2018-2019数学新学案同步必修二浙江专用版讲义：第四章 圆与方程章末复习

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精章末复习学习目标1.整合知识结构,梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识。2。培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．1．圆的方程(1)圆的标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2。（2）圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F〉0)．2．点和圆的位置关系设点P(x0，y0）及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2。(1）(x0－a）2＋(y0－b）2〉r2⇔点P在圆外．(2)（x0－a）2＋（y0－b)2<r2⇔点P在圆内．(3)(x0－a）2＋（y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．3．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d〉r⇒相离;d＝r⇒相切;d〈r⇒相交．4．圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2｜r1－r2|〈d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2｜5.求圆的方程时常用的四个几何性质6．与圆有关的最值问题的常见类型（1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如（x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点距离的平方的最值问题．7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离）、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．（2）代数方法运用根与系数的关系及弦长公式｜AB｜＝eq\r(1＋k2）|xA－xB｜＝eq\r(1＋k2［xA＋xB2－4xAxB］).注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．8．空间中两点的距离公式空间中点P1(x1,y1，z1），点P2(x2，y2，z2)之间的距离｜P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12）.类型一求圆的方程例1一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0外切，并与直线l:x＋eq\r(3）y＝0相切于M(3，－eq\r(3））点，求该圆的方程．考点求圆的方程题点求圆的方程解∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋eq\r(3)y＝0相切于M(3，－eq\r(3))点，可得圆心与点M(3,－eq\r（3））的连线与直线x＋eq\r(3）y＝0垂直，其斜率为eq\r(3).设圆C的圆心坐标为(a,b)，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(b＋\r(3），a－3）＝\r（3）,,\r（a－12＋b2）＝1＋\f（|a＋\r(3)b|,2），))解得a＝4,b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r（3）,r＝6，∴圆C的方程为（x－4)2＋y2＝4或x2＋（y＋4eq\r（3）)2＝36.反思与感悟求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤:第一步：选择圆的方程的某一形式．第二步:由题意得a，b，r(或D，E，F）的方程(组）．第三步：解出a，b，r（或D，E,F）．第四步:代入圆的方程．注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦;当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．跟踪训练1(1）如图所示，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方),且|AB｜＝2,则圆C的标准方程为________．考点求圆的方程题点求圆的方程答案(x－1）2＋（y－eq\r(2))2＝2解析取AB的中点D，连接CD,AC，则CD⊥AB。由题意知,｜AD|＝|CD｜＝1,故｜AC|＝eq\r(｜CD|2＋|AD|2）＝eq\r(2)，即圆C的半径为eq\r(2)。又因为圆C与x轴相切于点T(1，0）,所以圆心C(1,eq\r（2）），故圆的标准方程为（x－1)2＋(y－eq\r（2））2＝2。（2）求半径为eq\r（10），圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为4eq\r（2）的圆的方程．考点求圆的方程题点求圆的方程解设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2,则圆心坐标为(a，b)，半径r＝eq\r（10），圆心（a，b）到直线x－y＝0的距离d＝eq\f(|a－b|,\r(2）)，由半弦长，弦心距,半径组成的直角三角形得,d2＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2）,2）））2＝r2,即eq\f(a－b2，2）＋8＝10,∴(a－b)2＝4，又∵b＝2a，∴a＝2,b＝4或a＝－2,b＝－4,故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或（x＋2）2＋(y＋4)2＝10。类型二直线与圆的位置关系例2已知点M(3,1),直线ax－y＋4＝0及圆C：(x－1)2＋（y－2）2＝4.(1）求过M点的圆的切线方程；(2）若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；（3）若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2eq\r(3),求a的值．考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系解（1)圆心C（1，2）,半径为r＝2.①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3。由圆心C（1，2)到直线x＝3的距离为d＝3－1＝2＝r知,此时直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x－3）,即kx－y＋1－3k＝0.由题意知,eq\f（｜k－2＋1－3k|，\r(k2＋1））＝2,解得k＝eq\f（3,4)。∴方程为y－1＝eq\f(3，4)(x－3），即3x－4y－5＝0.故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0。(2)由题意有eq\f（｜a－2＋4｜，\r（a2＋1）)＝2，解得a＝0或a＝eq\f(4,3).(3）∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为eq\f(｜a＋2|，\r（a2＋1)),∴eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（｜a＋2｜,\r(a2＋1）)）)2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2\r(3)，2)））2＝4，解得a＝－eq\f(3，4)。反思与感悟当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路(1)代数方法:将直线和圆的方程联立得方程组,消元后得到一个一元二次方程,在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．(2）几何方法:若弦心距为d，圆半径为r，则弦长为l＝2eq\r(r2－d2）。解决直线与圆相交问题时,常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．

