广东省中山市2022届高三上学期数学期末考试试卷

广东省中山市2022届高三上学期数学期末考试试卷阅卷人一、单选题（共8题；共16分）得分（2分）设全集U与集合M,N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A.MCN B.MUN C.（QM）UN D.（CyM）nN【答案】DTOC\o"1-5"\h\z（2分）已知向量五，石的夹角为60。，同=2,\b\=1，则|1+2山=（ ）A.2 B.3V2 C.2V3 D.12【答案】C（2分）已知｛即｝为正项等比数列，且a2a4=4,设T”为该数列的前n项积，则几=（ ）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C（2分）3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（）A.576 B.432 C.388 D.216【答案】B（2分）抛物线C：y2=2px上一点（1,泗）到其焦点的距离为3,则抛物线C的方程为（ ）A.y2=4x B.y2=8x C.y2=12x D.y2=16x【答案】B（2分）已知函数f（x）=Iogax（a>0,a41）,则y=f（\x\-1）的图象可能是（）

（）【答案】B【答案】B（2分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，过AiB且与ACi平行的平面交BiCi于点P,则PC尸（ ）TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.V3 C.V2 D.1【答案】D（2分）甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg,方差为200,乙队体重的平均数为70kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（ ）A.65,280【答案】DB.68,280A.65,280【答案】D阅卷入得分二、多选题（共4题；共8分）TOC\o"1-5"\h\z（2分）已知函数/（x）=Asin（3%+9）（4>0,3>0,|尹|<*）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A.函数-x）的图象关于点（一。0）对称B.函数f（x）的图象关于直线工=-瑞对称C.函数f（x）在［-冬，-总上单调递减D.函数-x）图象向右平移专个单位可得函数y=2sinx的图象【答案】A,BTOC\o"1-5"\h\z（2分）已知a>0,b>0,a+b2=1,则下列选项中正确的是（ ）A.3a-b的最大值为3 B.皿的最大值为!1 1C.y［a+b的最大值为V2 D.乔］；+庐的最小值为2【答案】B,C（2分）已知函数/（x）=log2（l+4X）-x,则下列说法正确的是（ ）A.函数/（x）是偶函数B.函数/（x）是奇函数C.函数/（%）在（-oo,0］上为增函数D.函数/（X）的值域为［1,+8）【答案】A.D（2分）已知球。的半径为2,球心0在大小为60。的二面角一夕内，二面角a—［一夕的两个半平面分别截球面得两个圆。1，02,若两圆。1，。2的公共弦AB的长为2,E为48的中点，四面体。力01。2的体积为V,则下列结论中正确的有（ ）

0,E,。「0,E,。「5四点共面0Q=号C.。1。2=擀 D.V的最大值为噂1L2 16【答案】A,C,D阅卷入三、填空题（共4题；共5分）得分（1分）若sina=息则cos2a=.【答案】|（1分）在数列｛册｝中，=2,yjan+i=y/a^+\[2,则数列｛册｝的通项公式为.【答案】an=2n2（1分）已知复数z满足方程：z2-3z+9=0,则|z|=.【答案】3（2分）已知点M为双曲线C：**l（a>0,b>0）在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，引M0|=4\MF\=7\0F\,则双曲线C的离心率为；若MF,M0分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为七，k2,贝也1•k?=.【答案】4；-15阅卷人四、解答题（共6题；共60分）得分（10分）已知数列｛%｝,｛“｝满足勾=品一（一1），2,即+比=1,a2+b2=8,且数列｛%｝是等差数列.（5分）求数列｛a3的通项公式：（5分）设数列｛时｝的前n项和为7\，若4=｛n|nW110且W11。｝，求集合A中所有元素的和T.【答案】（1）解：由bj,=%—（―1）%2,故%=%+（―1）"由,可得的=d-1,a2=b2+4.又,..（ii+3=1,a2+卜2=8,".bi=1,b2=2,・•数列｛既｝是等差数列,工数列｛bn｝的公差d=坛一瓦=1,/.bn=n,.*•an=n4-(—l)nn（5分）（5分）求三棱锥D-OCB的表面积；（5分）求A到平面OCC的距离.【答案】（1）解：由已知OC1OB,OC1OA,OBdOA=。，则OC1面。84贝此COD=90°三棱锥。—0cB的表面积等于Sa0C8+S^OCD+SzODB+S^CDB，1 1 Srocb=2*2x2—2»Sqocd=之x2xV10—V10»(2)解：由(1)得斯=ri+(—I)71/,a1=0,・Q2n+Q2n+i=2几+(2n)2+2〃+1—(2n+l)2=0，可得72n-l=+(。2+a3)+…+(Q2n-2+a2n-l)=0+04 可=0,・・n为奇数时7\=0,故1,3,5,…109都是集合A中的元素，又72rl=T2n_1+02〃=0+271+(2九尸=2n(2n+1)，为偶数时冬=n(n+l),由九(九+1)W110得九W10,A2,4,6,8,10,是集合A中的元素，14-109・T=(1+3+…+109)+(2+4+6+8+10)=X554-30=30254-30=3055.(10分)已知圆锥4。的底面半径为2,母线长为点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是AB的中点，且4BOC=*

