基于小波变换的信号降噪处理

本科生毕业论文（设计）题目:基于小波变换的信号降噪处理原创性声名呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。除文中已经明确标明引用或参考的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任.声明人（签名）：日期：年月日基于小波变换的信号降噪处理PAGEPAGE26基于小波变换的信号降噪处理【摘要】目前，噪声污染严重影响着信号检测的工作，本文是基于小波变换进行的信号降噪处理，并使用matlab进行模拟实现。【关键词】小波变换降噪matlab实现目录TOC\o"1-3"\h\u10772引言 56206第一章小波变换的发展及原理 6320451.1小波变换的发展 6166541.2小波变换和傅里叶变换的对比 6231861.3小波变换的原理 7263671.4小波变换的特点 8239301.5小波基函数的选取 829363第二章通过小波变换达到信号降噪的原理 995312.1通过小波变换的降噪的方法 9252072.2通过小波变换降噪的步骤 10271282.3基本的噪声模型 1173662.4信号学角度的小波变换降噪 1121402第三章通过matlab实现基于小波变换的信号降噪 11327273.1默认阈值去噪 1134923.2不同信号源的去噪 12242263.3不同阈值模式对函数信号的降噪处理 1498973.4不同阈值模式对图像信号的降噪效果 15243193.5不同小波种类对信号降噪的影响 181073.6小波变换降噪过程模拟 1925103.7分别采用默认阈值去噪，给定软阈值去噪，以及强制去噪的方法对污染信号进行降噪处理 2032231第四章结论 219540致谢语 2218145参考文献 24引言目前，在电路的设计过程中，原有的信号精度已经很高了，但由于叠加了高频的噪声信号，使信噪比大幅降低，导体内的信号受到噪音信号的干扰，同时也受到各种实验仪器之间产生的信号干扰。因此，我们需要对信号进行降噪处理，早先的降噪处理方案是通过傅里叶变换减少高频的噪声，仅保留低频的信号，最后通过傅里叶逆变换得到初始信号，这种方法将原信号分解成了频率各不相同的正弦信号，并且这些正弦信号是可以线性叠加的，反映了频域的部分信息[1]徐斌.基于小波变换的信号降噪处理.科技创新导报.2012no.15。传统信号降噪中使用的傅里叶分析全部都是基于频域的，没有别的时域的信息，但在信号处理中信号的时域信息又是相对重要的，傅里叶变换中即使是时域的局部变化也会影响频域的全局，频域的局部变化同样也影响着时域的全局变化，之后由傅里叶变换又发展来了短时傅里叶变换(Short-timeFouriertransform)(STFT)和小波变换(wavelettransform)。而这其中，短时傅里叶变换弥补了传统傅里叶变换中没有时域信息的缺点，但其职能基于同一个分辨域，这对于信号的精确性来说是较大的不足[1]徐斌.基于小波变换的信号降噪处理.科技创新导报.2012no.15[2]付明.小波变换在信号降噪中的应用研究.中国自控网然而本文中，将不会采用上述两种方法而是通过小波变换的方式来达到信号的降噪处理。与傅里叶变换相比,小波变换是时间和频率的局部变换,能有效地提取领域信息从信号,通过缩放和平移功能的函数或信号的多尺度细化分析，很好的解决了传统傅里叶变换中存在的局限。传统的傅里叶变换中存在着时域以及频域的矛盾，不但去掉了噪声，还去掉了其中的高频信号。而本文中所采用的小波变换不仅可以去掉噪声，还可以保留高频信号，同时，小波变换也弥补了短时傅里叶变换单一分辨域的缺憾，故，小波变换因为这些优越性，被广泛应用于信号处理方面，成为了新一代的信号降噪处理方式。现下，小波降噪的文章很多，但以实验的形式系统比较小波变换中各种方法的实际降噪效果的文章比较少，而本文将使用matlab软件对小波变换中不同阈值对降噪效果的影响，以及小波变换对不同种类信号，不同噪声信号降噪过程中的差异性做系统的比较总结。小波变换的发展及原理1.1小波变换的发展法国工程石油师J.Morlet于1974年提出了小波变换的概念，他将实际观察的物理现象以及工作中的经验做了总结，并得出了反演公式，可是在那个时期并没有任何数学家对他的研究成果表示认可。20年后法国工程师J.B.J.Fourier在热学研究中，他提出可以将任何函数展开，变为三角函数的无穷级数，和他的前辈一样，他的理论也没有得到认可。1986年数学家Y.Meyer在一个意外的条件下建立了一个再后来看来是一个真正意义上的小波基，之后他与S.Mallat一同研究出了通过多尺度分析来建立小波基，自此小波分析才有此开始了发展。小波变换和傅里叶变换相比，有着更加优秀的局部时域特性，更因为其优秀的局部时域特性帮助它能够更好的进行信号处理，通过伸缩平移等运算以多尺度分析的方式处理了傅里叶变换所无法处理疑难案例，由于小波分析的种种优越性，它更是被冠以“数学显微镜[3]/view/586841.htm”的美称。

