求数列通项的十种方法（讲义） 【知识精讲+备课精研+高效课堂】 高二数学课件 沪教版2020

②已知数列满足，求数列的通项公式。（5）对数变换法例5已知数列满足，，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩设 eq\o\ac(○,11)将⑩式代入eq\o\ac(○,11)式，得，两边消去并整理，得，则，故代入eq\o\ac(○,11)式，得eq\o\ac(○,12)由及eq\o\ac(○,12)式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。（6）数学归纳法例6已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。（7）换元法例7已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。（8）不动点法例8已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例9已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的不动点。因为，所以。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。课后习题：1．数列的一个通项公式是（）A、B、C、D、2．已知等差数列的通项公式为,则它的公差为（）A、2B、3C、D、3．在等比数列中,则（）A、B、C、D、4．若等比数列的前项和为，且，，则5．已知数列通项公式，则该数列的最小的一个数是6．在数列{an}中，且，则数列的前99项和等于．7．已知是等差数列，其中，公差。（1）求数列的通项公式；（2）数列从哪一项开始小于0？（3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．8．已知数列的前项和为，（1）求、、的值；（2）求通项公式。9．等差数列中，前三项分别为，前项和为，且。（1）、求和的值；（2）、求=;求数列{an}通项公式的方法1．=+型累加法：=（－）+（－）+…+（－）+=++…++例1.已知数列{}满足=1，=+（n∈N+），求.[解]=－+－+…+－+=++…++1==－1∴=－1（n∈N+）2．=p+q型（p、q为常数）方法：（1）+=，再根据等比数列的相关知识求.（2）－=再用累加法求.（3）=+，先用累加法求再求.例3.已知{}的首项=a（a为常数），=2+1（n∈N+，n≥2），求.[解]设－λ=2（－λ），则λ=－1∴+1=2（+1）∴{}为公比为2的等比数列.∴+1=（a+1）·∴=（a+1）·－13．型累乘法：=·…·例2.已知数列{}满足（n∈N+），=1，求.[解]=·…·=（n－1）·（n－2）…1·1=（n－1）！∴=（n－1）！（n∈N+）4．=p+型（p为常数）方法：变形得=+，则{}可用累加法求出，由此求.例4.已知{}满足=2，=2+.求.[解]=+1∴{}为等差数列.=∴=n·5．=p＋q型（p、q为常数）特征根法：（1）时，=·+·（2）时，=（+·n）·例5.数列{}中，=2，=3，且2=+（n∈N+，n≥2），求.[解]=2－∴∴∴=（+·n）·=+·n∴∴∴6．“已知，求”型方法：=－