2017名师一号文科-第6章1节

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式查清·基础知识探究·命题热点最新考纲1.了解现实世界和日常生活中的不等关系。2.了解不等式(组)的实际背景。3.掌握不等式的性质及应用。C查清·基础知识1．比较两个实数大小的法则若a，b∈R，则(1)a＞b⇔_____________；(2)a＝b⇔____________；(3)a＜b⇔____________。a－b＞0a－b＝0a－b＜02．不等式的性质(1)不等式的基本性质①a＞b⇔____________；②a＞b，b＞c⇒____________；③a＞b⇔_______________；④a＞b，c＞0⇒_________；a＞b，c＜0⇒_________；⑤a＞b，c＞d⇒________________；⑥a＞b＞0，c＞d＞0⇒____________；⑦a＞b＞0⇒____________(n∈N，且n≥2)；⑧a＞b＞0⇒____________(n∈N，且n≥2)。b＜aa＞ca＋c＞b＋cac＞bcac＜bca＋c＞b＋dac＞bdan＞bn＜＞＜＞[想一想]判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种。(

)(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变。(

)(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小。(

)(4)同向不等式具有可加和可乘性。(

)(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母。(

)√×××√2．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(

)A．a－b>0 B．a3＋b3>0C．a2－b2<0

D．a＋b<0解析因为a＋|b|<0，所以|b|<－a。所以b<－a。所以a＋b<0。答案D4．下列各组代数式的判断正确的是________。(填序号)①x2＋5x＋6<2x2＋5x＋9； ②(x－3)2<(x－2)(x－4)；③当x>1时，x3>x2－x＋1； ④x2＋y2＋1>2(x＋y－1)。解析①2x2＋5x＋9－x2－5x－6＝x2＋3>0；所以x2＋5x＋6<2x2＋5x＋9，故①正确。②(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1，所以(x－3)2>(x－2)(x－4)，故②错误。③当x>1时，x3－(x2－x＋1)＝(x－1)(x2＋1)>0，所以当x>1时，x3>x2－x＋1；故③正确；④x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0，所以x2＋y2＋1>2(x＋y－1)，故④正确。①③④5．已知－2<a<－1，－3<b<－2，则a－b的取值范围是________，a2＋b2的取值范围是________。解析∵－2<a<－1，－3<b<－2，∴2<－b<3,1<a2<4，4<b2<9。∴0<a－b<2,5<a2＋b2<13。(0,2)(5,13)T探究·命题热点【例1】

某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润。已知这种商品的单价每提高1元，销售量就相应减少10件。若把提价后商品的单价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？考点一不等关系与不等式

【规律·方法】

对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后用不等式表示。而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决。对应训练1

(2015·浙江卷)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同。已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c。在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(

)A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx

D．ay＋bx＋cz解析用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间，且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间，这样所需总费用最低，最低总费用为(az＋by＋cx)元，故选B。答案B考点二比较大小

【规律·方法】

比较两个数大小的常用方法(1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得出结论，用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法。(2)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小。(3)特值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大小。考点三不等式性质的应用

【规律·方法】

不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小。熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件。(2)与充要条件相结合问题。用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用。(3)与命题真假判断相结合问题。解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法。对应训练4

不等式“a－b>a且a＋b<b”成立的充要条件为(

)A．a>0且b>0 B．a<0或b<0C．a<0且b<0

D．a<0或b>0解析由a－b>a知b<0，由a＋b<b知a<0，它们之间的逻辑联结词为“且”，所以原不等式等价于a<0且b<0，即不等式“a－b>a且a＋b<b”成立的充要条件为a<0且b<0。答案C发散3：求代数式的取值范围【例5】

已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是________。(答案用区间表示)(3,8)对应训练5

设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围。【规律·方法】

1.判断不等式命题真假的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明。常用的推理判断需要利用不等式性质。(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假。2．充要条件的判断方法利用两命题间的关系，看p能否推出q，再看q能否推出p，充分利用不等式性质或特值求解。3．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围。解决此类问题一般