高数10章第2节对坐标曲线积分课件

节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分章节一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算法三、1一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所21)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有33)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的42.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作机动目录上页下页返回结束2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向5若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动目录上页下页返回结束若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y63.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－表示L的反向弧,则则定积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!机动目录上页下页返回结束3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)7二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:下面先证存在,且有机动目录上页下页返回结束二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义8对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证机动目录上页下页返回结束对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可9特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定10例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则11例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的12例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(313例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动目录上页下页返回结束例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)14例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的15三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动目录上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的16类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令记A

在t

上的投影为机动目录上页下页返回结束类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令记A在17二者夹角为例6.设曲线段L的长度为s,证明续,证:设说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录上页下页返回结束二者夹角为例6.设曲线段L的长度为s,证明续,证18例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动191.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(203.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录214.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:机动目录上页下页返回结束4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:机动22原点O的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见P139例5)F

的大小与M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若题中F的方向改为与OM垂直且与

y

轴夹锐角,则机动目录上页下页返回结束原点O的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指232.已知为折线ABCOA(如图),计算提示:机动目录上页下页返回结束2.已知为折线ABCOA(如图),计算提示:机动24作业P1413(2),(4),(6),(7);

4;5;7;8第三节目录上页下页返回结束作业P1413(2),(4),(625备用题1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一质点在力场F

作用下由点机动目录上页下页返回结束备用题1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy262.设曲线C为曲面与曲面从ox轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)机动目录上页下页返回结束2.设曲线C为曲面与曲面从ox轴正向看去为逆时针方向,27(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动目录上页28节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分章节一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算法三、29一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:变力沿曲线所301)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有313)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的322.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作机动目录上页下页返回结束2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向33若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动目录上页下页返回结束若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y343.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－表示L的反向弧,则则定积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!机动目录上页下页返回结束3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)35二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:下面先证存在,且有机动目录上页下页返回结束二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义36对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证机动目录上页下页返回结束对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可37特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理目录上页下页返回结束特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定38例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则39例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的40例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线解:(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(341例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动目录上页下页返回结束例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)42例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的43三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动目录上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数的44类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令记A

在t

上的投影为机动目录上页下页返回结束类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令记A在45二者夹角为例6.设曲线段L的长度为s,证明续,证:设说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录上页下页返回结束二者夹角为例6.设曲线段L的长度为s,证明续,证46例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动471.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(483.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧机动目录494.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:机动目录上页下页返回结束4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:机动50原点O的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见P139例5)F

的大小与M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作