高三数学三轮冲刺复习易错题专练16-抛物线【含答案】

易错题专练16—抛物线一.单选题.已知抛物线C：/=4x的焦点为产，准线为/,尸是/上一点，°是直线P尸与抛物线C的一个交点，若电1=3|阻，则|少>()TOC\o"1-5"\h\z8 4 4 8A.3 B.4或3 C.3 D.3或3x2+£=1.若1,机，9三个数成等比数列，则圆锥曲线m的离心率是( )272 272 x/6 瓜A.3或厢B.3或2 C.3或2 D.3或标.斜率为5的直线/经过抛物线V=4x的焦点尸，且与抛物线相交于4,B两点,则\AF\+\BF\两研的值为()TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.1 C.2 D.42 -1 p.若抛物线V=2px(p>0)的焦点到双曲线8P 的渐近线的距离为4 ,则抛物线的标准方程为( )Ay2=16x py2=Sx qy2=4x 口V=32x.抛物线『=2px(p>0)的焦点为尸，“、8为抛物线上的两个动点，且满足N/FB=60°.过弦N8的中点A/作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为()TOC\o"1-5"\h\zG 2y/3A.3 B.3 C.1 D.2.已知抛物线。：『=2"5>0)的焦点为尸，°为坐标原点，A,8为抛物线C上两点,—cui \AF\+\BF\=^- . 、用，且 4,则48的斜率不可能是（）A.3 B.-2& C.2忘 D.2.如图，过抛物线F=4x的焦点厂作直线/交抛物线于力，8两点，点“是线段48的TOC\o"1-5"\h\z中点，过“作V轴的垂线交抛物线于尸点，记尸尸］,则2的值为( )A.2 B.4 C.6 D.8y=—x2 x2+y2-2y+—=0.点”为抛物线 4上任意一点，点N为圆--4上任意一点，若函数/(x)=bg“(x+2)+2(a>l)的图象恒过定点尸，则也尸1+也附的最小值为()5 n 13A.2 B.4 C.3 D.4二.多选题2.设工、8是抛物线夕=厂上的两点，°是坐标原点，且°4_LO8,则下列结论成立的是()A.点0到直线的距离不大于1 B.直线48过定点(L°)C,直线初过点呜) 口.⑺“。切》2P(,1) 0 ,2.已知点2 ,0为坐标原点，A,8为曲线Cf=2x上的两点，尸为其焦点.下列说法正确的是( )(~,0)A.点尸的坐标为2B.若P为线段的中点，则直线48的斜率为-2C.若直线/B过点尸,且1尸。1是1"1与避尸1的等比中项,则|/5|=10D.若直线48过点尸，曲线0在点4处的切线为在点8处的切线为',则4^/211.设抛物线V=2px(p>0)的焦点为尸.点加在y轴上，若线段尸M的中点8在抛物线逑上，且点8到抛物线准线的距离为4,则点M的坐标为（A.（0,-1） b.（。，一刀 c.（。，2） D.（。』）12.设“，N是抛物线产=x上的两个不同的点，°是坐标原点，若直线0M与的斜率之积为2,则下列说法错误的是（ ）A\OM\+\ON\^4y[2B.以MN为直径的圆的面积大于4万C.直线MN过抛物线/=x的焦点D.0到直线MN的距离不大于2三.填空题.已知抛物线V=8x,焦点为/，准线为/,P为抛物线上一点，PALI,“为垂足，如果直线力尸的斜率为一石，那么十用=—,—（。是坐标原点）..已知抛物线丁=2*5>0）的焦点为/（1,0）,过点尸作直线/交抛物线于4,B两点,AF__9_则0=—,4而的最小值为..过抛物线/=2Px（p>0）上一定点P（x°,y0）（y0>0）作两条直线分别交抛物线于4再，M）,B®,必），若PZ与尸8的斜率存在且倾斜角互补，则加..希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、4,8的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系*伽中，“（°」），醺0,4）,则,1点尸满足2的阿波罗尼斯圆的方程为.已知点C（-2,4）,。为抛物线E：广=8x上的动点，点°在直线》=一2上的射影为〃，M为（x+2『+V=4上动点，则四.解答题.已知抛物线V=2x,过点尸（覃）分别作斜率为用，&的抛物线的动弦48,CD,设M,N分别为线段CO的中点.(I)若尸为线段48的中点，求直线48的方程;(II)若尢+也=1,求证直线及加恒过定点，并求出定点坐标..已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为尸，“为C上位于第一象限的任意一点，过点4的直线/交C于另一点8,交工轴的正半轴于点。.(1)若当点Z的横坐标为3,且以OF为等边三角形，求C的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C,若点 2,记点8关于x轴的对称点为E,/E交x轴于点P,且尸，求证：点P的坐标为(-%,°),并求点P到直线Z8的距离〃的取值范围..平面直角坐标系中，已知抛物线V=2px(p>0)及点M(2,0),动直线/过点”交抛物线于工，8两点，当/垂直于*轴时，"=4.(1)求「的值：(2)若/与x轴不垂直，设线段Z8中点为C,直线4经过点C且垂直于V轴，直线4经过点”且垂直于直线/,记R4相交于点尸，求证：点尸在定直线上..在平面直角坐标系》口中，已知抛物线C：V=2py(p>0),过抛物线焦点尸且与夕轴垂直的直线与抛物线相交于N、8两点，且AO/8的周长为2+石.(1)求抛物线C的方程：(2)若直线/过焦点/且与抛物线°相交于“、7两点，过点〃、N分别作抛物线C的切线4、£切线4与4相交于点尸，求：IS2-I研•121的值.易错题专练16—抛物线答案1.解：当。在尸产的延长线时，过。向准线/作垂线，垂足为°,，根据已知条件，|PF|=3|F0|,\FFr\_\PF\_3结合抛物线的定义得31倒1、Q-o:]QQ|=-•・,|FF\=p=21"匕13* 9Q••.IPF|=-当。在尸F之间时，过。向准线/作垂线，垂足为。'，根据已知条件，I尸尸1=31尸0,|尸尸||尸尸|_3结合抛物线的定义得31阁15,4•.•1尸尸i=p=2,2.解：三个数1,布，9成等比数列,

