带有等式约束的最优化问题及其经济学应用课件

第

4章

带有等式约束的最优化问题及其经济学应用第4章

带有等式约束的最优化问题及其经济学应用§4.1

带有等式约束的函数求

极值的必要和充分条件一、二元函数带等数约束的极值问题二、多元函数带多个等数约束的极值问题§4.1带有等式约束的函数求

极值的必要和充§4.2

拟凹函数与拟凸函数一、拟凹函数与拟凸函数的定义MNMNyyxxOOvuvu§4.2拟凹函数与拟凸函数一、拟凹函数与拟凸函数的定义M§4.2

拟凹函数与拟凸函数1.一元拟凹函数和拟凸函数的定义对于一元函数y=f(x)的定义域（凸集）中的任意点u

和v

，假设f(v)≥

f(u)。如果对于任意的t

∈[0,1]，有：

f[(1–t)u+tv]≥

f(u)，则称f

为拟凹的f[(1–t)u+tv]≤

f(v)，则称f

为拟凸的在u

≠

v

且t

∈(0,1)的情况下，如果上两式是严格>或<，则称f

为严格拟凹的或严格拟凸的。§4.2拟凹函数与拟凸函数1.一元拟凹函数和§4.2

拟凹函数与拟凸函数2.多元拟凹函数和拟凸函数的定义设F

是定义在凸集U

Rn

上的n

元函数，如果对于任意的x,y

∈U

和任意的t

∈[0,1]，有：

F[(1–t)x

+ty]≥min{F(x),F(y)}，F拟凹F[(1–t)x

+ty]≤max{F(x),F(y)}，F拟凸在x

≠

y

且t

∈(0,1)的情况下，如果上两式是严格>或<，则称F

为严格拟凹的或严格拟凸的。§4.2拟凹函数与拟凸函数2.多元拟凹函数和§4.2

拟凹函数与拟凸函数二、可微函数拟凹和拟凸性判断1.一阶微分判别准则对于一元可微函数f(x)，任取其定义域内两个不同的点u

和v

，假设f(v)≥

f(u)，则：f(x)拟凹的充要条件为f'(u)(v–u)≥0f(x)拟凸的充要条件为f'(v)(v–u)≥0当≥

变为>时，即严格拟凹或拟凸。§4.2拟凹函数与拟凸函数二、可微函数拟凹和拟凸性判断§4.2

拟凹函数与拟凸函数对于多元可微函数F(x)，其中x=(x1,x2,…,xn)，任取函数F(x)定义域内两个不同的点u=(u1,u2,…,un)和v=(v1,v2,…,vn)，假设F(v)≥

F(u)。F(x)拟凹的充要条件为uF(x)拟凸的充要条件为v

其中：，。uxx=uvxx=v§4.2拟凹函数与拟凸函数对于多§4.2

拟凹函数与拟凸函数2.二阶微分判别准则设F

是定义在开凸集U

Rn

上的二阶可微函数，令：§4.2拟凹函数与拟凸函数2.二阶微分判别准§4.2

拟凹函数与拟凸函数

F

是拟凹的必要条件为(-1)k∣Ck(x)∣≥

0

拟凹的充分条件为(-1)k∣Ck(x)∣>

0

F

是拟凸的必要条件为∣Ck(x)∣≤

0拟凸的充分条件为∣Ck(x)∣<

0若U

Rn+

，对于严格拟凹和严格拟凸成立。§4.2拟凹函数与拟凸函数§4.2

拟凹函数与拟凸函数三、拟凹函数和拟凸函数的性质1.若f(x)为拟凹函数，则–f(x)为拟凸函数；若f(x)为拟凸函数，则–f(x)为拟凹函数。2.任意的凹（凸）函数均为拟凹（拟凸）函数，但反之不一定成立。3.若f(x)为线性函数，则它既是拟凹又是拟凸的。§4.2拟凹函数与拟凸函数三、拟凹函数和拟凸函数的性质§4.2

拟凹函数与拟凸函数4.对于任意常数k

，如果集合S={x∣f(x)≥

k}为凸集，则f(x)是拟凹函数；若S={x∣f(x)≤

k}为凸集，则f(x)是拟凸函数。证明：f(x,y)=xy（x>0,y>0）为拟凹函数。§4.2拟凹函数与拟凸函数§4.2

拟凹函数与拟凸函数四、拟凹函数和拟凸函数的最优化maxz=f(x1,x2,…,xn)

s.t.gi(x1,x2,…,xn)=ci，i=1,2,…,m假设(x1*,x2*,…,xn*)满足等式约束极值的一阶充分条件，若z

是严格拟凹函数且约束集为凸集，则z*=f(x1*,x2*,…,xn*)是目标函数的整体最大值；若z

是严格拟凸函数且约束集为凸集，则z*=f(x1*,x2*,…,xn*)是目标函数的整体最小值。§4.2拟凹函数与拟凸函数四、拟凹函数和拟凸函数的最优化§4.3

极值问题的比较静态分析一、均衡解的比较静态分析maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=0其中：x=(x1,x2,…,xn)——内生变量

