北京大学数学科学学院-高等代数I 期末试题(附参考答案)

北京大学数学科学学院期末试题考试科目 高等代数I 考试时间姓 名 学 号1 1 1 1 01210分）设F4= 012

1 i 1 i,F =

1 11 1

1 0,=2 0 i,=1 1 1 1 1 i 1 i 22I D22

F 0求矩阵C,使得 I

2 2

C=F4 ; 2求F4的逆矩阵.

D20 F

1 1 1 1I D 2 2

0

DF 1 1 i i解:1)比较

D

F

2 2 2 2

2

D2F 1 1 1 1 21 1 2与F4得C=0

0 0 00 1 0.1 0 00 0 11 1 1 11 1 1 1 4 0 0 01 i 1 i1 i 1 i 0 4 0 02)由 1 1 1 11 1 1 1 0 0 4 01 i 1

1 i 1

0

0 4 知 F1F.4 4 40 1二.（10分）设n阶方阵A = 0

0 01 0.记=/(n+1).n 0

1 0 10 1 01)对1jn, 证明j=[sin(j) sin(2j) ... sin(nj)]T是An的特征向量;2)对aR,求矩阵aIAn的行列式.解1)对每个1jn,我们有0 1 0 0sin(jθ) sin(2jθ) sin(jθ)1 0 1 0sin(2jθ) sin(jθ)sin(3jθ) sin(2jθ) 0 1 0 sin(3jθ)sin(2jθ)sin(4jθ)2cos(jθ)sin(3jθ) 1

0 0 1 0sin(njθ) sin((n1)jθ) sin(njθ)即 Anj = 2cos(j)j.于是j(1jn)是An的特征向量,它们对应的特征值2cos(j)(1jn)互异.2) aI+An的特征值为a+2cos(j1jn),故|aI+An|=(a+2cos)(a+2cos(2))...(a+2cos(n)).1 0 1 1三.（10分设A:X AX是R4到R3的线性映射,其中A=

0 1 0 1.1 0 1 10r求A的秩r及可逆矩阵P,Q, 使得A=PI Q,0r 这里Ir是r阶单位矩阵.2)求R4的一组基1,2,3,4 与R3的一组基1,2,3,使得Ai=i, 1ir 且 Ai=0, i>r.解:1)1011001001 0 1 1 1 0 01 0 1 1 1 0 01 0 0 01011001000 1 0 10 1 00 1 0 10 1 00 1 0 01 0 1 1

1 0 1

0 0 0 0

1 0 1

0 0 0 00 010 11 0 0

1 0 1 10 1 0 1 于是A的秩为2,可取

0 1 0 , Q= 1 0 1

.0 1 0 0

0 0 11Q-100

0 1 11 0 1,得0 1 00 0 0 101 0 1 1 1 0 0

1 0 0 00 1 0 1A 0 0 1 0

0 1 01 0 1

0 1 0 0.0 0 0 00 0 0 1

令1,2,3,4依次为Q-1的列向量, 1,2,3依次为P的列向量,则有A1=1, A2=2, A3=0, A4=0.三.（32分）填空题.B设B,C,Dn阶矩阵,其中D可逆,则 C

的秩= n.DDI BD1BB0 00

C D

C D, 0 0 I 00 0C DCD1 I

0 D 当t <-1/4 时, 二次型f=5tx2+ty22+2txy+2xz负定;当t >0 时, 二次型f的正、负惯性指数分别是2与1.通过成对行列变换,二次型f的矩阵可化为5t t 1 5t1 t 0 4t1 0 0 t t 0 t t 0 0 t 0 1 0 1

0 1

0 1f负定 4t+1<0且t<0 t <–1/4f的正、负惯性指数分别是2与1 4t+1>0且t>0 t>0.2 1 2已知A= 11 2 2 是行列式为1的正交矩阵, 则线性变换3 2 2 1X AX是绕单位向量= 的旋转,旋转角为 .1 解特征方程组(A–I)X=0,得特征值1的特征子空间基底 1 于是=

111. 取与垂直的向量

1 11,由A112 3 20

0

4求得与A夹角的余弦值为(,A)/(|||A|)=1/3.故旋转角为arccos(1/3).xx 2在欧氏空间R4中

子空间<(1,0,0,0)T,(0,1,0,0)T>到1 2 x3 1的解集合的最小距离是 1.1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 四.（18分）设f(x,x,x)=8x2–7x2+8x2+8x x –2x x +81 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 将f写成XTAX的形式,并求A的特征值与特征向量;求正交矩阵P及对角矩阵D,使得A=PDPT.8 4 xfXTAXx x4 7

x1解:(1)

1 2

2λ8 4

1 1 λ9

8x30 λ9|λIA| 1

λ4

4 λ8 1

λ4

4λ8λ 1

0λ4

08λ

(λ9)(λ24932)(λ9)2(λ9)A的特征值为=9二重), –9.对=9解齐次方程组(A–9I)X=0:1 4 1 4 1 4 16 4 1 4 0 0 1 2 3 2 通解为x =4x -x , x 、x为自由变量.1 2 3 2 x 4x x 4 1x1 2 3 2

x2

x21x3 0x3x3

0

1于是α=[10 -1]T, α =[4 1 0]T构成=9特征子空间的一组基.1 2对=-9解齐次方程组(A+9I)X=0:17 4 1 1 4 17 1 4 17 1 0 14 2 42 1 2 0 9 360 1 4 1 4 17

0

0

0

0

0 0 01 3 2 3 通解为x =x , x =-4x , x为自由变量.解的向量形式1 3 2 3 x x 1 x13 2

4x3

x3

4x3x3 1 于是α=[1 -4 1]T构成=-9特征子空间的一组基.3(2)将α=[1 0 -1]T,α=[4 1 0]T正交化:1 2令 β=α,1 1β

(α,β)2 1

4 1 214012 2 (β,β)

2 再单位化:

1 1

21 2γ 1

10,γ 1 β 1121 ||β || 21

||β || 2 1

3 3将α=[1 -4 1]T也单位化: γ 33

1 .3 2 3 21 1223 2113 211

2 1 3 3 21 4 1,2

,3

构成R3的标准正交基, P=[

2

]= 0 3 1 2 23 2 23 2 3 为正交矩阵,且

9 γT 1APDPT

[γ1γ2γ3] 9 γT. 23γT3五.（10分）设β是欧氏空间Rn的单位向量, V是子空间<β>的正交补.求矩阵A,使得对任意列向量XRn, AX是X向V所作的正交投影;求正交矩阵B,使得线性变换X BX是Rn关于V的镜面反射.解:(1)对任意列向量XRn, X在一维子空间<β>上的正交投影(X,β)β = ββTX.于是X在正交补<β>⊥上的正交投影为X–(X,β)β = X–ββTX = (I–ββT)X.故所求矩阵为A=I–ββT.(2)向量XRn,关于<β>⊥的镜面反射为X–2(X,β)β = X–2ββTX = (I–2ββT)X.故所求正交矩阵为B=I–2ββT.六.（10分）判断对错,正确的请给出证明,错误的举出反例.若A是实对称矩阵B是实反对称矩阵,则AiB的根都是实数.正确.证明:设是A+iB在复数域上的特征值,α是属于的复特征向量,即(A+iB)α=α, α0.则有 αT(AB) =αT,αT(AiB)λαT.于是 λαTααT(AiB)