北京市2022届高三3月月考数学试卷（解析版）

北京一六一中学2022届高三年级月考试题数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.2.在复平面内，复数——对应的点与原点的距离是1+1A.A.|B.y/2 c.2 D.2G【1题答案】【答案】B【解析】2【详解】2【详解】=1-i.对应的点与原点的距离是故选：B.已知集合尸={工6用13<3},Q={xeR|x2之4},则户口仅。)=()A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.[1,2]【2题答案】【答案】C【解析】【分析】先求解集合Q中的不等式，结合集合的交集、补集运算，即得解【详解】由题意，Q={xeR|x2z4}={x|xN2或x?2}故/Q={x|-2<x<2}则PCI(5Q)={x|14x<2}=[1,2)故选：C2 2 2 2.已知0<6<1，则双曲线G：- 「=1与G：C 1一=1的( )sin?。cos2(9 cos26?sit?。A.实轴长相等【3A.实轴长相等【3题答案】【答案】D【解析】B.离心率相等C.焦点相同D.渐近线相同【分析】根据G，G的方程，分别求出实轴长、离心率、焦点、渐近线方程，对四个选项一一验证.TT【详解】因为0＜。＜一,所以sinCvcos"4对于A：孰的实轴长为2sin6,G的实轴长为28S。.故A错误；对于B：q的离心率为工=1二，C,的离心率为£=」；；.故B错误；对于c：G的焦点在x轴上，。2的焦点在y轴上•故c错误；cos0对于D：C1,G的渐近线方程为丁=±「?》•故D正确.sin，故选：D.函数/(x)=sin2x-4是( )A.周期为乃偶函数 B.周期为左的奇函数C.周期为24的偶函数 D.周期为2万的奇函数【4题答案】【答案】A【解析】【分析】利用降幕公式化简函数解析式，再根据余弦函数的图像与性质即可逐项分析求解.，、4、 1-cos2x1 1 -【详解】f(x)= =一一cos2x,'' 2 2 2故Ax)的最小正周期为兀，为偶函数.故选：A..把函数y=2'的图象向右平移，个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=*-,贝〃的值为A.y B.log23 C.log,2 D.y/j【5题答案】【答案】B【解析】【分析】先将函数按题意平移得到y=2"',再由题中条件得到2'=3,进而可得出结果.【详解】函数y=2*的图象向右平移，个单位长度，得：y=2x-'=^r，所以，2'=3,得：r=log23.故选B【点睛】本题主要考查函数的平移以及对数的运算，熟记函数平移的法则以及对数的定义即可，属于基础题型.6.已知x<T,那么在下列不等式中，不成立的是A.%2—1>0 B.x+—<-2 C.sinx—x>0 D.cosx+x>0x【6题答案】【答案】D【解析】【分析】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】Qx<-1,则丁-1=（》-1）（工+1）>0,"+2=」+2x+1=（x+1）<0,XXX又；sinx、cosxe[-l,l],.-.sinx-x>0,cosx+x<0.可得：ABC成立，D不成立.故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.7.设｛%｝是首项为正数的等比数列,公比为4,则“q<0”是“对任意的正整数〃，/的A充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【7题答案】【答案】C【解析】（详解]试题分析：由题意得，41+4"<0oq（才"2+/"T）<o。q2（n-'\q+l）<o«9e（-a）,-l）,故是必要不充分条件，故选C.【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若P则q”、“若q则P”的真假.并注意和图示相结合，例如“p=q”为真，则p是q的充分条件.②等价法：利用户q与非q/£p,q=p与非p=非q,pF与非qT"的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.③集合法：若AUB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若人=8,则A是B的充要条件.8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则该球的半径为（）A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm【8题答案】【答案】A【解析】【分析】作出球的正视图，根据已知条件构造直角三角形，列关于球半径R的方程求解即可.【详解】如图为球的一个正视图，A8长度等于正方体棱长，A8中点为则M8=4,,/球面恰好接触水面时测得水深为6cm,M£）=8-6=2cm,设球的半径为七则—2,CB=R,