a=(a1,a2,…,am)——外生变量等式约束最优化问题的比较静态分析就是分析均衡解x*的各个分量x1*,x2*,…,xn*关于ai

的偏导数。考虑等式约束的最优化问题：§4.3极值问题的比较静态分析一、均衡解的比较静态分析考§4.3

极值问题的比较静态分析

如何分析呢？

——假设二阶充分条件得到满足首先，建立Lagrange

函数：L=f(x,a)+λg(x,a)然后，求其一阶必要条件：……§4.3极值问题的比较静态分析如何分析呢？—§4.3

极值问题的比较静态分析假定隐函数定理成立，求解上述方程组可得均衡解：x1*=x1*(a)，……，xn*=xn*(a)，λ*=λ*(a)将这些均衡解代回上述一阶必要条件方程组，有：……§4.3极值问题的比较静态分析假定隐函数定理成立§4.3

极值问题的比较静态分析对上面这个方程组中的每一个式子对ai

求偏导数。我们以第一个式子为例，利用链式求导法则有：§4.3极值问题的比较静态分析对§4.3

极值问题的比较静态分析上式可整理为：简写为：§4.3极值问题的比较静态分析上式可整理为：§4.3

极值问题的比较静态分析同样道理，方程组中其他式子对ai

求偏导数，有：……§4.3极值问题的比较静态分析同样道理，方程组中§4.3

极值问题的比较静态分析写成矩阵的形式，有：§4.3极值问题的比较静态分析写成矩阵的形式，有§4.3

极值问题的比较静态分析假定二阶充分条件得到满足，那么，系数矩阵的行列式不等于0

（记为或）。于是，根据克莱姆法则，可解得：§4.3极值问题的比较静态分析假§4.3

极值问题的比较静态分析二、最优值函数的比较静态分析考虑等式约束的最优化问题maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=0其中：x=(x1,x2,…,xn)——内生变量

a=(a1,a2,…,am)——外生变量§4.3极值问题的比较静态分析二、最优值函数的比较静态分§4.3

极值问题的比较静态分析→关于最优值函数的比较静态分析问题，可以采用传统的方法来解决，即：

首先，构造Lagrange

函数，利用一阶必要条件和二阶充分条件，求解出均衡解x*然后，将x*代入目标函数，得最优值函数f[x*(a);a)]最后，计算∂f[x*(a);a)]/∂ai

。→也可以用包络定理。§4.3极值问题的比较静态分析→§4.3

极值问题的比较静态分析

前述带有等式约束的最优化问题的包络定理：最优化问题的Lagrange

函数为L=f(x,a)+λg(x,a)

则有：——包络定理。x*,λ*axa§4.3极值问题的比较静态分析x*,λ*axa§4.3

极值问题的比较静态分析

包络定理的证明：最优化问题的一阶必要条件为：可求解出：xi*=xi*(a)，λ*=λ*(a)。将xi*和λ*代入到目标函数，可得最优值函数：V(a)=f[x*(a);a)]§4.3极值问题的比较静态分析包络定理的证明：§4.3

极值问题的比较静态分析对上述最优值函数两端对ai

求偏导，有：a又由于（前证），两边乘以λ§4.3极值问题的比较静态分析对§4.3

极值问题的比较静态分析两式相加，可得：a由前面一阶必要条件可知：0，所以：axa得证。§4.3极值问题的比较静态分析两举两个例子：包络定理1.效用函数maxU=x10.25x20.25s.t.

P1x1+P2x2=10试分析两商品价格P1和P2变化对总效用的影响。2.记w1*=[x1*(a),y1*(a),z1*(a)]和w2*=[x2*(a),y2*(a),z2*(a)]为极大值（或极小值）问题：max(ormin)f(x,y,z)=x+y+a3zs.t.

x2+a2y2+z2=a1举两个例子：包络定理1.效用函数举两个例子（续）：包络定理（接第2题）的均衡解。对应的Lagrange

乘子分别为λ1*(a)和λ2*(a)，对应的最优值分别为f1*(a)和f2*(a)。⑴求f1*(a)和f2*(a)在a=(3,1,1)处关于a1、a2、a3

的偏导数；⑵当目标函数变为f(x,y,z)=x+y+1.03z、等式约束变为x2+1.02y2+z2=3.01时，极大化和极小化问题目标函数的最优值的改变量分别为多少？新的极大化和极小化问题目标函数的最优值分别为？举两个例子（续）：包络定理（接第2题）的均衡§4.3

极值问题的比较静态分析三、Lagrange

乘子的经济学意义在等式约束的最优化问题中：maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=b其中：x=(x1,x2,…,xn)，a=(a1,a2,…,am)和b外生。

