高考数学一轮复习第九章解析几何第六节双曲线教案理苏教版

高考数学一轮复习第九章剖析几何第六节双曲线教课方案理苏教版高考数学一轮复习第九章剖析几何第六节双曲线教课方案理苏教版16/16高考数学一轮复习第九章剖析几何第六节双曲线教课方案理苏教版第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．会集P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.当2a＜F1F2时，P点的轨迹是双曲线；当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；当2a＞F1F2时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质x2

y2

y2

x2标准方程

a2－b2＝1(a＞0，b＞0)

a2－b2＝1(a＞0，b＞0)图形范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点极点极点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)极点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线bay＝±axy＝±bx性质c离心率e＝a，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2线段AA叫做双曲线的实轴，它的长AA＝a；线段BB叫做双曲1212212实虚轴线的虚轴，它的长122b叫做双BB＝b；a叫做双曲线的实半轴长，曲线的虚半轴长[小题体验]1．双曲线x2－5y2＝10的焦距为________．x2y222222剖析：∵双曲线的标准方程为10－2＝1，∴a＝10，b＝2，∴c＝a＋b＝12，c＝23，故焦距为43.答案：432．双曲线2x2－y2＝8的实轴长为________．22x2y22a＝4.剖析：双曲线2x－y＝8的标准方程为－＝1，实轴长为48答案：4x2y23．已知双曲线a2－5＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________．222c3剖析：∵右焦点为(3,0)，∴c＝3.∴a＝c－b＝9－5＝4，∴a＝2，∴e＝a＝2.3答案：21．双曲线的定义中易忽视2a＜F1F2这一条件．若2a＝F1F2，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞F1F2，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a，b的要求可是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，2)；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝2；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.b4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点地址关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±a，a当焦点在y轴上，渐近线斜率为±b.[小题纠偏]1．设P是双曲线x2－y2＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若PF1＝9，1620则PF2等于________．剖析：由题意知PF1＝9＜a＋c＝10，因此P点在双曲线的左支，则有PF2－PF1＝2a＝8，故PF2＝PF1＋8＝17.答案：17x222．若a＞1，则双曲线a2－y＝1的离心率的取值范围是________．剖析：由题意得双曲线的离心率a2＋1e＝.a即e2a2＋11＝a2＝1＋a2.因为a＞1，因此10＜a2＜1，11＜e＜2.因此1＜1＋a2＜2，因此答案：(1，2)3．离心率为3，且经过(－3，2)的双曲线的标准方程为________．x轴上时，设方程为x2y2剖析：当双曲线的焦点在a2－b2＝1.c3，a＝a2＝1，32－42＝1，则有解得b2＝2.aba2＋b2＝c2.22y因此所求双曲线的标准方程为x－＝1.2y2x2当双曲线焦点在y轴上时，设方程为a2－b2＝1.ca＝3，解得a25则有43＝2，a2－b2＝1，b2＝5.a2＋b2＝c2.y2x2因此所求双曲线的标准方程为－＝1.52y2y2x2答案：x－2＝1或5－5＝12考点一双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]x2y21．若方程k－3＋k＋3＝1(k∈R)表示双曲线，则k的取值范围是________．剖析：依题意可知(k－3)(k＋3)＜0，解得－3＜k＜3.答案：(－3,3)22x2y2＝1的离心率52C的标2．已知双曲线C：a－be＝4，且其右焦点为F(5,0)，则双曲线准方程为________．2且离心率为c52剖析：因为所求双曲线的右焦点为F(5,0)e＝a＝4，因此c＝5，a＝4，b22x2y2＝c－a＝9，因此所求双曲线的标准方程为16－9＝1.x2y2答案：－＝11693．若以F1(－3，0)，F2(3，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________．x2y2412－2＝1，剖析：依题意，设题中的双曲线方程是2－2＝1(a＞0，b＞0)，则有ababa2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1.x22因此该双曲线的标准方程是2－y＝1.x22答案：2－y＝14．(2019·苏锡常镇调研)已知双曲线Γ过点(2，3)，且与双曲线x224－y＝1有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为________．2x剖析：依题意，设所求双曲线的标准方程为－y＝λ，将点(2，3)的坐标代入，得x22y2x21－3＝λ，∴λ＝－2，∴所求双曲线的方程为4－y＝－2，其标准方程为2－8＝1.y2x2答案：2－8＝1[切记通法]求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，依照已知条件，列出参数a，b，c的方2222程并求出a，b，c的值．与双曲线x2－y2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2－y2abab＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点地址确定c的值．考点二双曲线的定义重点保分型考点——师生共研[典例引领]x2y21．设F1，F2分别是双曲线a2－b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且AF1＝3AF2，则双曲线的离心率为________．剖析：因为∠F1AF2＝90°，2222，1212又AF1＝3AF2，且AF1－AF2＝2a，222c5故10a＝4c，故a2＝2，10故e＝a＝2.10答案：222y2．(2018·海门中学检测)已知双曲线x－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支244上一点．若PF1＝3PF2，则△F1PF2的面积为________．1剖析：由双曲线的定义可得PF1－PF2＝3PF2＝2a＝2，解得PF2＝6，故PF1＝8，又F1F2＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，1因此S△PF1F2＝2PF1·PF2＝24.答案：24[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必定小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转变应用．[即时应用]1．设

