数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件

数列不等式与函数不等式——如何放缩才能一步到位数列不等式与函数不等式

数列不等式为高中数学的重点和难点，常出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类问题的重要原则。熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、等比放缩、切线放缩等等。数列不等式为高中数学的重点和难点，常一、积分放缩积分法即利用积分的几何意义进行放缩。基本结论：nn-1nn+1一、积分放缩积分法即利用积分的几何意义进行放缩。基本结论：n*例1、求证：证：同理证右。*例1、求证：证：同理证右。练习：1、求证：练习：1、求证：二、函数放缩函数法即构造函数，利用函数单调性进行放缩。

基本结论：二、函数放缩函数法即构造函数，利用函数单调性进行基本结论*例2、求证：证1：*例2、求证：证1：证2：证2：数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件练习：解：练习：解：数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件*例3、求证：证1：*例3、求证：证1：证2：令再证：所以：证2：令再证：所以：由取n=2,3,…,n累加再证：构造函数：由取n=2,3,…,n累加再证：构造函数：*例4、求证：证：*例4、求证：证：*例5、求证：证：两个字母的不等式，可以将其中一个字母看成变量，另一个看成常数构造函数。*例5、求证：证：两个字母的不等式，可以将其中一个*例6、已知函数（1）证明：在上恒成立；（2）证明：*例6、已知函数（1）证明：在上恒成立；（2）证明：解（1）：解（1）：证（2）：在（1）中证（2）：在（1）中数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件练习：*1、求证：证1：练习：*1、求证：证1：证2：令再证再取n=2,3,..,n累加得证。证2：令再证再取n=2,3,..,n累加得证。2、求证：证：2、求证：证：*3、求证：证：此题思想重要！*3、求证：证：此题思想重要！三、对偶放缩

基本结论：糖水不等式三、对偶放缩基本结论：糖水不等式例1、求证：证：例1、求证：证：例2、求证：证：例2、求证：证：练习：1、求证：证：略。练习：1、求证：证：略。证1：先通项放缩，再考虑求和。2、求证：考虑右端裂成n份为只需分析法可证。证1：先通项放缩，再考虑求和。2、求证：考虑右端裂成n份为只证2：先考虑求和，再考虑裂项放缩。证2：先考虑求和，再考虑裂项放缩。四、裂项放缩裂项放缩是最广泛、最重要的放缩技巧。常见于积式、分式，根式，二次等结构，基本思想是转化成差形结构f(n)-f(n-1)累加求和解决问题。一般思路是配积取倒凑差。基本结论：四、裂项放缩裂项放缩是最广泛、最重要的放缩技巧。常见基本结论的列项思路：……往往，加强就可以证明。的列项思路：……往往，加强就可以证明。数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件基本结论：(一)分母整式型裂项（1）（2）（3）（4）基本结论：(一)分母整式型裂项（1）（2）（3）（4）例1、求证：(1)(2)*(3)例1、求证：例1、求证：(1)(2)*(3)例1、求证：证(3)：证(3)：证(3)：证(3)：*例2、求证：证：通项分析，裂项放缩。证：通项分析，裂项放缩。*例2、求证：证：通项分析，裂项放缩。证：通项分析，裂项放缩例3、求证：证：左例3、求证：证：左练习：证：1、设为正数列，求证：练习：证：1、设为正数列，求证：证：*2、求证：证：*2、求证：

(二)分母根式型裂项（1）（2）（3）即，同理基本结论：(二)分母根式型裂项（1）（2）（3）即，同理基本结论：例1、求证：*(1)(2)例1、求证：*(1)(2)证（2）：证（2）：例2、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。为需证结构累加得证。例2、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。为需证例3、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。为需证结构累加得证。例3、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。为需证例4、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。累加得证。例4、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。累加得练习：证：1、设，求证：练习：证：1、设，求证：*例1、数列满足：求的整数部分。解：

