结点。仅连接两个刚片的铰称为单铰结点。图1-7（a）所示为刚片AB和BC组成的体系。没有铰B时，体系内部有3个自由度。用铰结点连接后，两个刚片之间只能发生相对转动。因此，只需1个坐标（两个刚片之间的相对转角）就可以确定体系内部各刚片之间的相对位置了。此时体系的自由度数目由3减少到1。由此可见，一个连接两个刚片的单铰结点相当于两个约束，可减少2个自由度。单铰结点第十二页，共四十八页，2022年，8月28日上图所示为刚片AB、BC、BD组成的体系。若没有铰B，则体系内部共有6个自由度。用铰结点连接后，体系的自由度为2（任意两个刚片相对于另一个刚片的转角），减少的自由度数目为4。若用m表示复铰结点连接的刚片数，用n表示复铰结点减少的自由度数目，则不难得出关系式：n=2(m-1)。因此，连接m个刚片的复铰结点相当于m-1个单铰结点。复铰结点：连接三个或三个以上刚片的铰。复铰结点第十三页，共四十八页，2022年，8月28日与“链杆”的定义相似，“铰”的定义也是广泛的。铰的约束作用是使它所联系的刚片只能绕其转动。因此，理论力学中的“瞬时转动中心”在广义上也是铰。因为是两个杆件延长线的交点，故称其为虚铰。第十四页，共四十八页，2022年，8月28日（3）刚结点：有单刚结点和复刚结点两种从图1-8（a）中不难看出，连接两个刚片的单刚结点可以减少3个自由度。与复铰结点类似，复刚结点（图1-8（b））可减少的自由度数目为3(m-1），相当于m-1个单刚结点。其中，m为连接的刚片数。第十五页，共四十八页，2022年，8月28日1-2-1两个刚片用一个铰和一根链杆连接组成的体系图1-9所示为两个刚片组成的体系。如果只用一个铰A连接两个刚片（图1-9（a）），很明显，这个体系内部只有1个自由度（两刚片之间的相对转角），是几何可变体系。如果在该体系上增加链杆1（图1-9（b）），则体系就变成了几何不变体系。这种能够减少体系自由度的约束称为必要约束。第十六页，共四十八页，2022年，8月28日再考察图1-9（c）和图1-9（d）两种情况。若链杆1通过铰A，则起不到减少自由度的作用，体系仍为几何可变体系；若再增加链杆2，很明显，该链杆对体系的几何稳定性不起作用。这种不能较少体系自由度的约束称为多余约束。多余约束对于保持体系的几何稳定性来说是不必要的，但后面将会看到，多余约束对于改善结构的受力、增加结构的安全度等方面来说是需要的。第十七页，共四十八页，2022年，8月28日由上面的分析，可以得出以下几何不变体系的组成规律。规律1

两个本身无多余约束的刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆相连，则组成的体系为几何不变体系，且无多余约束。1-2-2两个刚片用三根链杆连接组成的体系在图1-10（a）中，若体系中只有链杆1和链杆2，用O1表示它们的交点，显然两个刚片可以发生以O1为瞬时转动中心（也称虚铰或瞬铰）的微小转动。这时，两刚片之间的瞬时相对运动情况与两刚片在O1点用实铰连接时的运动情况完全相同。因此，对照规律1，如果图中链杆3不通过O1点，则该体系为几何不变体系，故可以这样描述该体系的几何组成规律。第十八页，共四十八页，2022年，8月28日规律2

两个本身无多余约束的刚片用三根既不相互平行，（延长线）又不相交于一点链杆连接，则组成的体系为几何不变体系，且无多余约束。在规律2中，将规律1中的“链杆不通过铰”的条件，换成了“链杆既不相互平行，（延长线）又不相交于一点”。因此，这两条规律在本质上也是一样的。第十九页，共四十八页，2022年，8月28日若三根链杆的延长线交于一点（图1-10（b）），则两个刚片将以这个交点作为瞬时转动中心，发生微小的相对转动。转动后，三根链杆的延长线便不再交于一点。因此，该体系为几何瞬变体系。若三根链杆（图1-10（c））交于一点（实铰），很明显，转动将继续下去，体系为几何可变体系。下面讨论一下三根链杆相互平行的情况。图1-11（a）所示体系中，三根链杆平行且等长，而且从刚片的同一侧连出，很明显是几何常变体系。图1-11（b）中，三根链杆平行且不等长，两个刚片将发生微小相对水平位移，之后三根链杆便不在全平行，体系变成几何不变体系。因此，原体系为几何瞬变体系。第二十页，共四十八页，2022年，8月28日图1-11（c）中，三根链杆平行且等长，但链杆从刚片的两侧连出，两个刚片发生微小相对水平位移后，三根链杆将不在全平行，体系变成几何不变体系。因此，原体系也为几何瞬变体系。第二十一页，共四十八页，2022年，8月28日1-2-3三个刚片用三个铰连接组成的体系由规律1可知，图1-12（a）所示体系为几何不变体系，且没有多余约束。现在，将该体系中的链杆BC看成一个刚片，如图1-12（b）所示。当然，这个体系的几何组成不变。对照规律1，可以这样描述这个三刚片体系的组成规律。第二十二页，共四十八页，2022年，8月28日规律3