F1，F2分别为双曲线

x2y2a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点

P使得PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝49ab，则该双曲线的离心率为________．剖析：由题设条件得1＋2＝3，由双曲线的定义得|1－2|＝2，两个式子平方PFPFbPFPFa2222)＝0，即b＝4，所相减得1·2＝9b－4a，则9b－4a＝9，整理得(3b－4)·(3b＋PFPF444abaaa3以e＝b251＋a＝3.5答案：32．设双曲线x2－y2＝1的左、右焦点分别为1，2，过1的直线l交双曲线左支于，42FFFAB两点，则BF2＋AF2的最小值为________．x2y2剖析：由双曲线的标准方程为4－2＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得AF2－AF1＝4，BF2－BF1＝4，因此AF2－AF1＋BF2－BF1＝8.因为AF1＋BF1＝AB，当AB是双曲线的通径时，AB最小，2b2因此(AF2＋BF2)min＝ABmin＋8＝a＋8＝10.答案：10考点三双曲线的几何性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]双曲线的几何性质是高考命题的热点．常有的命题角度有：求双曲线的离心率或范围；求双曲线的渐近线方程；双曲线性质的应用．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率或范围x2y21．(2018·海安高三质量测试)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的离心率为________．b222222c剖析：由题意知a＝3，即b＝3a，因此c＝a＋b＝4a，因此e＝a＝2.答案：2x2y22．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右极点为A，以A为圆心，b为半径作圆，圆A与双曲线C的一条渐近线交于，两点．若∠＝60°，则C的离AMNMAN心率为________．b剖析：双曲线的右极点为A(a,0)，设点M，N在渐近线y＝ax，即bx－ay＝0上，则圆|ba－a×0|ab心A到此渐近线的距离d＝b2＋a2＝c.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，因此b·sinab3bab22360°＝c，即2＝c，因此e＝3＝3.23答案：3角度二：求双曲线的渐近线方程2－y23．(2019·徐州调研)若双曲线：x22＝1(＞0，＞0)的离心率为10，则双曲线CCabab的渐近线方程为________．c222222剖析：∵双曲线C的离心率为10，∴e＝a＝10，则c＝10a＝a＋b，得b＝9a，b即b＝3a，则双曲线C的渐近线方程为y＝±ax＝±3x.答案：y＝±3x角度三：双曲线性质的应用x2y24．已知点F1，F2分别为双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支2上的任意一点，若PF19，则双曲线的离心率为________．的最小值为PFa2222剖析：在双曲线中，P为右支上一点，则12PF1＝PF2＋2a24aPFPFaPFPFPFPF222222min21＋4a≥24a＋4a＝8a(当且仅当PF＝2a时取等号)，因为已知PF2＝9a，故PF≠2a，在2PF1双曲线右支上点P满足(PF2)min＝c－a，则c－a＞2a，即c＞3a，故e＞3，又由≥9a，即PF2c＋a221≥9a可得e≤2或e≥5，综上可得，e≥5，故当PF取最小值9a时，e＝5.c－aPF2答案：5[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依照题设条件，将问题转变成关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依照题设条件，求双曲线中，b的值或a与b的比值，进a而得出双曲线的渐近线方程．求双曲线的方程．依照题设条件，求出a，b的值或依照双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．[演练冲关]1．(2019·通州模拟)在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个极点都在双曲线x22ay2－b2＝1(a＞0，b＞0)上，若双曲线的焦点在正方形的外面，则该双曲线的离心率的取值范围是________．