则“11 1 =一化简得811 1 =一化简得8P4,解得°=8；当机=3时，曲线3 为椭圆,当加=-3当加=-3时，曲线为3为双曲线,则离心率e=2.故选：。.3.解：由V=4x得/(1,0),。=2,由已知得l「=4x ,消去由已知得l「=4x ,消去y得/-18x+l=。设A(xif必),B(x2,y2),则X[+々=18又|4可=再+1,|8用=%+1,=1所以I4F卜|8用=区+l)(x2+1)=xtx2+x,+x2+1=20|AF|+1BF|_x,+x2+2_20_故 _—20—=20=故选：B.4.解：抛物线『二2px(p>0)的焦点为“2,二二=] 上 y_产到双曲线8P的一条渐近线2亚&0)0的距离为5.解:设|M|=6,由抛物线定义，得/尸目/0,\BF\=\BP\在梯形NB尸0中,/.21MN^=\AQ\+\BP\^a+b由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2〃bcos600=/+b2-ab配方得，M8「=(a+疗一3a6,,J"氢£^)2TOC\o"1-5"\h\z又2 ,3 1(a+b)2-3ab》(a+/?)2~~(^+b)2=-(a+b)2|AB|》一(a+b)得到2 .IW|<1...|/B|、,即\AB\的最大值为i.2 ),、f\\ F(',0)6.解：易知抛物线Ci=2px(p>0)的焦点为2 ,。为坐标原点，=2 二土P又/，B为抛物线C上两点,\AO\=\AF\f故代入>=2px得“后,故尺岩,或8宣).|AF|=|AO|=yjx/+y/=^-p \BF\=--^-=^-易知 4,所以4 4 2.x+£=垩所以“52,所以乙=2，代入V=2*得，w=±&p.故B(p,亚p),或(p,-五p)

