《提公因式法》课件-(公开课获奖)2022年湘教版-2

提公因式法

提公因式法

11.能确定多项式的公因式.(重点)2.会用提公因式法把多项式因式分解.(难点)1.能确定多项式的公因式.(重点)2一、公因式1.多项式abc+a各项公共的因式是__.2.多项式4x2-2xy各项公共的因式是___.3y2z-3xy3各项公共的因式是____.【总结】几个多项式的_____的因式称为它们的公因式.a2x3xy2公共一、公因式a2x3xy2公共3二、提公因式法根据乘法分配律将以下多项式因式分解:(1)abc+a=________.(2)4x2-2xy=_________.(3)6x3y2z-3xy3=____________.a(bc+1)2x(2x-y)3xy2(2x2z-y)二、提公因式法a(bc+1)2x(2x-y)3xy2(2x24【思考】1.上面三式因式分解的结果有何共同特征?提示:结果都是单项式×多项式.2.因式分解结果中单项式与原多项式有何关系?提示:该单项式为原多项式的公因式.3.提公因式后所得多项式与原多项式的项数有何关系?提示:相同.【思考】5【总结】1.提公因式法:如果一个多项式的各项有_______,把公因式提到_________,从而把多项式因式分解的方法.2.公因式可能是一个___或式,也可能是单项式或_______.公因式括号外面数多项式【总结】1.提公因式法:如果一个多项式的各项有_______6(打“√〞或“×〞)(1)每个多项式都有公因式.()(2)3a+6ab的公因式是a.()(3)4m2-6m+2不能用提公因式法因式分解.()(4)-7x2y+14x因式分解的结果是-7x(xy+2).()(5)a(m+n)-b(m+n)=(m+n)(a-b).()××××√(打“√〞或“×〞)××××√7知识点1用提公因式法因式分解

【例1】因式分解:(1)(2021·山西中考)a2-2a=.(2)8a3b2-12ab3c+ab=.(3)-24x3+12x2-28x=.(4)6(x-2)+x(2-x)=.【思路点拨】确定公因式→系数、字母及指数→提公因式→剩余项放在括号内知识点1用提公因式法因式分解

8【自主解答】(1)a2-2a=a(a-2).(2)原式=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b-12b2c+1).(3)原式=-4x·6x2+(-4x)·(-3x)-4x·7=-4x(6x2-3x+7).(4)原式=6(x-2)-x(x-2)=(x-2)(6-x).【自主解答】(1)a2-2a=a(a-2).9答案:(1)a(a-2)(2)ab(8a2b-12b2c+1)(3)-4x(6x2-3x+7)(4)(x-2)(6-x)答案:(1)a(a-2)10【总结提升】用提公因式法因式分解的步骤【总结提升】用提公因式法因式分解的步骤11知识点2利用因式分解简化计算

【例2】a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值.【教你解题】知识点2利用因式分解简化计算

【教你解题】12【总结提升】提公因式法简化计算的技巧在用提公因式法进行化简计算时,往往涉及多个量,直接计算那么过程繁杂,这时可将表示数量关系的式子进行适当变形再代入数值进行计算,尤其是运用包括提公因式法在内的因式分解进行变形,可起到事半功倍的效果.【总结提升】提公因式法简化计算的技巧13题组一:用提公因式法因式分解1.多项式36a2bc-48ab2c+24abc2的公因式是(