三个本身无多余约束的刚片，用不在一条直线上的三个铰两两相连，则组成的体系为几何不变体系，且无多余约束。

在规律3中，将规律1中的“链杆不通过铰”的条件，换成了“三铰不共线”。因此，两条规律在本质上是一样的，只是描述的角度不同而已。在具体问题中，要注意灵活应用。在实际分析中，常遇到三铰中存在虚铰在无穷远的情况。为此，可以应用下列射影几何中关于无穷远直线和无穷远点的结论：（1）一组平行直线相交于同一个无穷远点；（2）方向不同的平行直线相交于不同的无穷远点；（3）平面上无穷远点均在同一直线上，这条直线称为无穷远直线。（4）任何有限远点均不在这条直线上。第二十三页，共四十八页，2022年，8月28日1一个铰在无穷远的情况第二十四页，共四十八页，2022年，8月28日图（a）中，虚铰O(Ⅰ,Ⅱ)在无穷远处，另外两个铰的连线与无穷远方向不平行，所以体系为几何不变体系。若另外两个铰的连线与无穷远方向平行，则体系为几何瞬变体系（图（b））。特殊地，若组成无穷远虚铰的两根链杆平行且等长，则体系为几何常变体系（图（c））。第二十五页，共四十八页，2022年，8月28日2两个铰在无穷远的情况第二十六页，共四十八页，2022年，8月28日图1-14(a)所示体系，有两个无穷远虚铰和一个有限位置的虚铰，体系为几何不变体系。若两个无穷远虚铰的四根链杆平行，则可认为在该方向上有一个无穷远虚铰，这个铰与有限位置的虚铰当然共线，因此，体系为瞬变体系（图1-14（b））。更进一步，若这四根链杆平行且等长，则体系为常变体系（图1-14（c））。第二十七页，共四十八页，2022年，8月28日3三个铰在无穷远的情况

图1-15(a)所示体系，三个无穷远铰在不同的方向上，均在无穷远直线上，体系为几何瞬变体系。图1-15（b）所示体系，因为组成无穷远铰的三对链杆平行且等长，三铰铰一直为无穷远铰。因此，体系是几何可变体系。第二十八页，共四十八页，2022年，8月28日1-2-4二元体规律用一个单铰连接的两个本身无多余约束刚片，分别仅在其它一个位置用铰与其它体系连接，且这三个铰不共线。这两个刚片及连接两个刚片的单铰组成的体系称为二元体。如图1-16（a）所示的刚片Ⅰ、刚片Ⅱ和单铰A就构成了一个二元体。第二十九页，共四十八页，2022年，8月28日几何组成分析时，在一个体系中正确判断哪部分是二元体是非常有用的。初学者在判断时也比较容易出错。例如：图中1-16（b）中，铰A不是单铰，所以，刚片Ⅰ、刚片Ⅱ和铰A组成的体系就不是二元体。再观察图1-16（c），除在A点外，刚片Ⅰ在其它两个位置与其它体系连接。这时，刚片Ⅰ、刚片Ⅱ和铰A组成的体系也不是二元体。基于二元体的定义，如果原体系是几何不变体系，在体系上增加二元体后，由三刚片规律（规律3）可知，新体系一定是几何不变体系。第三十页，共四十八页，2022年，8月28日去掉二元体的情况与此类似。于是得出如下二元体规律:规律4