Lagrange

函数为：L=f(x,a)+λ[b–g(x,a)]。根据包络定理，有：axax*,λ*§4.3极值问题的比较静态分析三、Lagrange乘子§4.3

极值问题的比较静态分析即：λ*——表示约束条件右端变动引起目标函数最优值的变化情况。假设b增加一个单位，约束变松，从而目标函数的最优值会增加，增加的部分（λ*）就是单位b

的价值——在经济学上，称为资源的边际价值；或称为资源的影子价格。它反映了系统内部资源的紧缺程度（与外部市场因素无关），λ*

越大，说明这种资源越是相对紧缺，反之则说明这种资源相对不紧缺。（特例说明）§4.3极值问题的比较静态分析即§4.4

效用极大化问题一、效用极大化问题的静态分析令消费者对两种商品x

和y

的消费量均大于0，且是在竞争市场上以Px

和Py

的恒定价格购得，消费者货币收入为M。在消费者偏好具有非饱和性的假设下，消费者会将所有的收入用来购买x

和y。在既定收入水平下的效用极大化模型为：maxU=U(x,y)s.t.

Px·

x+Py·

y=M§4.4效用极大化问题一、效用极大化问题的静态分析§4.4

效用极大化问题构建上述效用极大化问题的Lagrange

函数为：

L(x,y,λ)=U(x,y)+λ(M–Px·

x–Py·

y)一阶必要条件为：

Lx=U’x–λPx=0Ly=U’y–λPy=0Lλ=M–Px·

x–Py·

y=0§4.4效用极大化问题§4.4

效用极大化问题由前两个方程可推出：所以，一阶必要条件实际上是要求在预算约束下满足上式。为使效用最大化，消费者必须分配其预算，以使每一物品的边际效用与价格之比相等。按照无差异曲线的概念，可对这一阶必要条件进行几何解释。在一条无差异曲线上必然有：

dU=U’x

dx+U’y

dy=0§4.4效用极大化问题§4.4

效用极大化问题整理可得，这是无差异曲线切线的斜率；另外，预算线是一条直线，其斜率为；由于，因此，若使效用最大化，消费者必须对其预算进行分配，使预算线的斜率等于无差异曲线切线的斜率，即预算线与无差异曲线相切，满足一阶必要条件。§4.4效用极大化问题§4.4

效用极大化问题xyOE斜率=斜率=§4.4效用极大化问题xyOE斜率=斜率=§4.4

效用极大化问题对效用极大化问题的充分条件的几何解释：由一阶必要条件，可求得均衡解(x*,y*)

[驻点]；进一步，二阶充分条件判断的海赛加边行列式为：若>0，则驻点(x*,y*)

必然是极大值点。§4.4效用极大化问题对效用极大化问题的充分条件§4.4

效用极大化问题对于无差异曲线来讲，在满足一阶必要条件的基础上，若使其达到极大值，必须满足二阶充分条件大于0，即：d2y/dx2>0。由前面的分析可知，，所以：§4.4效用极大化问题§4.4

效用极大化问题由于无差异曲线本身就是y

关于x

的函数，因此：，其中，dy/dx

是无差异曲线切线的斜率。根据前面的分析可知，若使效用极大化，无差异曲线切线的斜率等于预算线斜率，即：dy/dx=–Px/Py

。于是：，§4.4效用极大化问题由于无差异曲线本身就是y§4.4

效用极大化问题将其代入到前述二阶导数式，有：又由于，所以，于是：§4.4效用极大化问题将其代入到前述二阶导数式，§4.4

效用极大化问题显然，当>0时，d2y/dx2>0，可知，无差异曲线在切点处严格凸。值得注意的是，无差异曲线严格凸性的实质并非效用极大化的必要条件。具体而言，即使无差异曲线为非严格凸的（右图），在最大值处尽管有d2y/dx2=0，但效用仍可能最大化。E1E2E3§4.4效用极大化问题显然，当§4.4

效用极大化问题在效用函数一阶必要条件和二阶充分条件的基础上，我们就可推导得到两种商品的需求函数。由前面的分析可知，效用最大化的一阶条件：

Lx=U’x–λPx=0Ly=U’y–λPy=0Lλ=M–Px·

x–Py·

y=0事实上，一阶必要条件方程组的一阶偏导数所构成的雅可比行列式即为二阶充分条件的海赛加边行列式。§4.4效用极大化问题在效用函数§4.4

效用极大化问题根据隐函数定理，如果雅可比行列式≠0，则方程组可求解。由前面的分析可知，二阶充分条件确保了海赛加边行列式≠0，因此，可利用克莱姆法则求解一阶必要条件的方程组，其解为：

x*=x*(Px,Py,M)y*=y*(Px,Py,M)