圆锥的高4。=/(2V10)2-22=61 1则Saodb=2X]X2x6=3,对于△CDB,CB=2\[2,DB=V10,CD=y/22+10=V14则cos/DCB=14+8-10_则cos/DCB=2x272x714" '所以sin/CCB=XE所以sin/CCB=XEX1-2故三棱锥。故三棱锥。一0cB的表面积为5+V10+V19(2)解：因为D是AB的中点，则A到平面0CD的距离即为B到平面0CD的距离,过B作BH10D垂足为H,因为0C1面0BA,且OCu面0CD所以面OBA_L面。CO,XFW10D,面OBAn面OCD=。£),则BHXffiOCD,则线段长度即为B到平面OCD的距离，.RH-2s40DB_2x3_3/L0所以A到平面OCD的距离为争(10分)在ZkABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且导=处£=8吗.bacosd

(5分)求A；(5分)如图，已知48=2,D为AC的中点，点P在上，且满足而.而=1,求△P4C的面积.【答案】(1)解：由导=包吗，可得sinAcosB=sinBsinA,bcosB又sin4H0,则tanB=l.TT因为BC(0,兀)，所以B=彳.由？=止，可得&2=反+加，即a2+c2"2=出,bQ 2ac2a所以c+b=2acosB.由正弦定理可得sinC+sinB=2sin?lcosB,则sin(4+8)+sinB=2siru4cos8,可得sinB=sin(A—B),则8=A-B或B+A-B=兀(舍去)，所以A=2B=/(2)解：因为万•斤=1，所以AP•CPcoszAPC=1.又因为心=AP2+CP2-2AP-CPcos/JiPC,所以AP2+CP2=6.因为CP?=CD2+DP2-2CD-DPcoszCDP,AP2=AD2+DP2-2AD-DPcosZ/WP,两式相加可得CP?+AP2=CD2+AD2+2DP2,解得DP=V2.如图，过点P作PE_L4C,则如/=段="=a=运.^^ABCB£)店5又因为Sfsc=之48-AC=2,所以q _2国(10分)某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项日中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为I,W.(5分)对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率；(5分)该项目研发流程如下：实验甲做一次，若成功，则奖励技术人员1万元并进行实验乙，否则技术人员不获得奖励且该项目终止；实验乙做两次，若两次都成功，则追加技术人员3万元奖励并进行实验丙，否则技术人员不追加奖励且该项目终止；实验丙做三次，若至少两次成功，则项目研发成功，再追加技术员4万元奖励，否则不追加奖励且该项目终止.每次实验相互独立，用X(单位：万元)表示技术人员所获得奖励的数值，写出X的分布列及数学期望.【答案】(1)记实验甲、乙、丙成功分别为事件4、B、C,且相互独立，记事件D：对实验甲、乙、丙各进行一次，至少成功一次，贝P(D)=1-P(/BC)=1-1x|x|=||;(2)由题意可知，随机变量X的可能值有0、1、4、8,则p(X=0)=1-泻,P(X=1)=1[1-(1)2]=^，P(X=4)=港)2[C制尸+(别=J,P(X=8)=京令2[第8尸+(1)3]=1,所以，随机变量X的分布列如下表所示：X0148P145121616所以，随机变量X的数学期望为F(X)=lx^+4x1+8x1=^(万元).1Zobl/(10分)已知椭圆C：我+/=1(£1>6>0)的右焦点为尸，离心率为:直线人y=x被椭圆截得的弦长为蜉(5分)求椭圆C的标准方程(5分)若P是椭圆C上一点，。是坐标原点，过点F与直线I平行的直线与椭圆C的两个交点为A,B，且行=/1成+〃州，求;1〃的最大值【答案】(1)解：设椭圆C的焦距为2c,贝特a2=b2+c2a2••ci=2c,b~\[^c椭圆C的方程化为3/+4y2—12c2,由｛3/+4y2=12c2得，=V=字由条件知产"=萃，二字=特・・・c=l,a=2»b=V3•••椭圆C的方程为《+彳=1(2)解：由(1)知?(1,0).过F与直线平行的直线方程y=*一1由｛3J"112得7/-8-8=0设yi),B(x2,y2),则必+》2=?,xxx2=-^・.・OP=AOA+iiOB= +"2,4为+〃丫2)，•**P(2%i+〃％2，入丫1+4y2)由点P是椭圆C上一点，得3(入%1+〃%2)2+4(入丫1+〃、2)2=12"(3X12+4yl2)+h2(3xz2+4y22)+6M〔必+8川%丫2=129•••y，2=Oi-1)(*2-1)=Xrx2-(%1+x2)+1=-y»3xJ+4y/=3x22+4y22=12,2 2101,於+〃—=-A/z=1,2 20 ,■:Ar+〃AfJ.=1VA2+M2>22g,当且仅当；l=〃=±孝时，取等号，.•.当wi,.•.川W：・••加的最大值为:(10分)已知函数/(%)=(%—2)e"—q%+Qin%(a6/?).(5分)当。=一1时，求函数/(%)的单调区间；(5分)讨论/(%)的零点个数.