)2b2c22b2c2【解析】选C.系数的最大公约数是12,相同字母的最低指数次幂是abc,所以公因式为12abc.题组一:用提公因式法因式分解142.以下各式中,没有公因式的是()与b-aB.mx+y与x+myC.(m-1)3与-(1-m)2D.a+b与-(b+a)【解析】选选项的公因式为a-b,C选项的公因式为(m-1)2,D选项的公因式为a+b.2.以下各式中,没有公因式的是()153.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后,余下的局部是()C.2 D.m+2【解析】选D.因为(m+1)(m-1)+(m-1)=(m-1)(m+1+1)=(m-1)(m+2),所以余下的局部是m+2.3.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-164.将m2(a-2)+m(2-a)因式分解,正确的选项是()A.(a-2)(m2-m)B.m(a-2)(m+1)C.m(a-2)(m-1)D.m(2-a)(m-1)【解析】选2(a-2)+m(2-a)=m2(a-2)-m(a-2)=m(a-2)(m-1).4.将m2(a-2)+m(2-a)因式分解,正确的选项是(175.(2021·鞍山中考)因式分解:m2-10m=.【解析】m2-10m=m(m-10).答案:m(m-10)5.(2021·鞍山中考)因式分解:m2-10m=.186.(2021·无锡中考)因式分解:2x2-4x=.【解析】2x2-4x=2x(x-2).答案:2x(x-2)6.(2021·无锡中考)因式分解:2x2-4x=.197.因式分解:(1-3a)2-3(1-3a).【解析】(1-3a)2-3(1-3a)=(1-3a)(1-3a-3)=(1-3a)(-3a-2)=-(1-3a)(3a+2).7.因式分解:(1-3a)2-3(1-3a).20题组二:利用因式分解简化计算1.计算(-2)2021+(-2)2021的结果是()20212021C.-2 2021【解析】选A.(-2)2021+(-2)2021=(-2)2021+(-2)2021×(-2)=(-2)2021×(1-2)=-22021×(-1)=22021.题组二:利用因式分解简化计算212.a-2b=-2,那么4-2a+4b的值是()A.0B.2C.4【解析】选D.4-2a+4b=4-2(a-2b)=4-2×(-2)=8.2.a-2b=-2,那么4-2a+4b的值是()223.利用因式分解计算:20212-2021×2021=.【解析】原式=2021×(2021-2021)=2021×1=2021.答案:20213.利用因式分解计算:20212-2021×2021=234.a,b互为相反数,那么a(x-2y)-b(2y-x)的值为.【解析】因为a,b互为相反数,所以a+b=0,所以a(x-2y)-b(2y-x)=a(x-2y)+b(x-2y)=(a+b)(x-2y)=0·(x-2y)=0.答案:04.a,b互为相反数,那么a(x-2y)-b(2y-x)的值245.利用因式分解计算32×3.14+5.4×31.4+0.14×314.【解析】32×3.14+5.4×31.4+0.14×314=0.32×314+0.54×314+0.14×314=314×(0.32+0.54+0.14)=314×1=314.5.利用因式分解计算32×3.14+5.4×31.4+0.1256.电学公式U=IR1+IR2+IR3,当R1=12.9,R2=18.5,R3=18.6,时,求电压U.【解析】U=IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)×(12.9+18.5+18.6)=1.5×50=75.6.电学公式U=IR1+IR2+IR3,当R1=12.9,R267.x2+x-1=0,求x3+2x2+3的值.【解析】由题意得:x2+x=1,所以x3+2x2+3=x(x2+x)+x2+3=x+x2+3=4.7.x2+x-1=0,求x3+2x2+3的值.27【想一想错在哪？】因式分解:x(x-y)2-y(y-x).提示:误认为x-y与y-x相等,而出现错误!【想一想错在哪？】因式分解:x(x-y)2-y(y-x).281.2.3绝对值1.2.3绝对值29观察观察3031

上图中，单位长度为1米，那么小黄狗、大白兔、小灰狗分别距离原点多远？赶快思考啊！！！31上图中，单位长度为1米，那么小黄狗、大白兔、小灰狗31-3-2-10123聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。小黄狗距离原点3米大白兔距离原点2米小灰狗距离原点3米-3-2-10123聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。32在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做该数的绝对值〔absolutevalue)。抽象总结你能明白吗？在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做该数的33想一想互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？一对相反数虽然分别在原点两边，但它们到原点的距离是相等的.想一想互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？34一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.

一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条竖线，如+2的绝对值等于2，记作|+2|＝2。数a的绝对值记作|a|.

如图，在数轴上表示－5的点与原点的距离是5，即－5的绝对值是5，记作|－5|＝5.

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.

35议一议一个数的绝对值与这个数有什么关系？例如：|3|＝3，|＋7|＝7一个正数的绝对值是它本身；例如：|－3|＝3，|－2.3|＝2.3

一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.议一议一个数的绝对值与这个数有什么关系？例如：|3|＝36

因为正数可用a＞0表示，负数可用a＜0表示，所以上述三条可表述成：

(1)如果a＞0，那么|a|＝a

(2)如果a＜0，那么|a|＝－a

(3)如果a＝0，那么|a|＝0

因为正数可用a＞0表示，负数可用a＜0表37－10、－8两数中，哪个数大？它们的绝对值呢？

表示－10的点A比表示－8的点B离开原点比较远.

显然|－10|＞|－8|因为点A在点B的左边，所以－10＜－8.

由此得出结论：两个负数比较大小，绝对值大的反而小.一个数的绝对值大于或等于0.