五P-气2a -五P-气2& -何+%2五3 P P3故 4 ，或4 ，或4 ，或>[ip+y- 五=2后故选：D.7.解：抛物线V=4x的焦点为尸(1,0),准线方程为x=-l,(1)当直线存在斜率时，设直线的方程为^="。々)/*。)，[y2=4x由[y=%(x-l),消去V,得公/-(2二+4)x+二=0；设4占，乂)，8。2,%),2k2+4/1+X2= /2则 k|AB|=x,|AB|=x,+x2+p=x,+x2+2=4k2+4k2中点坐标M的横坐标为2k2k2k2+2Fl纵坐标为4.—=4x由产i所以点尸的横坐标为公，।尸尸1=，+1=兽所以片k-.所以|倜=4|「用.(2)当直线48不存在斜率时，I尸用=1,|力例=4,所以M8|=4|PF|.综上知，1"团=4|即|,2=4,故选：B.，=lf8.解：抛物线,-4”上化为标准形式是-=4y,焦点是/(0,1),准线方程是x=-l；、 ？ 1 1x2+y2-2y+-=0 x+(y-1)=- n r=-圆的方程 '-4 可化为- 4,圆心是C(0,D,半径为2.函数/（X）=loga（x+2）+2（a>1）的图象恒过定点尸（-1,2）,1 2y——x~又点M为抛物线4上任意一点，点N为圆上任意一点，由图象知，也门+也凶的最小值为"0一'"一㈠）一5一5故选：/.9.解：设直线方程为y二履+⑶，凰须，必），8（々，％）,将直线加方程代入抛物线方程丁二一,则X|+X2=上，X,X2=-bt■：OALOB--koA-^oB=-6=-l（6=1.（o2.）于是直线48方程为v=6+i,该直线过定点（°，i）,不过点‘4,所以选项8、C错误；又点°到直线48的距离为 VA-+1,所以4正确；当&=°时，1°川°8|取得最小值2,所以I。川“°切》2,选项。正确.故选：.10.解：由P=2x得2. 8.,则焦点坐标8,故Z错误,设“（苟，必），b（x2,必），4B:y=kx+b,代入y=2/得京+6=2/，即2x2-kx-b=Ot则…甘x]+x2 1IP为线段的中点，2—5,kX.4-Xy——二-1即一2 ,得k=-2,故8正确，若直线月8过点F,旦产°1是M用与W用的等比中项,MF||fiF|=|P6?| (£ X=_P_11.解：根据题意，抛物线广=2*(p>0)的焦点为2,0),准线方程为“ (£ X=_P_11.解：根据题意，抛物线广=2*(p>0)的焦点为2,0),准线方程为“2,TOC\o"1-5"\h\z则 2 44,y=kxH— c22/一kx—=0由抛物线的准线方程为. 8,代入y=2x得8则IE+h…IAFWBF|=（乂+：）（了2+1）=乂%+:（%+了2）+Loo o 64,]k11•••乂+%=左（玉+七）+^=万+^ 乂%=4（玉石）2=41 、 1 5y{y24--（y,+y7）+——=一代入8%〜644,11>2L1 5得64824 644,得标=19,满足判别式△>（）,1 \ k2\ 1101\AB\=\AF\+\BF|=^+-+k+-=—+-+-=—+-=10则 一 '8尸2824422 ,故C正确,设4（%,乂），B®,%）,则M=2k；得乂=2x；,函数片2丁的导数/'(x)=4x,即在4处切线斜率占=/'(再)=4占，在b处切线斜率取=~2)=4々,__J_则发向=4占4%=16卬%由选项C知，a％=一布，k[k,=16x(——)=—1 ,..则- 16 ,即/I，,"故。正确.故选：BCD.设8的坐标为（孙〃）,m= =一若B为F、河的中点，则2 4,3近 pp3\[2又由点8到抛物线准线的距离为4，则I2~~t解可得p=6,2 帆=也则抛物线的方程为V=2j5x,且*4,n~=2V2x=18在抛物线上，则 4 ,解可得”=±1,4则B的坐标为4,±1）,则点M的坐标为（0,2）或（0,-2）：故选：8c.12.解：设直线”乂的方程为》=叼+8，y2=x<联立方程组lx=my+h,消去万可得V一阳j一匕二0,设”（网，必），N®,y2）t则乂+%=用，yty2= ,XjX2=（即]+b）（my2+b）=m2y1y2+〃仍（必+%）+从=/•・k・k—乂必_L_b1x\xi2,1.b-2,故6=2,二直线"％方程为x=叼+2,过定点（2,0）,故C错误;v|MN|=Jl+/„2J（必+必）2_4%必=Vl+m2Vw2+8=Vot4+9w2+8^2>/2&.MF3=万• 二以MN为直径的圆的面积 4 ,故8错误：d=—j=^=^2°到直线"N的距离为 V/h2+1，故。正确当机=°时，直线出的方程为x=2,此时1OM|=l°Nk#，故|OM|+1|=2>/6<4>/2（故/错误.故选：”8。.13.解：抛物线丁=8》，焦点为尸（2,0）,准线/方程为x=-2,由直线AF的斜率为一石，直线AF的方程为y=-石（x-2）,x=-2由Ik一石（x-2）,可得z点坐标为（-2,4⑹•PALI,4为垂足,•••尸点纵坐标为4石，代入抛物线方程，得尸点坐标为（1°,46），.•J尸尸|=|尸川=10_（_2）=12.故12,46.（£14.解：抛物线的焦点坐标为2,°）,2=1•••焦点为尸（呵.・2 ，得P=2,