(三)其他结构裂项*例1、数列满足：求例2、求证：证：累加得证。分母出现积式是裂项的条件，分子配凑分母的差进行调整。所以配积取倒凑差是裂项的基本思想方法。例2、证：累加得例3、(2015重庆22)：背景：递归数列，数列不等式。策略：递归公式变形，迭代或裂项后累加，构造新数列，数列单调性(有界性)，放缩法。例3、(2015重庆22)：背景：递归数列，数列不等式。策略解析(1)解析(2)解析(1)解析(2)解析(2)解析(2)数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件*例4、(2015浙江20)：背景：递归数列，数列不等式。策略：递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形，裂项求和，放缩法。背景：递归数列，数列不等式。策略：递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形，裂项求和，放缩法。*例4、(2015浙江20)：背景：递归数列，数列不等式。策解析(1)解析(1)解析(2)解析(2)数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件练习：证：*1、设求证：练习：证：*1、设求证：证：2、设，求证：证：2、设，求证：证：3、设求证：证：3、设求证：解(1)：4、设解(1)：4、设证(2)：证(2)：五、等比放缩

等比放缩适用于指数结构，当后前项不是纯等比关系。可以考虑将后前项的比值放缩成一个常数，转化为等比数列求和处理。

基本结论：五、等比放缩等比放缩适用于指数结构，当后前项不是纯基*例1、求证：左（注：从第3项开始放大，否则会放得太大达不到目的）证：*例1、求证：左（注：从第3项开始放大，否则会放得太大达不到*例2、求证：所以所以左=（注：从第3项开始放大，否则会放得太大达不到目的）证法1：*例2、求证：所以所以左=（注：从第3项开始放大，否则会放得例2、求证：其余同法1证法2：例2、求证：其余同法1证法2：例3、求证：所以左证：例3、所以左证：例4、求证：证：例4、证：例5、求证：证法1：证法2：例5、证法1：证法2：练习：证：1、设，求证：练习：证：1、设，求证：数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件解：2、设解：2、设数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件六、二项式定理放缩二项式定理将n的指数形式和幂形式结合起来，只取展开式的有限项就建立了不等关系。基本结论：六、二项式定理放缩二项式定理将n的指数形式和幂形式结合起来，例1、求证：证：例1、求证：证：例2、解：例2、解：例3、证明贝努利不等式证法1：函数法例3、证明贝努利不等式证法1：函数法证法2：二项式定理法但不能说明x在[-1,0]的情况。证法3：数学归纳法证法2：二项式定理法但不能说明x在[-1,0]的情况。证法3*例4、求证：证：综上得证。*例4、求证：证：综上得证。练习：证：1、设求证：练习：证：1、设求证：证1：2、求证：证1：2、求证：证2：证2：证：即证3、求证：综上得证。证：即证3、求证：综上得证。4、解(1)：4、解(1)：证(2)：证(2)：5、(2013湖北)设n是正整数，r是正有理数解(1)：5、(2013湖北)设n是正整数，r是正有理数解(1)：证(2)：证(2)：数列不等式与函数不等式——如何放缩才能一步到位数列不等式与函数不等式

数列不等式为高中数学的重点和难点，常出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类问题的重要原则。熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、等比放缩、切线放缩等等。数列不等式为高中数学的重点和难点，常一、积分放缩积分法即利用积分的几何意义进行放缩。基本结论：nn-1nn+1一、积分放缩积分法即利用积分的几何意义进行放缩。基本结论：n*例1、求证：证：同理证右。*例1、求证：证：同理证右。练习：1、求证：练习：1、求证：二、函数放缩函数法即构造函数，利用函数单调性进行放缩。

基本结论：二、函数放缩函数法即构造函数，利用函数单调性进行基本结论*例2、求证：证1：*例2、求证：证1：证2：证2：数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件练习：解：练习：解：数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件*例3、求证：证1：*例3、求证：证1：证2：令再证：所以：证2：令再证：所以：由取n=2,3,…,n累加再证：构造函数：由取n=2,3,…,n累加再证：构造函数：*例4、求证：证：*例4、求证：证：*例5、求证：证：两个字母的不等式，可以将其中一个字母看成变量，另一个看成常数构造函数。*例5、求证：证：两个字母的不等式，可以将其中一个*例6、已知函数（1）证明：在上恒成立；（2）证明：*例6、已知函数（1）证明：在上恒成立；（2）证明：解（1）：解（1）：证（2）：在（1）中证（2）：在（1）中数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件练习：*1、求证：证1：练习：*1、求证：证1：证2：令再证再取n=2,3,..,n累加得证。证2：令再证再取n=2,3,..,n累加得证。2、求证：证：2、求证：证：*3、求证：证：此题思想重要！*3、求证：证：此题思想重要！三、对偶放缩