－10、－8两数中，哪个数大？它们的绝对值呢？表示－10的381．比较以下各组数的大小：

(1)－1和－5

(2)－

和－2．7

1．比较以下各组数的大小：

(1)－1和－5

(239做一做〔1〕在数轴上表示以下各数，并比较它们的大小：-15，-3，-1，-5；〔2〕求出〔1〕中各数的绝对值，并比较它们的大小；〔3〕你发现了什么？做一做〔1〕在数轴上表示以下各数，并比较它们的大小：-15，40判断：(1)假设一个数的绝对值是2

，那么这个数是2；

(2)|5|＝|－5|；(3)|－0.3|＝|0.3|；(4)|3|＞0；

(5)|－1.4|＞0；(6)有理数的绝对值一定是正数；(7)假设a＝b，那么|a|＝|b|；(8)假设|a|＝|b|，那么a＝b；(9)假设|a|＝－a，那么a必为负数；(10)互为相反数的两个数的绝对值相等；判断：(1)假设一个数的绝对值是2

，那么这个数是241(1)绝对值是7的数有几个？各是什么？有没有绝对值是－2的数(2)绝对值是0的数有几个？各是什么

〔3〕绝对值小于3的数是否都小于绝对值小于5的数？〔4〕绝对值小于10的整数一共有多少个？

(1)绝对值是7的数有几个？各是什么？有没有42(1)求绝对值不大于2的整数；

(2)x是整数，且＜|x|＜7，求x．

(1)求绝对值不大于2的整数；

(2)x是整数，432、有理数a在数轴上对应的点如下图：那么|a|=________4、如果a

的相反数是-，那么|a|=______3.如果一个数的绝对值等于3.25，那么这个数是___5.如果|x-1|=2，那么x=______．2、有理数a在数轴上对应的点如下图：那么|a|=____44练习一:2.比较大小：│－5││－8││-0.05│

0；│-3│

1；

1.绝对值等于6的数有

绝对值是0的数是

。

-6和+60练习一:2.比较大小：│－5││－8││-0.0453.判断〔对的打“√〞，错的打“×〞〕：

〔1〕一个有理数的绝对值一定是正数。()〔2〕－1.4<0，那么│－1.4│<0。()〔3〕│－32︱的相反数是32()〔4〕如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等()〔5〕互为相反数的两个数的绝对值相等()3.判断〔对的打“√〞，错的打“×〞〕：〔1〕一个有理数46

0abc那么│a││c│,│b││c│4.有三个数a、b、c在数轴上的位置如以下图所示那么a、b、c三个数从小到大的顺序是：C

＜b

＜a＜＜0abc那么│a││c│,│b││c│那么a、475.足球比赛中对所用的足球有严格的规定，下面是5个足球的质量检测结果〔用正数表示超过规定质量的克数，用负数表示缺乏规定质量的克数〕答：记为-8的足球质量好一些。因为│－20│=20，│+10│=10，│+12│=12，│－8│=8，│－11│=11所以│－8│<│+10│<│－11│<│+12│<│－20│也就是说记为-8的足球与规定的质量相差比较小，因此其质量比较好-20+10+12-8-11请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明。5.足球比赛中对所用的足球有严格的规定，下面是5个足球的质48本章小结一个正数的绝对值等于它本身一个负数的绝对值等于它的相反数0的绝对值等于0互为相反数的两个数的绝对值相等本章小结一个正数的绝对值等于它本身49累了吧？继续加油！！！累了吧？50提公因式法

提公因式法

511.能确定多项式的公因式.(重点)2.会用提公因式法把多项式因式分解.(难点)1.能确定多项式的公因式.(重点)52一、公因式1.多项式abc+a各项公共的因式是__.2.多项式4x2-2xy各项公共的因式是___.3y2z-3xy3各项公共的因式是____.【总结】几个多项式的_____的因式称为它们的公因式.a2x3xy2公共一、公因式a2x3xy2公共53二、提公因式法根据乘法分配律将以下多项式因式分解:(1)abc+a=________.(2)4x2-2xy=_________.(3)6x3y2z-3xy3=____________.a(bc+1)2x(2x-y)3xy2(2x2z-y)二、提公因式法a(bc+1)2x(2x-y)3xy2(2x254【思考】1.上面三式因式分解的结果有何共同特征?提示:结果都是单项式×多项式.2.因式分解结果中单项式与原多项式有何关系?提示:该单项式为原多项式的公因式.3.提公因式后所得多项式与原多项式的项数有何关系?提示:相同.【思考】55【总结】1.提公因式法:如果一个多项式的各项有_______,把公因式提到_________,从而把多项式因式分解的方法.2.公因式可能是一个___或式,也可能是单项式或_______.公因式括号外面数多项式【总结】1.提公因式法:如果一个多项式的各项有_______56(打“√〞或“×〞)(1)每个多项式都有公因式.()(2)3a+6ab的公因式是a.()(3)4m2-6m+2不能用提公因式法因式分解.()(4)-7x2y+14x因式分解的结果是-7x(xy+2).()(5)a(m+n)-b(m+n)=(m+n)(a-b).()××××√(打“√〞或“×〞)××××√57知识点1用提公因式法因式分解