即抛物线方程为y即抛物线方程为y=4x当轴时，x=l,此时产=4,y=±2t即4(1,2),5(1-2),则%尸=8尸=2,AF__9__2_9T-BF~4-2",当“8不垂直'轴时，设斜率为左，设4区，必)，B®,必)，则AB:y=k(x-1),代入产=4x得产(%-1)2=4x,即左2/一2k2%+%2=4x,即"-2-(2k2+4)x+42=0,8r+4贝IJ '左,七工2=1,则AF=AM=$+1BF=BN=x2+12y+41 1 1 1 l+Xj+l+x2 2+X]+x[ H2k~+2k~+4AFBF1+X]1+x2(l+XjXl+Xj)1+Xj+x2+x]x2 2k2+42k2+2k2+4++k13-9=2x--9=3-9=-62—则3-9=2x--9=3-9=-622="_9"口="+2一为则4B尸4AF4AFAF9当且仅当4AFf即工尸=6时，取等号,AF9kpA=—~~—=2P(%xx。)kPB=———(x2*x0)is.解：占-x。乂+% ， %,2P2P

— — 1B-i. '由F月，尸8倾斜角互补知％=一%即乂+K 乂+凡可得乂+%=-2%2112k二一2故^ ^故-2pa__\_ V^+t,r-o2_i16.解：设PG/),由题意可得：PB~lt即G+dG2,整理可得：X2+J；2=4做出图象如右：设圆(x+2)2+V=4是动点M(x,y)到C(-2,4)与到定点D(-2,m)的距离比为2的阿氏圆.TOC\o"1-5"\h\z'+2)2+3-4)2一2 28(^-1) W-16_所以必+2『+("阳)2 ，化简得X+) 厂)+-3--~、八—I1=1MDI SLI则m-1=0,所以加=1,故5-2,1),...2 ,结合抛物线定义।HO加，^-\MC\+\QH\+\QM=\MD\+\QM\+\QF\^\FD\ n••2 (当且仅当0,M,Q,厂四点共线，且2,M在。，尸之间时取等号),此时IFD1=7(-2-2)2+(1-0)2=717.-\MC\+\QH\+\QM\ 厂故2 的最小值为后.故/+/=4,后.

①一②，得（y-y）（y+y）=2（x'-x①一②，得（y-y）（y+y）=2（x'-x）,y'-y2K、- = =[所以，x,-xy+j又直线48过尸（1，1）,所以直线48的方程为丁=乂；（H）依题设M（x*W）,直线48的方程为「占（X-1）,即y=Kx+1-尢,亦即y=Kx+B,代入抛物线方程并化简得#/+（2"2-2口+月=02k、k?-2_2-2k\k?所以,于是,1—k、k]j. .\—kx于是,1—k、k]yM=krxM+&=k,厂+&=-r同理,l-k.k.Xn=F-Ai同理,l-k.k.Xn=F-易知结2*°,所以直线MN的斜率Xm-Xn'-kJ、1k?k\1-ktk2y =-(x 故直线MV的方程为 k\1-M,k\k?k\iy=———x+1即IK.此时直线过定点（°」）.故直线跖V恒过定点（0,1）.F（-,0）|五川=3+218.解：⑴由题知2 , 2,则。（3+p,0）, 的中点坐标为弓+学⑺，由24 ,解得0=2,所以抛物线C的方程为V=4x：（2）依题可设直线48的方程为“=叩+/（巾二°）,点”（“I,必），B&,力），则E（x2,-y1）,y2=4x由卜=叼+%,消去“，得/_4叩_4/=0.所以△二1'加2+16%>0,乂+%=4〃？，y^y2=-4x0设P的坐标为（号，°）,则产后=。一马,一%）,PA=（xt-xp,-y｝）；由题知PE"PA,所以（X?-x?）•必+（西一xp）«y2=0x2yt+x,y2=（乂+y2）xp=%乂+乂力=+%）TOC\o"1-5"\h\z即 4 4 .x一一乃「x显然%+为=4加30,所以•尸4 ，即证与+/=0,由题知AEP8为等腰直角三角形，所以左〃=1,必+% ;1乂+为_] 1,2 2、1 —（y—力）即演一/,也即4'*° ,所以必一%=4,所以（弘+%）2_4乂*=16,

即16"+16/2=16w2=1—x0xQ<1<1又因为2,所以2d=I_%|_2x0所以Jl+ «+m2乐—当，则…"所产苧一〃易知人）="'在"乳是减函数,19.1）解：当直线/过点“（2,0）,且垂直于x轴时,由48=4,知抛物线y2=2px(p>0