基本结论：糖水不等式三、对偶放缩基本结论：糖水不等式例1、求证：证：例1、求证：证：例2、求证：证：例2、求证：证：练习：1、求证：证：略。练习：1、求证：证：略。证1：先通项放缩，再考虑求和。2、求证：考虑右端裂成n份为只需分析法可证。证1：先通项放缩，再考虑求和。2、求证：考虑右端裂成n份为只证2：先考虑求和，再考虑裂项放缩。证2：先考虑求和，再考虑裂项放缩。四、裂项放缩裂项放缩是最广泛、最重要的放缩技巧。常见于积式、分式，根式，二次等结构，基本思想是转化成差形结构f(n)-f(n-1)累加求和解决问题。一般思路是配积取倒凑差。基本结论：四、裂项放缩裂项放缩是最广泛、最重要的放缩技巧。常见基本结论的列项思路：……往往，加强就可以证明。的列项思路：……往往，加强就可以证明。数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件基本结论：(一)分母整式型裂项（1）（2）（3）（4）基本结论：(一)分母整式型裂项（1）（2）（3）（4）例1、求证：(1)(2)*(3)例1、求证：例1、求证：(1)(2)*(3)例1、求证：证(3)：证(3)：证(3)：证(3)：*例2、求证：证：通项分析，裂项放缩。证：通项分析，裂项放缩。*例2、求证：证：通项分析，裂项放缩。证：通项分析，裂项放缩例3、求证：证：左例3、求证：证：左练习：证：1、设为正数列，求证：练习：证：1、设为正数列，求证：证：*2、求证：证：*2、求证：

(二)分母根式型裂项（1）（2）（3）即，同理基本结论：(二)分母根式型裂项（1）（2）（3）即，同理基本结论：例1、求证：*(1)(2)例1、求证：*(1)(2)证（2）：证（2）：例2、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。为需证结构累加得证。例2、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。为需证例3、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。为需证结构累加得证。例3、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。为需证例4、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。累加得证。例4、求证：证：注意观察不等式两端结构，裂成n份比较。累加得练习：证：1、设，求证：练习：证：1、设，求证：*例1、数列满足：求的整数部分。解：

(三)其他结构裂项*例1、数列满足：求例2、求证：证：累加得证。分母出现积式是裂项的条件，分子配凑分母的差进行调整。所以配积取倒凑差是裂项的基本思想方法。例2、证：累加得例3、(2015重庆22)：背景：递归数列，数列不等式。策略：递归公式变形，迭代或裂项后累加，构造新数列，数列单调性(有界性)，放缩法。例3、(2015重庆22)：背景：递归数列，数列不等式。策略解析(1)解析(2)解析(1)解析(2)解析(2)解析(2)数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件*例4、(2015浙江20)：背景：递归数列，数列不等式。策略：递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形，裂项求和，放缩法。背景：递归数列，数列不等式。策略：递归公式变形，迭代，函数思想，恒等变形，裂项求和，放缩法。*例4、(2015浙江20)：背景：递归数列，数列不等式。策解析(1)解析(1)解析(2)解析(2)数列不等式与函数不等式-放缩法大全课件练习：证：*1、设求证：练习：证：*1、设求证：证：2、设，求证：证：2、设，求证：证：3、设求证：证：3、设求证：解(1)：4、设解(1)：4、设证(2)：证(2)：五、等比放缩

等比放缩适用于指数结构，当后前项不是纯等比关系。可以考虑将后前项的比值放缩成一个常数，转化为等比数列求和处理。

基本结论：五、等比放缩等比放缩适用于指数结构，当后前项不是纯基*例1、求证：左（注：从第3项开始放大，否则会放得太大达不到目的）证：*例1、求证：左（注：从第3项开始放大，否则会放得太大达不到*例2、求证：所以所以左=（注：从第3项开始放大，否则会放得太大达不到目的）证法1：*