λ*=λ*(Px,Py,M)所求的均衡解是关于商品价格和货币收入的函数。§4.4效用极大化问题根据隐函数§4.4

效用极大化问题称x*和y*为马歇尔需求函数，记为：xM=xM(Px,Py,M)yM=yM(Px,Py,M)这两个式子表明了，消费者对于任一给定的商品价格和货币收入所作出的消费决策。§4.4效用极大化问题§4.4

效用极大化问题如果把马歇尔需求函数代入到效用函数U(x,y)或相应的Lagrange

函数，则可得到效用最大值：U*(Px,Py,M)=U*[xM(Px,Py,M),yM(Px,Py,M)]由于效用最大值是商品价格和收入的函数，所以也将效用最大值称为效用最大值函数或间接效用函数，记为：V(Px,Py,M)=U*(Px,Py,M)§4.4效用极大化问题§4.4

效用极大化问题二、效用极大化问题的比较静态分析由前面的效用最大化问题的模型可知，内生变量为x

和y

，外生变量为Px、Py和M

。引入马歇尔需求函数，则效用最大化一阶条件：

U’x(xM,yM)–λMPx=0U’y(xM,yM)–λMPy=0M–Px·

xM–Py·

yM=0一般的传统方法如何进行比较静态分析？§4.4效用极大化问题二、效用极大化问题的比较静态分析一§4.4

效用极大化问题

1.商品价格Px和Py

不变，货币收入M

变化对一阶必要条件中的等式两边对M

求偏导：§4.4效用极大化问题1.商品价格Px和§4.4

效用极大化问题写成矩阵形式为：根据克莱姆法则，可解得：§4.4效用极大化问题写成矩阵形式为：§4.4

效用极大化问题尽管根据二阶充分条件可知，海赛加边行列式大于0，但分子的符号仍无法判定。然而，根据经济学理论可以推断，完全可能出现∂xM/∂M<0或∂yM/∂M<0的情况，即这时的商品为劣等品（或低档品）。（何为劣等品？）不过，一般来讲，∂xM/∂M<0和∂yM/∂M<0同时出现的情况不会存在，因为这意味着随着消费者收入的增加反而同时减少两种商品的购买，这与经济学中“多总比少好”的假设矛盾。§4.4效用极大化问题尽管根据二§4.4

效用极大化问题

2.商品价格Py

和M

不变，商品价格Px变化对一阶必要条件中的等式两边对Px

求偏导：§4.4效用极大化问题2.商品价格Py和§4.4

效用极大化问题写成矩阵形式为：根据克莱姆法则，可解得：§4.4效用极大化问题§4.4

效用极大化问题三、间接目标函数比较静态分析与罗伊恒等式将均衡解

xM

、yM

和λM

代入

Lagrange

函数，可得到间接目标函数：V(Px,Py,M)=U(xM,yM)+λM(M–xMPx–yMPy)上式两端分别对

Px

求偏导，有：§4.4效用极大化问题三、间接目标函数比较静态分析与罗伊§4.4

效用极大化问题由一阶必要条件可知偏导系数为零，故：

同样道理，间接目标函数对M

求偏导，有：同样，由一阶必要条件有：§4.4效用极大化问题§4.4

效用极大化问题将两偏导数相除有：

罗伊恒等式罗伊恒等式说明：商品x

的马歇尔需求函数等于间接目标函数分别对Px和M

偏导数比率相反数。当然，同样道理，也可得到：罗伊恒等式提供了一个求马歇尔需求函数的有效途径，如果知道间接效用函数，通过求关于商品价格和收入的偏导数就可以求得马歇尔需求函数。§4.4效用极大化问题§4.4

效用极大化问题

举个例子：利用效用极大化模型maxU=xys.t.

Px·

x+Py·

y=M检验罗伊恒等式的有效性。§4.4效用极大化问题罗伊恒等式的有效性检验首先，构造Lagrange

函数：L(x,y,λ)=xy+λ(M–Px·

x–Py·

y)然后，计算一阶必要条件：罗伊恒等式的有效性检验首先，构造Lagrange罗伊恒等式的有效性检验然后，检验二阶充分条件：罗伊恒等式的有效性检验然后，检验二阶充分条件：罗伊恒等式的有效性检验将xM

和yM

代回目标函数：分别对Px、Py和M

求偏导，有：于是，有：罗伊恒等式的有效性检验§4.5

支出极小化问题一、支出极小化问题的静态分析令U=U(x,y)，假设消费者对两种商品x

和y

的消费量均大于0，且是在竞争市场上以Px

和Py

的恒定价格购得，那么，在既定效用水平U0条件下，消费者如何进行商品选择使其支出最小化呢？既定效用水平下的支出极小化模型为：minE=xPx+yPys.t.