.•.在RtZXBCM中，R2=(R-2)2+42,解得R=5.故选：A.TOC\o"1-5"\h\z1, 179.已知尸为抛物线旷=一义上的动点，点尸在x轴上的射影为〃，点A的坐标是（6,万），则|R4|+|pm|的最小值是（）A.8 B.— C.10 D.—2 2【9题答案】【答案】B【解析】【详解】依题意可知焦点F(0,■-),准线为y=-延长PM交准线于H点则|PF|=|PH|,|PM|=|PH|-g,|PM|+|PA|=|PF|+|PA|— 即求|PF|+|PA|的最小值.I I因为|PF|+|PAE|FA|,又卧|=业2+( )2=101 19所以|PM|+|PAR10一不=彳.故选B.x+1.已知函数/（X）（X£/?）满足/（—x）=2—/（幻，若函数y=——与y=/（x）图像的交点为Xm(%,y),(w，%)，…，(/，心)，贝IJ£(%+%)=1=1A.0【10题A.0【10题答案】【答案】B【解析】B.tnC.2mD.4m（详解】试题分析：由题意得，函数/（x）（xeR）和/（—x）=2—/（x）的图象都关于（0,1）对称,所以两函数的交点也关于（0,1）对称，对于每一组对称点（4％）和（匕,/）,都有七+x；=0,y+y；=2.从而£（七+y,）=彳•2=m.故选b.;=1 2考点：函数性质.【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题，考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称），确定两个函数的交点也是关于（0,1）对称，最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性，但不是从奇偶性的角度进行考查，从而提高了考试的难度.二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分..夕是两个平面，m,〃是两条直线，则下列命题正确的是.①如果加_L〃，mLa,nlIp,那么②如果m_La,nlla,那么m_L“；③如果〃//a,mua,那么加〃〃：④如果加_La,m1/3,那么a//尸.[H题答案]【答案】②®【解析】【分析】对于①：。、/可能相交，也可能平行，即可判断；对于②：根据线面垂直的性质可以证明；对于③：mH〃或tn、"异面，即可判断；对于④：根据线面垂直的性质可以证明.【详解】对于①：如果m_L〃，m_La,那么〃//a或〃ua.因为〃//〃，那么a、4uj'能相交，也可能平行.故①错误.对于②：如果〃//a,所以过〃的平面/ca=/,〃/〃.因为m_La根据线面垂直的性质可得m_L/,所以/“_L〃.故②正确；对于③：如果〃//a,mua,那么根、〃没有公共点，所以加〃〃或/"、〃异面.故③错误；对于④：如果mV/3,根据线面垂直的性质可得：a//〃.故④正确.故答案为：②④.若(l+x)"=1+%%+。2乂4 fx", 且4：。2=1：3,则”=.【12题答案】【答案】7【解析】【详解】因为(1+x)"=1+qx+々x?+qV+•••+x”,(〃eN),4=C：,%=C；,C'2n2 1由4：4=1：3,可得一^= = =一.解得”=7一 C：n(n-l)n-\3.设当x=6时，函数〃x)=Gsinx-3cosx取得最大值，则cos(9=.【13题答案】【答案】一且2【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，根据三角函数性质求出仇于是可求cos"【详解】/(x)=>/3(sinx->/3COSX)=2屈11卜一5),则/⑻=2石sin(e-g)=2百，则0--=—+2k7c=>0=—+2krv,kgZ.TOC\o"1-5"\h\z32 6,a 5万百..cos夕=cos——= .6 2故答案为：一立.214.若a,b,-2这三个数经适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，请写出满足题意的一组a,b的值.【14题答案】【答案】0=1,6=4.【解析】【分析】由“，b,-2这三个数经适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列方程组，解出〃的值.【详解】可以取：a=Lb=4.a,b,-2这三个数经适当排序后可成等差数列，可排为-2,a,b,则有：C+b=2a.a,b,-2这三个数经适当排序后可成等比数列，可排为a，-2.b,则有：ab=(-2)2.解得：4=1,解4.故答案为：a=l,b=4.15.过点作圆f+y2=l两条切线，切点分别为A,B,则丽.而=.【15题答案】3【答案】-2【解析】【详解】如图，连接P。，在直角三角形PAO中，OA=1,PA=G,所以，tanZAPO=—，3, 1—tan-Z.APO 'a' 1 ——।—..—। ]3cosNAPB= j = y=—=—,故PA-PB=PA|-|PB\cosZAPB=V3x>/3x—=—.1+tan/4PO J3,2 I1 22+』）考点：I.直线与圆的位置关系：2.平面向量的数量积.三、解答题：共6小题，共85分.解答题写出文字说明.