【例1】因式分解:(1)(2021·山西中考)a2-2a=.(2)8a3b2-12ab3c+ab=.(3)-24x3+12x2-28x=.(4)6(x-2)+x(2-x)=.【思路点拨】确定公因式→系数、字母及指数→提公因式→剩余项放在括号内知识点1用提公因式法因式分解

58【自主解答】(1)a2-2a=a(a-2).(2)原式=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b-12b2c+1).(3)原式=-4x·6x2+(-4x)·(-3x)-4x·7=-4x(6x2-3x+7).(4)原式=6(x-2)-x(x-2)=(x-2)(6-x).【自主解答】(1)a2-2a=a(a-2).59答案:(1)a(a-2)(2)ab(8a2b-12b2c+1)(3)-4x(6x2-3x+7)(4)(x-2)(6-x)答案:(1)a(a-2)60【总结提升】用提公因式法因式分解的步骤【总结提升】用提公因式法因式分解的步骤61知识点2利用因式分解简化计算

【例2】a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值.【教你解题】知识点2利用因式分解简化计算

【教你解题】62【总结提升】提公因式法简化计算的技巧在用提公因式法进行化简计算时,往往涉及多个量,直接计算那么过程繁杂,这时可将表示数量关系的式子进行适当变形再代入数值进行计算,尤其是运用包括提公因式法在内的因式分解进行变形,可起到事半功倍的效果.【总结提升】提公因式法简化计算的技巧63题组一:用提公因式法因式分解1.多项式36a2bc-48ab2c+24abc2的公因式是(

)2b2c22b2c2【解析】选C.系数的最大公约数是12,相同字母的最低指数次幂是abc,所以公因式为12abc.题组一:用提公因式法因式分解642.以下各式中,没有公因式的是()与b-aB.mx+y与x+myC.(m-1)3与-(1-m)2D.a+b与-(b+a)【解析】选选项的公因式为a-b,C选项的公因式为(m-1)2,D选项的公因式为a+b.2.以下各式中,没有公因式的是()653.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后,余下的局部是()C.2 D.m+2【解析】选D.因为(m+1)(m-1)+(m-1)=(m-1)(m+1+1)=(m-1)(m+2),所以余下的局部是m+2.3.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-664.将m2(a-2)+m(2-a)因式分解,正确的选项是()A.(a-2)(m2-m)B.m(a-2)(m+1)C.m(a-2)(m-1)D.m(2-a)(m-1)【解析】选2(a-2)+m(2-a)=m2(a-2)-m(a-2)=m(a-2)(m-1).4.将m2(a-2)+m(2-a)因式分解,正确的选项是(675.(2021·鞍山中考)因式分解:m2-10m=.【解析】m2-10m=m(m-10).答案:m(m-10)5.(2021·鞍山中考)因式分解:m2-10m=.686.(2021·无锡中考)因式分解:2x2-4x=.【解析】2x2-4x=2x(x-2).答案:2x(x-2)6.(2021·无锡中考)因式分解:2x2-4x=.697.因式分解:(1-3a)2-3(1-3a).【解析】(1-3a)2-3(1-3a)=(1-3a)(1-3a-3)=(1-3a)(-3a-2)=-(1-3a)(3a+2).7.因式分解:(1-3a)2-3(1-3a).70题组二:利用因式分解简化计算1.计算(-2)2021+(-2)2021的结果是()20212021C.-2 2021【解析】选A.(-2)2021+(-2)2021=(-2)2021+(-2)2021×(-2)=(-2)2021×(1-2)=-22021×(-1)=22021.题组二:利用因式分解简化计算712.a-2b=-2,那么4-2a+4b的值是()A.0B.2C.4【解析】选D.4-2a+4b=4-2(a-2b)=4-2×(-2)=8.2.a-2b=-2,那么4-2a+4b的值是()723.利用因式分解计算:20212-2021×2021=.【解析】原式=2021×(2021-2021)=2021×1=2021.答案:20213.利用因式分解计算:20212-2021×2021=734.a,b互为相反数,那么a(x-2y)-b(2y-x)的值为.【解析】因为a,b互为相反数,所以a+b=0,所以a(x-2y)-b(2y-x)=a(x-2y)+b(x-2y)=(a+b)(x-2y)=0·(x-2y)=0.答案:04.a,b互为相反数,那么a(x-2y)-b(2y-x)的值745.利用因式分解计算32×3.14+5.4×31.4+0.14×314.【解析】32×3.14+5.4×31.4+0.14×314=0.32×314+0.54×314+0.14×314=314×(0.32+0.54+0.14)=314×1=314.5.利用因式分解计算32×3.14+5.4×31.4+0.1756.电学公式U=IR1+IR2+IR3,当R1=12.9,R2=18.5,R3=18.6,时,求电压U.【解析】U=IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)×(12.9+18.5+18.6)=1.5×50=75.6.电学公式U=IR1+IR2+IR3,当R1=12.9,R767.x2+x-1=0,求x3+2x2+3的值.【解析】由题意得:x2+x=1,所以x3+2x2+3=x(x2+x)+x2+3=x+x2+3=4.7.x2+x-1=0,求x3+2x2+3的值.77【想一想错在哪？】因式分解:x(x-y)2-y(y-x).提示:误认为x-y与y-x相等,而出现错误!【想一想错在哪？】因式分解:x(x-y)2-y(y-x).781.2.3绝对值1.2.3绝对值79观察观察8081