U(x,y)=U0§4.5支出极小化问题一、支出极小化问题的静态分析§4.5

支出极小化问题构造Lagrange

函数：L=xPx+yPy

+μ[U0–U(x,y)]

一阶必要条件为：二阶充分条件为：Lx=Px–μU

’x=0Ly=Py–μU

’y=0Lμ=U0–U(x,y)=0§4.5支出极小化问题§4.5

支出极小化问题在支出极小化的一阶必要条件和二阶充分条件成立的基础上，可求得均衡解：x=xH(Px,Py,U0)y=yH(Px,Py,U0)

μ=μH(Px,Py,U0)其中：x=xH(Px,Py,U0)和y=yH(Px,Py,U0)称为希克斯需求函数，表示了消费者对于任一给定的商品价格和效用水平下所作出的消费决策。§4.5支出极小化问题在支出极小§4.5

支出极小化问题二、支出极小化问题的比较静态分析由支出极小化问题的模型可知，内生变量为x

和y

，外生变量为Px、Py和U0

。引入希克斯需求函数，则支出极小化一阶条件：

Px–μHU

’x(xH,yH)=0Py–μHU

’y(xH,yH)=0U0–U(xH,yH)=0一般的传统方法如何进行比较静态分析？§4.5支出极小化问题二、支出极小化问题的比较静态分析一§4.5

支出极小化问题

1.商品价格Px和Py

不变，效用水平

U0

变化对一阶必要条件中的等式两边对U0

求偏导：§4.5支出极小化问题1.商品价格Px和§4.5

支出极小化问题写成矩阵形式为：根据克莱姆法则，可解得：分子符号无法判定§4.5支出极小化问题写成矩阵形式为：分子符号无§4.5

支出极小化问题

2.商品价格Py

和U0

不变，商品价格Px变化对一阶必要条件中的等式两边对Px

求偏导：§4.5支出极小化问题2.商品价格Py和§4.5

支出极小化问题写成矩阵形式：根据克莱姆法则，可解得：§4.5支出极小化问题§4.5

支出极小化问题三、间接目标函数比较静态分析与谢泼德引理将均衡解

xH

、yH

和μH

代入

Lagrange

函数，可得到间接目标函数（或支出函数）：E(Px,Py,U0)=xHPx+yHPy

+μH[U0–U(xH,yH)]上式两端分别对

Px

求偏导，有：§4.5支出极小化问题三、间接目标函数比较静态分析与谢泼§4.5

支出极小化问题由一阶必要条件可知偏导系数为零，故：

同样道理，间接目标函数对Px

和U0

求偏导，有：由此可知，和在均衡处的值是消费者的希克斯需求。，，谢泼德引理§4.5支出极小化问题§4.5

支出极小化问题

谢泼德引理用于在给定支出函数（或间接目标函数）的情况下，求希克斯需求函数的方法。举个例子：利用支出极小化模型minE=xPx+yPys.t.

xy=U0检验谢泼德引理的有效性。§4.5支出极小化问题谢泼德引理的有效性检验首先，构造Lagrange

函数：L(x,y,μ)=Px·

x+Py·

y+μ(U0–xy)然后，计算一阶必要条件：谢泼德引理的有效性检验首先，构造Lagrange谢泼德引理的有效性检验然后，检验二阶充分条件：谢泼德引理的有效性检验然后，检验二阶充分条件：谢泼德引理的有效性检验将xH

和yH

代回目标函数：分别对Px、Py

和U0

求偏导，有：谢泼德引理的有效性检验将xH和yH代回目标函§4.6

斯勒茨基等式的传统推导在效用极大化问题中，由一阶必要条件可知：且二阶充分条件为：§4.6斯勒茨基等式的传统推导在效用极大化问题中§4.6

斯勒茨基等式的传统推导而在支出极小化问题中，由一阶必要条件可知：且二阶充分条件为：§4.6斯勒茨基等式的传统推导而在支出极小化问题§4.6

斯勒茨基等式的传统推导由两个问题的二阶充分条件和一阶必要条件可知：且在效用极大化问题中，我们得到了如下四个等式：($)(*)§4.6斯勒茨基等式的传统推导由两个问题的二阶充§4.6

斯勒茨基等式的传统推导在支出极小化问题中，我们得到了如下等式：将($)和(#)代入(*)，可得：(#)§4.6斯勒茨基等式的传统推导在支出极小化问题中§4.6

斯勒茨基等式的传统推导以上两个等式即为马歇尔需求函数和希克斯需求函数之间的关系，亦即斯勒茨基等式，表示在货币收入固定不变的条件下，需求曲线对于价格变化作出的反应。如果Py

发生变化，也可得到：§4.6斯勒茨基等式的传统推导§4.6

斯勒茨基等式的传统推导更一般地，n

种商品的情况下，可得一般性结论：斯勒茨基等式表明，一个追求效用极大化的消费者对于价格变化作出的反应，在理论上可以分为两部分：一部分是纯替代效应，即消费者在保持原有的效用水平下，对于相对价格变化作出的反应；另一部分是纯收入效应，即在相对价格保持不变的前提下，消费者通过变化收入使得预算线在新的效用曲线上达到切点，即相对于购买力变化作出的反应。§4.6斯勒茨基等式的传统推导更一般地，n种商斯勒茨基等式检验

举个例子：利用效用函数U=xy检验斯勒茨基等式的有效性。

效用极大化模型可写为：支出极小化模型可写为：maxU=xyminE=Px·

x+Py·

ys.t.