证明过程或演算步骤.16.若存在AABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：(1)求A的大小：(2)求cosB和a的值.条件①：sinC=二3:14条件②：b-a=\；条件③：bcosA=--；27条件④：a=-c.【16〜17题答案】【答案】（1）见解析;(2)见解析.【解析】【分析】若选择①②④：71(1)由正弦定理可得sinA的值，结合。一。=1,可求0<Av—,即可得解A的值；2(2)由题意可得。>c,可得0<。<一，利用同角三角函数基本关系式可求8sC的值，利用三角形内角2和定理，两角和的余弦公式可求cosB,进而可求sin8,利用正弦定理即可求解a的值.若选择①③④：5 4(1)利用正弦定理可得sinA的值，由于bcosA=-一，可得范围一<A〈乃，即可求解A的值；2 2TT(2)由题意利用大边对大角可求0<。<不，利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值，利用两角和的余弦公式可求cos8,进而可求sin8,由于bcosA=-可求b的值，根据正弦定理可得2【小问1详解】共有①②③、①②④、①③④、②③④四种选法，根据条件②可知b>a，B>A,则A为锐角；根据条件③可知cosA<0,A为钝角；故②和③不能同时选择，故仅可选①②④或①③④.若选择①②④：■：a=-c,sinC=—.由正弦定理可得sinA=±^C=也，TOC\o"1-5"\h\z3 14 c2TT TT'：b-a=\,：.a<b,可得0<4<一，可得A=-.2 3若选择①③④：'：a=-c,sinC=生叵，由正弦定理可得sin4=esin£=3,3 14 c2.一一，. . 57C. .27r在中，,•*bcosA——,:.—<A<1，**.A=—.2 3【小问2详解】若选择①②④：, 7 7T在中，a=-c9：.a>c9 0<C<—,2•.飞皿。=述，可得cosC=Jl-siYCuU,14 14

cosB=cos[万一(A+C)]=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC= x-^x =sinB=V1-cos2B=-74百百由正弦定理可得〒_E，可得7b=8a,

b~~aVh—a=\,/.tz=7.若选择①③④：在△在△ABC中，・・•〃7—c3TOC\o"1-5"\h\zVSinc=^,可得cosC=Jl-sin2c=',14 14A?O/o1 1O11/.cosB=cos［万一(A+C)J=-cos(4+C)=sinAsinC-cosAcosC=-x---+—x—=——,2 14 21414.•pr.TTf5G••sin8=VI—cosB= >14_5 6x5,：bcosA=--,：.b=—=5,由正弦定理可得"=""T=2产=7.2 _• sin8 5V3~2 1417.人民日报客户端2020年6月23日消息，由国际组织":TOP500”编制的新一期全球超级计算机500强榜单6月23日揭晓榜单显示，在全球浮点运算性能最强的500台超级计算机中，中国部署的超级计算机数量继续位列全球第一，达到226台，占总体份额超过45%；“神威•太湖之光”和“天河二号”分列榜单第四、第五位.超算，即超级计算或高性能计算，是计算机界”皇冠上的明珠“，也被视为科技突破的“发动机”.在目前最需要突破的研究领域——COW0—19新型冠状病毒的防治中，超算正在发挥力量.为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：(数值越小，速度越快，单位是MIPS)测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌43691041121746614

品牌2854258155121021B(1)从品牌A12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；(2)在12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌8的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E(X)；(3)经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.【17〜19题答案】7【答案】(1)—12(2)答案见解析.(3)答案见解析.【解析】【分析】(1)利用古典概型的概率公式直接计算；(2)先求出各个概率，写出分布列，求出数学期望；(3)进行数据分析，从不同的角度得到合理的结论即可.【小问1详解】记事件A：品牌A的12次测试结果中，测试结果小于7.一共有：3,6,4,1,4,6,6共7种情况.7所以p(a)=f・【小问2详解】在12次测试中，品牌A的测试结果大于品牌8的测试结果的次数为6.X的所有可能取值为：0,1,2,3.922尸(x=0)=3=A；P(X=1)=等C12 11 C922尸(X尸(X=2)=等=方尸43)噌V所以X的分布列为:X0123P]_H9229221H1 9 9 1 3数学期望为E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=-11 22 22 112【小问3详解】本题答案不唯一.