沪科版九年级上册数学：解直角三角形(公开课课件)

解直角三角形复习桐城市龙头学校2018.5.2解直角三角形复习桐城市龙头学校1锐角三角函数的定义

我们规定：

sinA＝

，cosA＝

，tanA＝

．

锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角的三角函数．锐角三角函数的定义2αsinαcosαtanα30º45º160º由表可知：直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．αsinαcosαtanα30º45º160º由表可知：直角3锐角三角函数的性质（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°）

（2）sinα＝cos（90°－α），

（3）tanα＝锐角三角函数的性质4解直角三角形

1、

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形．

2、解直角三角形的常见类型有：3、我们规定：Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

①已知两边，求另一边和两个锐角；

②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边．解直角三角形5解直角三角形的应用

（1）相关术语

铅垂线：重力线方向的直线．

水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线．仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．俯角：向下看时，视线与水平线的夹角．坡角：坡面与水平面的夹角．

坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）．一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示水平宽度，用i表示坡度，即：i＝

＝tanα．方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．解直角三角形的应用6（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：

①计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字．

②在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知．

③遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答．

其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余弦，已知直角边用正切和余切，能够使用乘法计算的要尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算．

注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题．（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：7【典型例题】例1.已知tanα＝，求

的值．解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，设BC＝3k，AC＝4k，则AB＝

＝

＝5k．∴sinα＝

＝

＝

cosα＝

，∴原式＝

＝－7．解法2：将式子

的分子、分母都除以cosα，得

原式＝

＝－7【典型例题】例1.已知tanα＝，求8例2.计算．（1）sin45°－cos60°；（2）cos245°+tan60°cos30°；（3）

；（4）

．例2.计算．9例3.Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列条件解直角三角形．（1）a＝4，c＝10；（2）b＝2，∠A＝40°；

（3）c＝3，∠B＝58°．例3.Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边10例4.如图所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得塔顶A的仰角为30°，45°，已知CD＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）

解：设AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝x．

在Rt△ABC中，∠C＝30°，且BC＝CD+BD＝30+x，tanC＝

所以tan30°＝

，即

＝

，x＝（15+15)（米）．答：塔高AB为（15+15）米．例4.如图所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D11

例5.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？解：作CM⊥AB，垂足为M，设CM为x千米，在Rt△MCB中，

∠MCB＝∠MBC＝45°，则MB＝CM＝x千米．

在Rt△AMC中，∠CAM＝30°，∠ACM＝60°tan∠ACM＝

∴AM＝CM·tan60°＝x千米

∵AM+BM＝2千米∴x+x＝2

∴x＝

－1≈1.732－1＝0.732

∴CM长约为0.732千米，大于0.7千米∴这条公路不会穿过公园．例5.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合12

例6.如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD，其中坝顶AB＝3米，经测量背水坡AD＝20米，坝高10米，迎水坡BC的坡度i＝1：0.6，求迎水坡BC的坡角∠C和坝底宽CD．

解：过A、B作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足是E、F，

根据题意有AE＝BF＝10，四边形ABFE是矩形，EF＝AB＝3．

在Rt△ADE中，DE＝

＝

＝10（米），

在Rt△BCF中，

，CF＝0.6×BF＝0.6×10＝6（米）

所以CD＝CF+EF+DE＝10+3+6＝（9+10）（米）．又在Rt△BCF中，cot∠C＝0.6，所以∠C≈59°．

例6.如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD，其13作业：

综合练习册专题七作业：14解直角三角形复习桐城市龙头学校2018.5.2解直角三角形复习桐城市龙头学校15锐角三角函数的定义

我们规定：

sinA＝

，cosA＝

，tanA＝

．

锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角的三角函数．锐角三角函数的定义16αsinαcosαtanα30º45º160º由表可知：直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．αsinαcosαtanα30º45º160º由表可知：直角17锐角三角函数的性质（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°）

（2）sinα＝cos（90°－α），

（3）tanα＝锐角三角函数的性质18解直角三角形

1、

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形．

2、解直角三角形的常见类型有：3、我们规定：Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

①已知两边，求另一边和两个锐角；

②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边．解直角三角形19解直角三角形的应用

（1）相关术语

铅垂线：重力线方向的直线．

水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线．仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．俯角：向下看时，视线与水平线的夹角．坡角：坡面与水平面的夹角．

坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）．一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示水平宽度，用i表示坡度，即：i＝

＝tanα．方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．解直角三角形的应用20（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：

①计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字．

②在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知．

③遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答．

其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余弦，已知直角边用正切和余切，能够使用乘法计算的要尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算．

注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题．（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：21【典型例题】例1.已知tanα＝，求

的值．解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，设BC＝3k，AC＝4k，则AB＝

＝

＝5k．∴sinα＝

＝

＝

cosα＝

，∴原式＝

＝－7．解法2：将式子

的分子、分母都除以cosα，得

原式＝

＝－7【典型例题】例1.已知tanα＝，求22例2.计算．（1）sin45°－cos60°；（2）cos245°+tan60°cos30°；（3）

；（4）

．例2.计算．23例3.Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列条件解直角三角形．（1）a＝4，c＝10；（2）b＝2，∠A＝40°；

（3）c＝3，∠B＝58°．例3.Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边24例4.如图所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得塔顶A的仰角为30°，45°，已知CD＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）

解：设AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝x．

在Rt△ABC中，∠C＝30°，且BC＝CD+BD＝30+x，tanC＝

所以tan30°＝

，即

＝

，x＝（15+15)（米）．答：塔高AB为（15+15）米．例4.如图所示，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D25

例5.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的西偏北45°的C处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？解：作CM⊥AB，垂足为M，设CM为x千米，在Rt△MCB中，

∠MCB＝∠MBC＝45°，则MB＝CM＝x千米．

在Rt△AMC中，∠CAM＝30°，∠ACM＝60°tan∠ACM＝

∴AM＝CM·tan60°＝x千米

∵AM+BM＝2千米∴