Px·

x+Py·

y=M

s.t.

xy=U0由§4.4的例子可知：斯勒茨基等式检验举个例子：利用效用函数U=斯勒茨基等式检验由§4.5的例子可知：所以：，，又由，代入Px·

x+Py·

y=M

，有：斯勒茨基等式检验由§4.5的例子可知：斯勒茨基等式检验所以：即：，得证。

试利用柯布—道格拉斯效用函数U=xay1-a

检验斯勒茨基等式的有效性。斯勒茨基等式检验§4.7

企业利润极大化问题一、企业利润极大化利润最大化等价于收益最大或成本最小，但是这种最优化是以一定生产成本或资源约束为条件的。考虑一个厂商，其生产函数为y=f(x1,x2)。如果厂商以价格p

销售产品；以价格w1使用生产要素x1；企业家投入生产要素x2固定在x20水平上。

maxπ=p

f(x1,x2)–w1x1

s.t.

x2=x20于是企业利润最大化模型可写为：§4.7企业利润极大化问题一、企业利润极大化§4.7

企业利润极大化问题构造Lagrange

函数：

L(x1,λ)=p

f(x1,x2)–w1x1+λ(x20–x2)

一阶必要条件为：二阶充分条件为：解释§4.7企业利润极大化问题解释§4.7

企业利润极大化问题将二阶充分条件的海赛加边行列式展开，有：由此可知，。这一结果说明，实际上只有x1

是变量，厂商唯一可控制的就是x1的使用量，存在极大值的唯一要求就是x1的边际产值递减。通过对以上条件求解，可得到利润极大化水平下的两种要素投入量和企业家投入的边际产值：§4.7企业利润极大化问题将二阶充分条件的海赛加§4.7

企业利润极大化问题将上述均衡解代入目标函数，可得最大利润：

π*(w1,p,x20)=p

f(x1*,x2*)–w1x1*式中，π*(w1,p,x20)被称为利润函数，它是该模型的间接目标函数。将一阶必要条件的前两个等式分别乘以x1*和x2*，然后两式相加，得：§4.7企业利润极大化问题将上述均衡解代入目标函§4.7

企业利润极大化问题若生产函数是一次齐次的（规模收益不变），那么，根据欧拉定理，有：于是，这个式子表明，“总收入=总成本”，其中x2的总要素成本是它的机会成本λ*x2*。因此，由于规模收益不变，产品被耗尽，即厂商收入刚好等于总要素成本。（注意：这种关系成立的前提是一、二阶条件均满足）§4.7企业利润极大化问题若生产§4.7

企业利润极大化问题二、比较静态分析由前面的分析可知，企业利润极大化问题的内生变量为x1

、x2

和λ，外生变量为w1

、p

和x20。首先，分析w1

变化对均衡解的影响。对一阶必要条件的各等式两边对

w1求偏导，可得：§4.7企业利润极大化问题二、比较静态分析§4.7

企业利润极大化问题根据克莱姆法则，解得：这三个结果表明了要素x1价格w1的变化对两种要素最佳投入量x1*和x2*以及企业家投入的边际产值λ*的影响。§4.7企业利润极大化问题§4.7

企业利润极大化问题下面，分析x20

变化对均衡解的影响。对一阶必要条件的各等式两边对

x20求偏导，可得：根据克莱姆法则，解得：§4.7企业利润极大化问题§4.7

企业利润极大化问题同理，我们还可以分析p

变化对均衡解的影响。已知该利润极大化问题的均衡解存在，就可以利用包络定理来分析外生变量变化对目标函数最优值的影响。由前面的分析可知，Lagrange

函数为：L=p

f(x1,x2)–w1x1+λ(x20–x2)那么，根据包络定理有：x*,λ*§4.7企业利润极大化问题同理，我们还可以分析§4.7

企业利润极大化问题

举个例子：设某垄断厂商生产两种商品x

和y

，并在有关市场上销售。这两种商品的反需求函数分别为Px=100–4x–y

和Py=50–x–y

，该厂商的总成本为C(x,y)=10x+5y

，成本不超过100。试求利润极大化时的产出水平和利润。厂商的利润函数为：π=xPx+yPy–(10x+5y)=90x+45y–4x2–2xy–y2故利润极大化模型：maxπ=90x+45y–4x2–2xy–y2

s.t.