结论一：品牌B处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌A处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些.理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌A的测试有2次打开速度比品牌B快（数值小），品牌B有4次比品牌4快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌A有4次打开速度比品牌B快（数值小）.结论二：品牌A打开文件的速度快一些.92 97理由如下：品牌4处理器测试结果的平均数为三品牌B处理器测试结果的平均数为二，所以品牌412 12打开文件的速度快一些.18.如图，在直三棱柱ABC-AgG中，ZBAC=90°,AB=AC=AA,=2,E是8C中点.B（1）求证：平面B[BCC]±平面AEG；（2）求直线AC与平面AEG所成角的正弦值；（3）若线段A/上存在一点满足与M_LGE，试确定”的位置，并说明理由.【18〜20题答案】【答案】（1）证明见解析；⑵也；3（3）M为A3靠近4的三等分点.【解析】【分析】（1）证明4E_L平面4BCG即可;(2)以A原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可求直线AC与平面AEG所成角的正弦值；(3)利用(2)中的空间直角坐标系，根据丽■•布=0即可求M的位置.【小问1详解】由题可知AE±BC,BBt±平面ABC,；AEu平面ABC,：.BB]±AE,又•.•8&nBC=3, 平面耳平面AEQ，・•・平面片BCC；，平面AEg.则4(0,0,0),C(0,2,0),8(2,0,0),£(1,1,0),40,2,2),则衣=(0,2,0),荏=(1,1,0),宿=(0,2,2),设平面AEG的法向量为克=(玉,X，zJ,in-AE=X,+y.=0_—. ' ，取y=Tth-AC]=2yx+2Z]=0设直线AC与平面AEG所成角为e，I—.1 |和4。| 2 73则sin。=cosin-AC\=Jr—=--:w|-|AC石x23【小问3详解】

4(2,0,2),8(2,0,0),4(0,0,2),设M(x,0,y),则M=(—2,0,2),丽=(x-2,0,y), x_24//BM=> =—=>y=2-x,故A/(x,0,2-x),—2 2gA/=(x-2,0,-x),C]E=(1,-1,-2),B}M1.C]EB]M-CXE=0=>x—2+2x—0=>x=—,为84靠近％的三等分点.19.已知椭圆19.已知椭圆C：=l(a〉6>0)的四个顶点恰好是边长为2,一内角为60。的菱形的四个顶点.(1)求椭圆C的方程及其离心率:(2)若A、B为椭圆C上关于原点对称的两点，试问：在直线/：x+y-3=0上是否存在点P,使得△ABP为等边三角形,若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由.【19〜20题答案】【答案】(1)—+/=1,巫;3' 3(2)存在，(2)存在，P为或(0,3).【解析】【分析】(1)由题意通过解直角三角形即可求得a、b值，再根据。、氏c的关系求出c即可；(2)若aAB尸是等边三角形，则尸点为A8中垂线与/的交点，分AB斜率为零、斜率存在且不为零、斜率不存在三种情况讨论即可.【小问1详解】•.•椭圆C:a•.•椭圆C:a2b2=\(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60。的菱形的四个顶点,a=2cos30°=>/3»Z>=2sin30°=l,c=0,...椭圆。的方程为三+y2=i,离心率e=£=^=巫.3, a6 3【小问2详解】设4%，%),则8(-再，-%),①当直线A3的斜率为。时，A5的垂直平分线就是y轴，y轴与直线/：》+'-3=0的交点为2(0,3),又•••|48|=2百，囹1=3,.•.NE4O=60。，△PAB是等边三角形，，此时P(0，3)；②当直线AB的斜率存在且不为。时，设A8的方程为y="优工0),号2=1由3,一，得(3/+1口2=3,Iy=Ax设A8的垂直平分线为^=一!X,它与直线/：x+y—3=0的交点记为尸(%，儿),为等边三角形，，应有1Poi=G|AO|,代入得到、*二|=6.J42,解得A=0(舍)，k=-\,\(k-l)2N3k2+1此时直线AB的方程为y=一九，A8中垂线为丫=》，，k3=0=尸化4[y=x 122；③若AB斜率不存在时，A、B为椭圆上、下顶点，坐标为(0,1),(0,-1),48中垂线为x轴，/与x轴交点为P(3,0),\AB\=2^\AP\=yfi0,故△4BP不是等边三角形，不满足题意.综上，存在点尸，P为(|,|)或(0,3).