在一个体系上增加或去掉二元体不会改变体系的几何组成。如果原体系是几何可变的，则由于二元体中的两个刚片限制了单铰点的自由度。因此，在这个体系上增加二元体不会较少体系的自由度。所以，增加二元体后的新体系仍然是几何可变的。第三十一页，共四十八页，2022年，8月28日【例题1-1】分析图1-17（a）所示体系的几何组成。【解】在图1-17（a）所示体系中，可以很容易判断出EFD组成的小体系是一个二元体，将其去掉得到图1-17（b）所示体系。在新体系中，CED也组成了一个二元体，也可以去掉。接下来，还可以去掉ACD组成的二元体。这样，就得到了图1-17（c）所示的简化体系，该体系为几何不变体系，且没有多余约束。根据规律4，原体系也是几何不变体系。第三十二页，共四十八页，2022年，8月28日【例题1-2】

分析图1-18（a）所示体系的几何组成。

【解】该题中的上部体系与基础之间用一个铰和一个不通过铰的链杆连接，这是几何不变体系的连接形式。如果上部体系几何不变，原体系也几何不变；若它几何可变，原体系也为几何可变。因此，可以将图1-18（a）中的基础和相应的约束（铰和链杆）去掉，直接分析上部体系（图1-18（b））。第三十三页，共四十八页，2022年，8月28日图1-18（b）所示体系，依次去掉二元体后，得到图1-18（c）所示体系。很明显，该体系有一个自由度。所以原体系也是有一个自由度的常变体系。总结当基础（刚片）与上部体系之间用几何不变体系的组成规律连接时，可以将基础（刚片）和相应的约束去掉，直接分析余下的体系。余下体系的分析结论就是原体系的结论。第三十四页，共四十八页，2022年，8月28日【例题1-3】分析图1-21（a）所示体系的几何组成。

【解】折杆AD和CE的约束作用与连接AD两点和EC两点的直杆相同，可用直杆替换，如图1-21（b）所示。将DBE和基础当做刚片，用三根链杆连接，因三杆延长线交于一点，故体系为瞬变体系。总结

分析中，可以将复杂刚片，在保持与其它部分的连接形式不变的情况下，用直杆代替。这样，可以使分析得到简化。第三十五页，共四十八页，2022年，8月28日【例题1-4】分析图1-22（a）所示体系的几何组成。

【解】这个体系共有9根杆件，又没有可以组成的三角形。因此，可以考虑将其中3根杆件看成刚片，其余6根杆件（相当于三个铰）看成是约束，用三刚片的组成规律来分析。首先，选出刚片Ⅰ，则与刚片Ⅰ连接的杆件就一定不是刚片，如图1-22（b）中虚线所示。这样其它两个刚片就好找了。很明显，连接三个刚片的虚铰不在一条直线上，因此，体系为几何不变体系，且没有多余约束。第三十六页，共四十八页，2022年，8月28日读者可以试着选择其它杆件作为刚片进行分析。总结对于应用三刚片规律分析的体系，选择刚片是一个难点。对于这道例题，可以先选定一个杆件作为刚片，则与其相连的杆件就一定是连接刚片的链杆。进一步，与这些链杆连接的其它杆件则是刚片。选择出两个刚片后，第三个刚片就好找了。第三十七页，共四十八页，2022年，8月28日【例题1-5】分析图1-24（a）所示体系的几何组成。

第三十八页，共四十八页，2022年，8月28日【解法一】本题可以只分析上部体系。题中三角形较多，可将三角形选做刚片，如图1-24（b）所示。很明显，三个刚片用三个不在一条直线上的三个铰A、B、C相连。因此，原体系为几何不变体系，没有多余约束。

【解法二】

分析上部体系时，也可以采用依次去掉二元体的方法，最后只剩下一根杆件（图1-24（c），这是一个本身无多余约束的刚片。结论同上。第三十九页，共四十八页，2022年，8月28日【例题1-6】试分析图1-26a所示结构的几何组成【解法一】首先，去掉右上角的二元体；因为上部体系与地基之间有4个约束，可仿照例题1-9的方法进行分析。原体系内部杆件较多，考虑先将左边的三角形和基础组成一个大刚片，再选图示的另外两个刚片，用三刚片规则分析（三个铰的位置为A、B、C），结论为无多余约束几何不变体系。第四十页，共四十八页，2022年，8月28日【解法二】本题中因为左边的三角形与基础连成了大刚片，则原体系中，杆件1、2、3就可以等效成与基础相连的链杆，如图1-26（c）所示。这时，再选择刚片就容易得多了。【例题1-7】试分析图1-27（a）所示结构的几何组成。第四十一页，共四十八页，2022年，8月28日【解】本题的上部体系与基础之间用两个铰连接，根据链杆的广泛定义，基础可以用连接两个铰的直杆代替（图1-27（b）），而不影响分析结论。在图1-2