10x+5y=100§4.7企业利润极大化问题举个例§4.8

生产成本极小化问题一、（总）成本函数给定生产函数f(x)，产出为y，要素价格为w

时的最小成本记为

c(w,y)=min{w

·x|f(x)≥

y,x

≥0}根据成本函数的定义，成本函数有如下性质：⑴在y

不变的条件下，①

c(w,y)关于w是一次齐次的；②c(w,y)关于w是凹的；③c(w,y)关于w是递增的。⑵在w>0且不变的条件下，c(w,y)关于y是递增的。§4.8生产成本极小化问题一、（总）成本函数§4.8

生产成本极小化问题二、成本极小化问题在给定产出水平下，企业成本极小化行为与利润极大化行为是一致的，即可以将成本最小化问题看做是满足等式约束的最优化问题。

那么，能否直接利用利润极大化模型推导成本极小化模型呢？考虑利润极大化模型：maxπ=pf(x1,…,xn)–(w1x1+…+wnxn)

s.t.

f(x1,…,xn)=y§4.8生产成本极小化问题二、成本极小化问题§4.8

生产成本极小化问题根据成本函数的定义，产出y

是一个参数，即外生变量。由企业追求利润极大化行为可知，在企业追求利润极大化时，y

是决策变量，意味着当产出改变、要素价格不变时，可以观测成本的变化。但是，实际上，追求利润极大化企业不会主动改变产出，只有当某个要素价格发生变化变化时，产出y才会改变。故上述利润极大化模型不能直接推导成本函数。§4.8生产成本极小化问题§4.8

生产成本极小化问题由以上分析可知，成本函数必须在产出y

作为参数的模型出推导出来。对于给定产出水平y0

，当总成本尽可能小时，总收入和总成本之间的差额达到最大值，从而利润极大。因此，与利润极大化行为相一致的成本极小化问题应该是：minC=w1x1+w2x2+…+wnxn

s.t.

f(x1,…,xn)=y0§4.8生产成本极小化问题§4.8

生产成本极小化问题假设企业生产只使用两种生产要素x1

和x2

，且两种生产要素的价格w1

和w2是恒定的，生产函数为

f(x1,x2)，产出为y0

。于是，可以构建生产成本极小化模型为：minC=w1x1+w2x2

s.t.

f(x1,x2)=y0构造Lagrange

函数：

L(x1,x2,λ)=w1x1+w2x2+λ[y0–f(x1,x2)]§4.8生产成本极小化问题假设企§4.8

生产成本极小化问题一阶必要条件：在最优投入组合点处，要素投入价格与边际产出的比率对每一要素投入必定相等。

λ

可解释为最优状态下的企业的边际成本。§4.8生产成本极小化问题§4.8

生产成本极小化问题上述等式关系还可以写为：（几何解释）x1x2等产量线：f(x1,x2)=y0等成本线：C=w1x1+w2x2§4.8生产成本极小化问题x1x2等产量线：f(x1,§4.8

生产成本极小化问题二阶充分条件：只要<0，即可保证成本最小。在等产量线上，有（全微分）：于是，可得：§4.8生产成本极小化问题§4.8

生产成本极小化问题对x1

求微分，有：§4.8生产成本极小化问题§4.8

生产成本极小化问题将代入上式，有：二阶充分条件§4.8生产成本极小化问题二阶充分条件§4.8

生产成本极小化问题由此可知，等产量线在切点处严格凸。值得注意的是，二阶充分条件在切点处<0即严格凸性的实质并非成本极极小化的必要条件。与效用极大化问题类似（右图），在最小值处尽管有d2y/dx2=0，但成本仍可能最大化。E1E2E3§4.8生产成本极小化问题E1E2E3§4.8

生产成本极小化问题三、要素需求函数在成本极小化的一阶必要条件和二阶充分条件的基础上可得到要素需求函数。对一阶必要条件求解可得：产出不变时的要素需求函数§4.8生产成本极小化问题三、要素需求函数产出不变时的要§4.8

生产成本极小化问题四、比较静态分析对要素需求函数的比较静态分析，实质上就是就是求内生变量关于外生变量的偏导数。首先，将均衡解代入一阶必要条件方程组：§4.8生产成本极小化问题四、比较静态分析§4.8

生产成本极小化问题首先来看要素x1

的价格w1

变化对均衡解的影响。对上述方程组各等式两端对w1求偏导，有：§4.8生产成本极小化问题首先来看要素x1的§4.8

生产成本极小化问题写成矩阵形式：

根据克莱姆法则，解得：§4.8生产成本极小化问题§4.8

生产成本极小化问题同样道理，可计算x2

价格w2

变化对均衡解的影响。对一阶必要条件方程组各等式两端对w2求偏导，有：§4.8生产成本极小化问题同样道理，可计算x2§4.8

生产成本极小化问题写成矩阵形式：

根据克莱姆法则，解得：§4.8生产成本极小化问题§4.8

生产成本极小化问题同样道理，可计算y0

变化对均衡解的影响。对一阶必要条件方程组各等式两端对w2求偏导，有：§4.8生产成本极小化问题同样道理，可计算y0§4.8

生产成本极小化问题写成矩阵形式：

根据克莱姆法则，解得：§4.8生产成本极小化问题§4.8

生产成本极小化问题特别地，有：由利润极大化的二阶充分条件可知：所以，即。

说明边际成本曲线向上倾斜。§4.8生产成本极小化问题§4.8

生产成本极小化问题此外，还可以利用包络定理对目标函数最优值进行比较静态分析。通过构造

Lagrange

函数：

L=w1x1+w2x2+λ[y0–f(x1,x2)]根据包络定理，可得：x*,λ*x*,λ*x*,λ*§4.8生产成本极小化问题此外，THEENDTHEEND带有等式约束的最优化问题及其经济学应用课件第