*20.已知函数〃=f（1）当a=l时,求曲线.f（x）在（OJ（O））处的切线方程;（2）求函数/（X）的单调区间;（3）当a>0时，写出方程/（x）=MkgR）的解的个数.（只需写出结论）【20〜22题答案】【答案】（1）y=-2x-l（2）答案见解析 （3）当左<0或攵=aea+'时，方程有一个解；当0«攵<aea+'时，方程无解；当R>aea+i方程有两个解【解析】【分析】（1）先求导，代入可得/（0）=-1,/'（0）=—2,利用直线方程的点斜式即得解;（2）求导，分讨论导函数正负即得解;（3）结合单调性，极值，边界情况得到函数简图，数形结合即得解【小问I详解】当a=l时，当a=l时，/(%) —,/'(力=X—1ev(x-l)-exex(x-2)u-l)2d)2e°又八。)=『=一"(0)=-2(J-1故曲线/（x）在（0,f（0））处的切线方程为y=-2x—l【小问2详解】若〃工0,令尸(x)=0,x="1①当a=0时，/（刈=（二;/<0,又函数的定义域为{xlxwl}所以函数/（X）的单调递减区间为（-8,1）,（1,+8）②当a>0时，3=史二>1aTOC\o"1-5"\h\z令/(x)>O.-.x>—,故/(x)的单调递增区间为(q!!,+oo).a a令/'(x)<O；.x<l或l<x<四,故/(x)的单调递减区间为(-00,1),(1,%])a a、r, I Q+1 4③当a<0时，X= <1a令，(X)>O；.X〈四，故/(X)的单调递增区间为(一8,空1)；a a令/'(x)<0,x>1或"」<X<1,故/(X)的单调递减区间为(1,+00),("1,1)a a【小问3详解】当a>()时，/(x)的单调递增区间为(也■,+g),单调递减区间为(f。,1),(1,四)a a极小值"B=ae"+'，且x->-8时，Xr+8时，/(%)-»+co；x时，x->l+时，故函数的简图如下图所示：故当左<0或左=ae"+i时，方程有一个解；当04<ae曲时,方程无解；当《〉ae"+i，方程有两个解21.如图，设A是由〃x〃个实数组成的〃行〃列的数表，其中劭尸1,2,3〃)表示位于第i行第j列的实数，且的€{1,-1}.记S(w,刈为所有这样的数表构成的集合,对于Ae(〃，n),记a(4)为A的第i行各数之积，q(A)为A的第j列各数之积.令(A)=XMA)+»；♦(A)i=l J=i4211d\2a\n助。22a2nan\an2ann(I)请写出一个AeS(4,4),使得"4)=0；(II)是否存在AwS(9,9),使得＜4)=0?说明理由；(山)给定正整数〃，对于所有的AWS(",〃)，求/(A)的取值集合.[21题答案】【答案】(I)答案见解析；(H)不存在，理由见解析；(HI){2(n-2k)\k=0,l,2,...,n}【解析】【分析】(I)可取第一行都为-1,其余的都取1,即满足题意：(II)用反