[3]/view/586841.htm1.2小波变换和傅里叶变换的对比小波变换是通过傅里叶变换发展而来的，它们彼此之间存在着千丝万缕的联系。但是，它们也有着明显的区别：首先，傅里叶变换是在一个正交基空间（）内通过分解f(t)信号得到的。而小波变换则是分解于另一种空间：由与组成。通常的情况下，我们所说的傅里叶变换指的都是“连续傅里叶变换”即连续函数的傅里叶变换。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。在频域分析中，傅里叶变换有着良好的局部化功能，尤其是相对那些频率成分相对单一的简单的确定性信号。信号很容易被表示为各个频率成分相互叠加的和的形式。但是，在时域里，傅里叶变换没有起在频域里的优越特性无法将f(t)的傅里叶变换F()里得到f(t)在任何的时间点的状态。连续傅里叶变换存在着一种推广叫做分数傅里叶变换（FractionalFourierTransform）。当f（t）为偶函数时，那么它将不存在正弦分量，这种变换就是余弦转换（cosinetransform），对应的当它为奇函数时，那么其将不存在余弦分量，那么这时的变换就是正弦转换（sinetransform）[4][4]维基百科，/wiki/傅里叶变换是比较单一的，函数只有正弦，余弦，以及等。相比之下小波变换则多的多，例如：墨西哥草帽小波、样条小波以及我们通常使用的db10、sym等等。这些小波种类繁多，但也造成了小波变换后实际效果的较大幅度差异。本文将通过对比各种函数间的降噪效果得到最佳的降噪函数。在进行小波变换时，a数值的变化与傅里叶变换的值变化相反。通过对比傅里叶变换和小波变换，我们知道了小波变换的优点，下面来介绍小波变换的原理。如果使用信号滤波器来对比，小波变换和傅里叶变换的区别在于：对短时傅里叶变换来讲，带同滤波器的带宽和中心频率f无关；而在小波变换中，带同滤波器的带宽和中心频率f成正比。1.3小波变换的原理小波变换的原理：小波变换就是小区域，长度有限，均值为零的波形。小波变换是分析其时间频率的局部。信号的多尺度细分可以通过伸缩评议的运算来达到，从而完成低频的地方细分频率，高频的部分细分时间。小波变换的积分变换定义为：小波系数被赋予：被称为二进制扩张或二进位膨胀,然后是二进制或二进位的位置。设Ψ(t)∈L2(R)(L2(R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间)，其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件：（1）时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列：（2）其中a为伸缩因子，b为平移因子。对于任意的函数f(t)∈L2(R)的连续小波变换为：（3）其逆变换为：（4）小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a和平移因子b来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。1.4小波变换的特点小波变换有以下特点：低熵性：零散出现的小波系数，以减少转换后的信号的熵。多分辨率特性：具有良好的非平稳性信号的描述。去相关性：取出的信号的相关性和噪声小波变换的白化趋势，所以可以快捷的时域去噪。基函数的灵活性：根据信号和噪声去除要求合适的小波的特点，灵活地选择小波变换的基础功能[5][5]朱来动，廉小亲，江远志.小波变换在信号降噪中的应用及MATLAB实现.北京工商大学学报.2009.31.5小波基函数的选取现在，对于小波基的选取规则并没有完善的理论体系，在现实操作中，主要是依据所应用的领域的不同而选取不同的小波基函数。这些小波奇函数的选择大部分是通过人们的工作目的、实践经验得到的。