上图中，单位长度为1米，那么小黄狗、大白兔、小灰狗分别距离原点多远？赶快思考啊！！！31上图中，单位长度为1米，那么小黄狗、大白兔、小灰狗81-3-2-10123聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。小黄狗距离原点3米大白兔距离原点2米小灰狗距离原点3米-3-2-10123聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。82在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做该数的绝对值〔absolutevalue)。抽象总结你能明白吗？在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做该数的83想一想互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？一对相反数虽然分别在原点两边，但它们到原点的距离是相等的.想一想互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？84一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.

一个数的绝对值就是在这个数的两旁各画一条竖线，如+2的绝对值等于2，记作|+2|＝2。数a的绝对值记作|a|.

如图，在数轴上表示－5的点与原点的距离是5，即－5的绝对值是5，记作|－5|＝5.

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.

85议一议一个数的绝对值与这个数有什么关系？例如：|3|＝3，|＋7|＝7一个正数的绝对值是它本身；例如：|－3|＝3，|－2.3|＝2.3

一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.议一议一个数的绝对值与这个数有什么关系？例如：|3|＝86

因为正数可用a＞0表示，负数可用a＜0表示，所以上述三条可表述成：

(1)如果a＞0，那么|a|＝a

(2)如果a＜0，那么|a|＝－a

(3)如果a＝0，那么|a|＝0

因为正数可用a＞0表示，负数可用a＜0表87－10、－8两数中，哪个数大？它们的绝对值呢？

表示－10的点A比表示－8的点B离开原点比较远.

显然|－10|＞|－8|因为点A在点B的左边，所以－10＜－8.

由此得出结论：两个负数比较大小，绝对值大的反而小.一个数的绝对值大于或等于0.

－10、－8两数中，哪个数大？它们的绝对值呢？表示－10的881．比较以下各组数的大小：

(1)－1和－5

(2)－

和－2．7

1．比较以下各组数的大小：

(1)－1和－5

(289做一做〔1〕在数轴上表示以下各数，并比较它们的大小：-15，-3，-1，-5；〔2〕求出〔1〕中各数的绝对值，并比较它们的大小；〔3〕你发现了什么？做一做〔1〕在数轴上表示以下各数，并比较它们的大小：-15，90判断：(1)假设一个数的绝对值是2

，那么这个数是2；

(2)|5|＝|－5|；(3)|－0.3|＝|0.3|；(4)|3|＞0；

(5)|－1.4|＞0；(6)有理数的绝对值一定是正数；(7)假设a＝b，那么|a|＝|b|；(8)假设|a|＝|b|，那么a＝b；(9)假设|a|＝－a，那么a必为负数；(10)互为相反数的两个数的绝对值相等；判断：(1)假设一个数的绝对值是2

，那么这个数是291(1)绝对值是7的数有几个？各是什么？有没有绝对值是－2的数(2)绝对值是0的数有几个？各是什么

〔3〕绝对值小于3的数是否都小于绝对值小于5的数？〔4〕绝对值小于10的整数一共有多少个？