4章

带有等式约束的最优化问题及其经济学应用第4章

带有等式约束的最优化问题及其经济学应用§4.1

带有等式约束的函数求

极值的必要和充分条件一、二元函数带等数约束的极值问题二、多元函数带多个等数约束的极值问题§4.1带有等式约束的函数求

极值的必要和充§4.2

拟凹函数与拟凸函数一、拟凹函数与拟凸函数的定义MNMNyyxxOOvuvu§4.2拟凹函数与拟凸函数一、拟凹函数与拟凸函数的定义M§4.2

拟凹函数与拟凸函数1.一元拟凹函数和拟凸函数的定义对于一元函数y=f(x)的定义域（凸集）中的任意点u

和v

，假设f(v)≥

f(u)。如果对于任意的t

∈[0,1]，有：

f[(1–t)u+tv]≥

f(u)，则称f

为拟凹的f[(1–t)u+tv]≤

f(v)，则称f

为拟凸的在u

≠

v

且t

∈(0,1)的情况下，如果上两式是严格>或<，则称f

为严格拟凹的或严格拟凸的。§4.2拟凹函数与拟凸函数1.一元拟凹函数和§4.2

拟凹函数与拟凸函数2.多元拟凹函数和拟凸函数的定义设F

是定义在凸集U

Rn

上的n

元函数，如果对于任意的x,y

∈U

和任意的t

∈[0,1]，有：

F[(1–t)x

+ty]≥min{F(x),F(y)}，F拟凹F[(1–t)x

+ty]≤max{F(x),F(y)}，F拟凸在x

≠

y

且t

∈(0,1)的情况下，如果上两式是严格>或<，则称F

为严格拟凹的或严格拟凸的。§4.2拟凹函数与拟凸函数2.多元拟凹函数和§4.2

拟凹函数与拟凸函数二、可微函数拟凹和拟凸性判断1.一阶微分判别准则对于一元可微函数f(x)，任取其定义域内两个不同的点u

和v

，假设f(v)≥

f(u)，则：f(x)拟凹的充要条件为f'(u)(v–u)≥0f(x)拟凸的充要条件为f'(v)(v–u)≥0当≥

变为>时，即严格拟凹或拟凸。§4.2拟凹函数与拟凸函数二、可微函数拟凹和拟凸性判断§4.2

拟凹函数与拟凸函数对于多元可微函数F(x)，其中x=(x1,x2,…,xn)，任取函数F(x)定义域内两个不同的点u=(u1,u2,…,un)和v=(v1,v2,…,vn)，假设F(v)≥

F(u)。F(x)拟凹的充要条件为uF(x)拟凸的充要条件为v

其中：，。uxx=uvxx=v§4.2拟凹函数与拟凸函数对于多§4.2

拟凹函数与拟凸函数2.二阶微分判别准则设F

是定义在开凸集U

Rn

上的二阶可微函数，令：§4.2拟凹函数与拟凸函数2.二阶微分判别准§4.2

拟凹函数与拟凸函数

F

是拟凹的必要条件为(-1)k∣Ck(x)∣≥

0

拟凹的充分条件为(-1)k∣Ck(x)∣>

0

F

是拟凸的必要条件为∣Ck(x)∣≤

0拟凸的充分条件为∣Ck(x)∣<

0若U

Rn+

，对于严格拟凹和严格拟凸成立。§4.2拟凹函数与拟凸函数§4.2

拟凹函数与拟凸函数三、拟凹函数和拟凸函数的性质1.若f(x)为拟凹函数，则–f(x)为拟凸函数；若f(x)为拟凸函数，则–f(x)为拟凹函数。2.任意的凹（凸）函数均为拟凹（拟凸）函数，但反之不一定成立。3.若f(x)为线性函数，则它既是拟凹又是拟凸的。§4.2拟凹函数与拟凸函数三、拟凹函数和拟凸函数的性质§4.2

拟凹函数与拟凸函数4.对于任意常数k

，如果集合S={x∣f(x)≥

k}为凸集，则f(x)是拟凹函数；若S={x∣f(x)≤

k}为凸集，则f(x)是拟凸函数。证明：f(x,y)=xy（x>0