例如：使用daubechies小波阈值去噪来处理信号等方面的问题，使用正交基shannon来解决差分方程的相关问题，使用样条小波来进行无损探伤，在BP神经网络算法方面则可以使用墨西哥草帽小波[6]徐斌.基于小波变换的信号降噪处理.科技创新导报.2012no.15。在进行傅里叶变换的过程中，我们单一的基波选择只能是正弦信号。信号往往是通过正弦函数的有次谐波来大概的描述的，那么他的系数大小自然也就表达了谐波分量与原函数的异同成都。在小波变换中，其系数也有上述特性，也能够表达这个小波与原函数是否相似。小波的平滑程度和函数的规则性系数也有着类似正相关的关系，即：规则系数大那么就对应着平滑小波，反之，则对应着非平滑小波[6]徐斌.基于小波变换的信号降噪处理.科技创新导报.2012no.15小波变换，其实就是时域的局部特征在不同尺度信号下的体现，当原始信号在频谱内和噪声信号产生显而易见的相互分离的特性时，我们就可用小波变换的方式达到信号降噪的目的。通过时域局部化，它的窗口也是可以变化的。那么，小波变换在低频部分拥有比较高的频率分辨率以及相对来说比较低的时间分辨率。第二章通过小波变换达到信号降噪的原理2.1通过小波变换的降噪的方法默认阈值去噪处理。此方法使函数ddencmp产生信号的默认阈值，然后使用的函数wdencmp降噪[7][7]朱来东，廉小亲，江远志.小波变换在信号降噪中的应用及MATLAB实现.北京工商给定阈值去噪处理。在实际的噪声降低处理中，通过给定一个固定的阈值进行降噪处理，而这个阈值通常比标准阈值大。强制去噪处理。该方法在小波分解的过程中将高频系数全部设置为零，就是过滤掉所有的高频部分再重新构造小波。去噪后的信号是比较平滑，但是其中的有用信号就可能会被遗失大学学报.2009.3。大学学报.2009.3在这些去噪方法中，小波阈值去噪较容易实现，且实现结果较好的一种方式，被广泛接受。小波阈值降噪处理中将阈值分为：软阈值和硬阈值。硬阈值指的是：[8][8]张德丰等.MATLAB小波分析软阈值指的是：[9][9]张德丰等.MATLAB小波分析在信号降噪时使用半软阈值的方法既可以保留软阈值处理的平滑特性，也可以保留硬阈值处理中外沿清晰的特征，它的表达式为：此公式中，大于大于零。小波变换中，关键在于阈值的选择，阈值的选择和信号降噪的效果密切相关，可以说阈值的是否合适直接影响到降噪结果。1994年，Donoho提出了统一阈值去噪方法。在多维正态变量联合分布，维数趋于无穷时就可以得出这一结论。这个方法可以在极限估计被限制了的情况下得出相对合适的阈值。在实际的小波分析中，我们一般通过待降噪信号的信噪比来得到的。那么我们将通过下列的这些途径决定阈值的大小：通过：选取，当中N表示信号长度，为噪声信号的标准方差。同时，该作者还提出了在这种信号属于Besov集时，可以得到相对完美的去噪风险，当然这是在很多风险函数下得到的结论。这种统一阈值去噪方法在实际的去噪过程中存在着种种缺陷，例如，会产生扼杀现象。2.2通过小波变换降噪的步骤在实现信号降噪的过程中，原始信号一般是低频且稳定的，高频的部分就是需要去除的噪声信号。传统的信号处理方法是通过傅里叶变换后再进行低通滤波，又或对其进行平滑的处理。但是，傅里叶变换没有局域特性，在降噪的时候使信号的突变被处理掉，使信号失真。现在使用小波变换的降噪方法，以下列方式对信号进行处理。首先，将信号做小波分解，利用噪声信号一般在高频的特性，使用阈值处理小波系数，之后再对其信号重新构成即可完成去噪。一般的，把小波信号分解为三层，如图所示，S为参杂噪声的待测信号，其分解之后的信号Ai（i=1,2,3）就含有有用的信号，同时，在对信号进行三层分解之后的信号A3仍可能含有噪声信号，因此可以对其继续进行小波分解，之后可分解为四层，五层以致更多层。通过下图可以知道，除了有用信号Ai之外，每层分解都有一个Di信号，那么大部分的噪声信号就在其中。所以，我们可以通过门限阈值或者其他的方式处理小波系数，最后重构信号，这样就可也完成整个降噪的流程。通过减少信号里的噪声，然后从小波分解后的信号里回复出原始信号，这就是我们进行信号降噪的方法[10][10]冯毅.小波变换降噪处理及其Matlab实现.数据采集与处理。2006.12SSD1A1A2D2D3A3概括的来说我们可以通过以下三步达到信号降噪的目的：首先是将小波信号分解。决定信号的分解层数，再对这个小波信号进行N层的小波分解。对分解后的高频系数进行阈值的定量处理。对每一层的高频系数选一个阈值进行具体量化处理。