22剖析：由题意，可设正方形与双曲线的某个交点为(，)，则双曲线mm2－2＝1，可得Ammab2a2b22222222222422442m＝b2－a2＜c，即cb－ca＞ab，又c＝b＋a，化简可得c－3ca＋a＞0，即e－3e1＋5＋1＞0，又e＞1，解得e＞，2故该双曲线的离心率的取值范围是1＋5，＋∞.2答案：1＋5，＋∞2y2x252．(2018·无锡调研)双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为4，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于________．c55a剖析：因为e＝a＝4，因此c＝4a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝bx，即ax－by＝0，bc222522焦点为(0，c)，因此a2＋b2＝b＝3，因此a＝c－b＝16a－9，因此a＝16，即a＝4，故2＝8.a答案：8x2y243．(2018·盐城二模)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线y＝3x与双曲线订交于A，B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为________．x2y2剖析：由题意可知，双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)，4y＝3x，2222229a2b2联立x2y21，整理得(9b－16a)x＝9ab，即x＝9b2－16a2，a2－b2＝∴A与B关于原点对称，44设Ax，x，B－x，－x，33则―→4―→＝－x－c，－4x，FA＝x－c，x，FB33∵⊥，∴―→·―→＝0，AFBFFAFB4即(x－c)(－x－c)＋3x×－3x＝0，整理得c2＝259x2，22＝259a2b2∴a＋b×2－2，99b16a即9b4－32a2b2－16a4＝0，∴(b2－4a2)(9b2＋4a2)＝0，∵a＞0，b＞0，∴9b2＋4a2≠0，∴b2－4a2＝0，故b＝2a，b∴双曲线的渐近线方程为y＝±ax＝±2x.答案：y＝±2x4．已知双曲线2y212x－3＝1的左极点为A，右焦点为F，P为双曲线右支上一点，则―→―→PA·PF的最小值为________．12剖析：由题可知A(－1,0)，F(2,0)―→―→．设P(x，y)(x≥1)，则PA＝(－1－x，－y)，PF1212―→―→222222＝(2－x，－y)，PA1·PF2＝(－1－x)(2－x)＋y＝x－x－2＋y＝x－x－2＋3(x－1)＝4x－x－5.因为x≥1，函数f(x)＝21―→―→xx812获取最小值－2.答案：－2一抓基础，多练小题做到眼疾手快21．(2019·滨湖月考)已知双曲线的渐近线方程为y＝±3x，实轴长为12，则该双曲线的标准方程为________________．2剖析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±3x，实轴长为12，∴当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2y2b＞0，此时a2－b2＝1，a＞0，b2x2y2＝，a3解得a＝6，b＝4，∴双曲线方程为36－16＝1.2a＝12，y2x2a2当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为＝，2－2＝1，a＞0，b＞0，此时b3ab2＝12，ay2x2解得a＝6，b＝9，∴双曲线方程为36－81＝1.x2y2y2x2答案：－＝1或－＝1361636812．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是________．剖析：依题意得m＜0，双曲线方程是2y211x－＝1，于是有－＝2×1，m＝－.1m4－m1答案：－4x2y2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3．若双曲线a2－b23，则其渐近线方程为________．剖析：由条件＝cc2a2＋b2b2b2，3，即＝3，得2＝2＝1＋2＝3，因此＝eaaaaa因此双曲线的渐近线方程为y＝±2x.答案：y＝±2x4．(2018·苏州高三暑期测试)双曲线x222＝8x的焦点－y＝1(m＞0)的右焦点与抛物线ym重合，则＝________.m剖析：因为双曲线的右焦点为(m＋1，0)，抛物线的焦点为(2,0)，因此m＋1＝2，解得＝3.m答案：3x225．(2019·常州一中检测)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2－y＝1(m＞0)的一条m渐近线方程为x－3y＝0，则实数m的值为________．剖析：∵双曲线