【答案】(1)解：当q=-1时，/(x)=(x—2)ex4-x-Inx,则/(x)=(x-l)ex+1-^=(x-l)(ex+3，因为X€(0,4-oo),则6*+]>0,所以x>1时，/(x)>0，所以0<x<1时，f\x)<0-所以函数/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，故/(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+00).(2)解：因为/(%)=(x—2)ex—ax+alnx,则f(%)=(X-l)ex-a+^=(x-l)(ex-今.(i)当a<0时，因为xe(0,+oo),则e*―/〉。，则x>l时，/(x)>0.所以0<x<l时，/(x)<0.所以函数/(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，/(I)=-e-a.当/(I)=-e—a>0时，即a<-e时，f(x)>/(l)>0,所以当a<-e时，函数/(x)没有零点，即函数/(x)零点个数为0；当/(I)=-e—a=0,即a=-e时，f(x)>/(I)=0,所以当a=-e时，函数f(x)有且只有一个零点x=1,即函数/(x)的零点个数为1；当/(I)=-e-a<0,即一e<a<0时，/(2)=-a(2-ln2)>0,则存在一个实数#1C(1,2),使得/(*[)=0,当x€(0,1)时，(x-2)e”>-e,-ax>0,对任意的xc(0,1),K!|/(x)>-e+alnx,取郁=4，因为a<0,则0<晨<「3 3则/(a)>一e+Mnea=3-e>。则存在犯e(即，1)，使得/(不)=0，即-e<a<0时，函数/(%)的零点个数为2.(ii)当q=0时，令/(%)=0,则(％—2)e*=0,则％=2,即函数f(X)有且只有一个零点％=2；即函数/(%)的零点个数为1.(iii)当q>0时，令g(x)=e*-*g'(%)=e"+黄>。，故g(x)=e/在(°，+8)上单调递增，令巾=171访{a,分n=max{l,a},故g(m)<Ve—2<0,g(n)>e-1>0,则一定存在x()6(m,n),使得g(&)=0,所以xw(o,%o)时，g(%)vo，%g(x0,+8)时，g(%)>o.因为/'(X)=(x_l)ex-a+^=(%-l)(ex-刍，当为o=1,即a=e时,/(x)=(x—2)e*—ex+elnx,所以/'(X)=(X-l)(ex所以x>l时，/(x)>0.所以0<x<l时，/(x)>01则/(x)在(0,+8)上单调递增，且/1⑴=-2e<0,/(3)=e3-3e+eln3>0,则存在血€(1,3),使得f(Xi)=0，所以函数f(x)有且只有一个零点X=/，即函数/(4)的零点个数为1.因为/'(X)=(X—l)ex-a+^=(x-l)(ex-刍，当X。>1.xG(0,1)时，/(x)>0.当xe(1,xo)时，/(x)<0，当xe(x0,+8)时，/(x)>0,则/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,X。)上单调递减，在(X0，+8)上单调递增，当0<*0<1，Xe(0,Xo)时，/(X)>0>当xe(Xo，1)时，f\x)<01当xe(l,+8)时，/(%)>0，则/(X)在(0,3)上单调递增，在(右,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，因为x£(0,1］时，(x-2)e，V0,-ax<0,alnx<0,即/'(x)VO,所以/(x)在x€(0,1］时没有零点，xG(1,+8)上/(X)至多有一个零点，而/"(q4-2)=aea+2—a(a+2)+aln(a+2)=a(ea+2+ln(a+2)—(a+2)),令1=。+2,h(t)= +Int-t(t>2),则九'(t)=/+1-l(t>2),则h'(t)>0，故九(t)在tC(2,+8)上单调递增，而九(2)=e2+ln2—2>0,即/(a+2)>0,故存在一个，则存在xie(l,a+2),使得f(*i)=0,所以函数/(x)有且只有一个零点x=/,即函数/(x)的零点个数为1,综上所述：当a<-e时，函数f(x)的零点个数为0；当£1=-0或。20时，函数/(X)的零点个数为1;当-e<a<0时，函数/(%)的零点个数为2.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：89分分值分布客观题（占比）27.0(30.3%)主观题（占比）62.0(69.7%)题量分布客观题（占比）14(63.6%)主观题（占比）8(36.4%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）填空题4(18.2%)5.0(5.6%)解答题6(27.3%)60.0(67.4%)多选题4(18.2%)8.0(9.0%)单选题8(36.4%)16.0(18.0%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(54.5%)2容易(36.4%)3困难(9.1%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1等比数列的前n项和2.0(2.2%)32等差数列的通项公式11.0(1