重新建立一维小波。由分解小波得到的一个N层低频系数以及处理后的量化水平1至N层的高频系数的小波重构。在小波变换时，关键部分就是选择和具量处理阈值。这两者和信号降噪的效果密切相关。在信号降噪的过程中，阈值的选择通常是原信号与其噪声信号的比值来决定的。那么我们可以通过求取每一层小波系数的标准差来得到。2.3基本的噪声模型基本的噪声模型的形式可以表示为：在这个模型中，可以认为e(n)为高斯白噪声N（0,1）,同时等于1。降噪的实质就是降低噪声部分的大小，达到恢复原信号f的目的。在选择阈值的时候，通过thselect能够得到更多的信息，但与此同时需要注意：分解高频系数得到的向量是信号f的系数和噪声e的系数叠加，对噪声e的分解导致高频系数是一个标准的高斯白噪声。当信号f的高频部分在噪声域很小的时候，阈值规则minimaxi和sure更加的易于保留信号中的有用信息，只去除少量的噪声。2.4信号学角度的小波变换降噪我们从信号学的方法上来看,可以通过信号滤波来解决信号的降噪处理。通过小波变换来达到信号降噪虽然很像传统的低通滤波器，但通过小波变换的信号可以尽可能的保留原有信号的基本特征，这点也是传统低通滤波器所无法达到的高度。综上所述,小波降噪可以看成特征提取、低通滤波、以及信号重建的一个过程,用流程图更加可以直观的看到，如下：特征提取特征提取低通滤波特征信号信号重建第三章通过matlab实现基于小波变换的信号降噪3.1默认阈值去噪当使用上文中提到的默认阈值去噪时，使用ddencmp获取默认阈值，继而使用wpdencmp函数进行小波包变换以达到信号降噪。ddencmp函数：此函数可以得到去噪过程中的默认硬阈值或软阈值。它的格式是：[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1,’wp’,X):当IN1=’den’时，回到去噪默认阈值，反之则是回到压缩默认阈值。使用wbmpen函数可以回到二维小波去噪的阈值。THR=wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA):可以返回THR。用小波系数选择的规则可以计算出THR。wpdencmp函数：它的格式为：[XD,TREED,PERF0,PERFL2]=wpdencmp(X,SORH,N,’wname’,CRIT,PAR,KEEPAPP):同上一函数x是输入信号，TREED为小波分解树，PERF0,PERFL2分别为回复和压缩的比率。通过此方法，进行对一个图像信号的默认阈值降噪处理。从图像中可以明显看到，在选用默认阈值进行图像处理的时候会因默认阈值的不合理造成信号降噪后的明显失真。3.2不同信号源的去噪接下来，我们使用wden函数对信号进行自动降噪处理，此函数的格式为：[XD,CXD,LXD]=wden(X,TPTR,SORH,SCAL,N,’wname’):其中N即是采用的分解层数，CXD,LXD为经过阈值处理后的去噪信号与原信号的分解架构。为了对比信号源不同给信号降噪带来的不同影响，我们分别对比正弦信号和矩形信号的降噪效果。首先生成正弦信号：N=1000;t=1:NX=sin(0.03*t)然后加载噪声，显示波形，最后用：xd=wden(ns,’minimaxi’,’s’,’one’,5,’db3’)语句进行降噪处理，5就是把db3信号5层分解，同时阈值模式为mainmaxi采用极大极小值选择阈值，s表示选择的是软阈值，one即为不调整阈值通过此程序可以看出，去噪后的信号大体上回复了原函数的形状，但是明显的，在幅值以及极值处等方面出现了明显的信号失真，因此可以得出：minimaxi阈值选取在噪声信号为高频，原信号在高频部分的信息较少时可以较好的还原信号，但是，通过minimaxi阈值也可能将有用信号中的高频部分也当做噪声信号去除。如果，将上述的正弦信号换成矩形信号那么它的去噪效果是否会有变化呢。首先，先设置信噪比以及随机种子值：snr=4;init2055615866;用sym8小波将信号sref和被噪声污染的信号进行3层分解Xd=wden(s,’heursure’,’s’,’one’,3,’sym8’)使用sure阈值模式和尺度噪声。明显的，在矩形信号的降噪过程中信号的还原度要优于正弦信号的还原度。有此看来，在矩形信号降噪的过程中的阈值选择是相对合适的，对于两例中的信号源进行降噪处理的过程中选用minimaxi和sure阈值模式，两模式虽不相同，但这两种阈值模式都可以在信号高频部分噪声域比较小的时候不容易丢失有用信息。