x222－y＝1(m＞0)的渐近线方程为m

x±my＝0，已知其中一条渐近线方程为

x－

3y＝0，∴m＝

3.答案：326．(2018·苏北四市摸底)已知双曲线x2－y2＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋3y＝m0，则实数m＝________.2剖析：双曲线x2－y2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±mx，m3又因为该双曲线的一条渐近线方程为x＋3y＝0，因此m＝3.3答案：3二保高考，全练题型做到高考达标x2y21．双曲线a2－b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为________．bb2222剖析：由渐近线互相垂直可知－a·a＝－1，即a＝b，即c＝2a，即c＝2a，因此e＝2.答案：2x2y22．(2018·常州期末)双曲线4－12＝1的右焦点与左准线之间的距离是________．剖析：因为222＝16，即右焦点为(4,0)，又左准线为x＝－a2a＝4，b＝12，因此cc＝－1，故右焦点到左准线的距离为5.答案：5x2y23．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：a2－4＝1(a＞0)的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数＝________.a剖析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±2.因为一条渐近线与直线y＝2＋1axx2平行，因此a＝2，解得a＝1.答案：14．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△的面积为________．AOB剖析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，因此中点坐标为x1＋x2，x1－x2，AB22因此x1＋x22－x1－x22＝2，即x1x2＝2，2211因此S△AOB＝2OA·OB＝2|2x1|·|2x2|＝x1x2＝2.答案：2x2y25．(2018·镇江期末)双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．a2c2c2剖析：由题意c－c＝2a，即a－2·a－1＝0，e－2e－1＝0，解得e＝1±2.又因为双曲线的离心率大于1，故双曲线的离心率为1＋2.答案：1＋26．(2019·连云港调研)渐近线方程为y＝±2x，一个焦点的坐标为(10，0)的双曲线的标准方程为________．剖析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±2x，22y∴设双曲线方程为x－＝λ(λ≠0)，∵一个焦点的坐标为(10，0)，2x2y2∴(10)＝λ＋4λ，解得λ＝2，∴双曲线的标准方程为2－8＝1.x2y2答案：2－8＝17．(2019·淮安模拟)已知双曲线x222－y2＝1的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，ab且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为________．剖析：将圆x2＋y2－10x＝0化成标准方程，得(x－5)2＋y2＝25，则圆x2＋y2－10x＝0的圆心为(5,0)．22＝5，且c＝∴双曲线x2－y2＝1的一个焦点为(5,0)，又该双曲线的离心率等于5，∴abFca2222x2y25，∴a＝5，b＝c－a＝20，故该双曲线的标准方程为5－20＝1.x2y2答案：5－20＝1x2y2F，F，点P在双曲线的右ab12支上，且PF1＝4PF2，则双曲线的离心率e的最大值为________．剖析：由双曲线定义知PF1－PF2＝2a，82又已知PF1＝4PF2，因此PF1＝3a，PF2＝3a，6424229a＋9a－4c1792在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝82＝8－8e，要求e的最大值，2·3a·3a即求cos∠FPF的最小值，121212179255因为cos∠FPF≥－1，因此cos∠FPF＝8－8e≥－1，解得e≤3，即e的最大值为3.5答案：39．已知双曲线的中心在原点，焦点1，2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，FF点M(3，m)在双曲线上．求双曲线的方程；―→―→(2)求证：MF1·MF2＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)因为e＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．因此可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－10)，因此16－10＝λ，即λ＝6.因此双曲线方程为x2－y2＝6.―→证明：设MF1＝(－23－3，－m)，―→3－3，－m)．MF2＝(2―→―→22因此MF1·MF2＝(3＋23)×(3－23)＋m＝－3＋m，因为M点在双曲线上，因此9－2＝6，即2－3＝0，mm因此―→―→1·2＝0.MFMF因为△F1MF2的底边长F1F2＝43.由(2)知m＝±3.因此△12的高h＝||＝3，因此△FMF＝1×43×3＝6.FMFmS122y2x210．(2018·启东中学检测)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为1.求此双曲线的方程；若点M55，m在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．ab＝2，2×0＋ca＝2，y22解：(1)依题意得解得b＝1，故双曲线的方程为4－x＝1.5＝1，a2＋b2＝c2，21224M55，m在双曲线上，因此m(2)证明：因为点4－5＝1.因此m＝5，y22又双曲线4－x＝1的焦点为F1(0，－5)，F2(0，5)，因此―→―→5·5＝52－(5)22124MF1·MF2＝－，－－m－，－＋m＝－5＋5555m555＝0，因此MF⊥MF，因此点M在以FF为直径的圆上．1212三登台阶，自主选做志在冲刺名校x2y21．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线9－m＝1的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．剖析：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x，y轴对称，若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