3.3不同阈值模式对函数信号的降噪处理那么，下面来比较不同阈值方式下的噪声处理：首先，产生输入信号x，以及高斯白噪声信号，然后将信号以sym8小波分解至第五层，且选用heursure软阈值，把分解系数做阈值处理达到降低噪声，再分别以rigrsure阈值方式、sqtwolog阈值方式，minimaxi阈值方式对噪声的标准偏差进行多层估计，且进行信号去噪。根据实验结果可以分析出：在参杂信噪比为3的噪声信号的原信号进行降噪处理的过程中，heursure阈值以及sqtwolog阈值去噪后的信号效果比较好，选用rigrsure阈值方式去噪后的图像出现了较多的失真，而minimaxi阈值方式去噪后的图像受到噪声的干扰较为明显。在本例中，使用wden函数进行阈值去噪，其中rigrsure阈值规则采用Stein无偏似然估计。Heursure阈值规则采用启发式阈值选择。Sqtwolog阈值模式采用阈值。Minimaxi阈值规则采用极大极小值进行阈值选择。3.4不同阈值模式对图像信号的降噪效果接下来，我们分别使用全局阈值以及独立阈值来对图像信号进行信号降噪处理。首先载入夹杂噪声的信号：subplot(2,2,1);image(X);colormap(map)使用sym2小波来对图像信号进行降噪：[c,l]-wavedec2(x,n,w)先进行全局阈值的图像降噪，通过下列代码来实现：[c,l]=wavedec2(x,n,w)thr1=20[xd,cxd1,lxd1,perf01,perfl21]=wdencmp('gbl',c,l,w,n,thr1,'h',1)lxd1,perf01,perfl21subplot(2,2,2);image(xd);colormap(map)接着进行独立阈值的图像降噪，可以通过下列代码来实现：thr_h=[1718]thr_d=[1920]thr_v=[2122]thr2=[thr_h;thr_d;thr_v][xd,cxd2,lxd2,perf02,perfl22]=wdencmp('lvd',x,'sym8',2,thr2,'h')lxd2,perf02,perfl22subplot(2,2,3);image(xd);colormap(map)运行程序可以得到下图以及以下数据：通过比较降噪后的图像和数据可以看到，全局阈值和独立阈值都起到了较好降噪效果，而其中，独立阈值的降噪效果要比全局阈值的降噪效果略好。本例中使用的wdencmp函数进行降噪,其调用格式为：[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp(‘gbl’,X,’wname’,N,THR,SORH,KEEPAPP):表示将输入信号降噪后返回XC里，wname是指定的小波函数。’gbl’即global代表对每一层分解都使用这个阈值。输出参数是xc的小波分解。PERF0以及PERFL2是压缩恢复的百分比。当X为一维的信号源时，wname就是一个正交的小波。N为分解层数，wname是一个包含小波名的字符串。当keepapp=1时，将不会阈值量化它的低频系数，那么他的系数就不会被更改。相反的情况下，就会阈值量化它的低频系数，那么它的系数自然也就会更改。3.5不同小波种类对信号降噪的影响下面，采用Mtalab自带的noissin信号函数和初设原始信号f（x）为例进行Matlab分析其中：e=noissin+0.5*randn(size(e1));首先对noissin函数上叠加上随机噪声信号得到e，下面将对比两种小波db10以及sym8小波对信号降噪的影响：Figure1图中，第一幅图为原始输入信号，第二幅图为叠加噪声后的信号，第三幅图为经过db10小波降噪后的信号图形，第四幅图为经过sym小波降噪后的信号图形。同时，这两个小波都是通过默认阈值降噪的。通过对比后两张图与原图的异同，可以发现者两种小波都达到了一定的去噪效果，但是他们也和原图有着一定的差异，这是被降噪后的信号特征值比较少，不能准确的还原原有的信号模型。我们可以对比图3和图4可以发现，通过sym小波降噪的效果要明显优于采用db10小波降噪的效果，因此，可以看出采用不同种类的分析小波对实验的结果会产生较大的影响，选择合适的小波种类对可以更好的还原信号，达到降噪的目的。3.6小波变换降噪过程模拟同样使用上述的原函数及噪声函数，对信号进行5层分解，选用minimaxi的