跟踪训练2已知点P(0，5）及圆C:x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1）若直线l过点P,且被圆C截得的线段长为4eq\r(3），求l的方程；（2）求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程．考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系解（1）如图所示，｜AB|＝4eq\r(3），设D是线段AB的中点，则CD⊥AB,∴|AD|＝2eq\r（3），|AC｜＝4.在Rt△ACD中,可得|CD｜＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0。由点C到直线AB的距离为eq\f（|－2k－6＋5|，\r（k2＋1））＝2,得k＝eq\f（3，4)，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0。又∵当直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x＝0，∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.（2）设过点P的圆C的弦的中点为E（x，y),则CE⊥PE，所以kCE·kPE＝－1，即eq\f(y－6,x＋2）·eq\f（y－5,x)＝－1，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0。类型三圆与圆的位置关系例3已知一个圆的圆心坐标为A（2，1),且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1，P2两点，若点A到直线P1P2的距离为eq\r（5)，求这个圆的方程．考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系,求参数的值或范围解设圆的方程为（x－2）2＋（y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，所以直线P1P2的方程为x＋2y－5＋r2＝0。由已知得eq\f（｜2＋2×1＋r2－5|,\r(5)）＝eq\r(5)，解得r2＝6。故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1）2＝6.反思与感悟（1)当两圆相交时,公共弦所在的直线方程的求法若圆C1:x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0。（2）公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立,解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练3已知两圆（x＋1）2＋(y－1）2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为（1，2），则点Q的坐标为________．考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系，求参数的值或范围答案（－2，－1）解析两圆的圆心坐标分别为O1（－1，1）和O2(2，－2），由平面几何知,直线O1O2垂直平分线段PQ，则＝kPQ·eq\f（1－－2,－1－2）＝－1，∴kPQ＝1。∴直线PQ的方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.由点P(1，2）在圆（x＋1）2＋(y－1）2＝r2上,可得r＝eq\r(5）,联立eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12＋y－12＝5，,y＝x＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝2)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－2，,y＝－1.))∴Q（－2，－1）．类型四圆中的最值问题例4圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦长的最大值为(）A．2eq\r(2) B．2C.eq\r(2) D．1考点与圆有关的最值问题题点与圆的几何性质有关的最值答案B解析由题意得，两圆的标准方程分别为（x＋a）2＋（y＋a)2＝1和（x＋b）2＋(y＋b）2＝2,两圆的圆心坐标分别为(－a，－a），（－b，－b），半径分别为1，eq\r(2），则当公共弦为圆(x＋a)2＋（y＋a）2＝1的直径时，公共弦长最大,最大值为2.反思与感悟与圆有关的最值问题包括(1）求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝｜OP|＋r，dmin＝｜|OP｜－r|.（2）求圆上的点到某条直线的最大、最小距离:设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r,dmin＝|m－r｜。（3)已知点的运动轨迹是（x－a)2＋（y－b)2＝r2，求①eq\f（y,x）；②eq\f(y－m，x－n）；③x2＋y2等式子的最值,一般是运用几何法求解．跟踪训练4已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值为________．考点与圆有关的最值问题题点与面积有关的最值答案2eq\r（2)解析圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心为C（1，1),半径为1,由题意知，当圆心C到点P的距离最小，即为圆心到直线的距离最小时，四边形的面积最小，由圆心到直线的距离d＝eq\f(|3＋4＋8|，\r（32＋42））＝3，∴|PA｜＝｜PB｜＝eq\r（d2－r2)＝2eq\r（2），∴S四边形PACB＝2×eq\f(1,2）|PA|r＝2eq\r（2）.1．以点(－3，4）为圆心，且与x轴相切的圆的方程是（）A．（x－3)2＋(y＋4）2＝16B．(x＋3)2＋（y－4）2＝16C．(x－3）2＋(y＋4)2＝9D．（x＋3)2＋(y－4）2＝9考点圆的标准方程题点求与某直线相切的圆的标准方程答案B2．若过点P(－eq\r（3），－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0°＜α≤30° B．0°＜α≤60°C．0°≤α≤30° D．0°≤α≤60°考点直线与圆的位置关系题点已知直线与圆的位置关系，求参数的值或范围答案D解析设l：y＋1＝k(x＋eq\r（3）)，即kx－y＋eq\r(3)k－1＝0，圆心（0，0)到直线l的距离为d＝eq\f(｜\r(3）k－1｜,\r（k2＋1）)≤1,解得0≤k≤eq\r(3)，即0≤tanα≤eq\r（3)，∴0°≤α≤60°。3．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为()A．4B．3C．2D．1考点圆与圆的位置关系题点两圆的位置关系与其公切线答案C解析两圆的标准方程分别为(x－3)2＋（y＋8)2＝121;(x＋2）2＋（y－4）2＝64,则两圆的圆心与半径分别为C1（3，－8），r1＝11；C2（－2，4），r2＝8。圆心距为｜C1C2|＝eq\r（3＋22＋－8－42)＝13.∵r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交，则公切线共2条．4．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7）,则该圆的方程为______________________．答案x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0解析方法一∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴设所求圆的圆心为（3a，a）,又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7）,圆心（3a,a)到直线y＝x的距离d＝eq\f（|2a｜,\r(2))，∴d2＋（eq\r（7）)2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为（x－3)2＋(y－1)2＝9或（x＋3）2＋(y＋1）2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.方法二设所求圆的方程为(x－a）2＋(y－b)2＝r2，则圆心（a，b)到直线y＝x的距离为eq\f(|a－b|,\r（2))，∴r2＝eq\f(a－b2,2）＋7,即2r2＝（a－b）2＋14。 ①由于所求圆与y轴相切,∴r2＝a2， ②又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0， ③联立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1，，r2＝9))或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－3，，b＝－1，,r2＝9.)）故所求圆的方程为(x－3)2＋（y－1）2＝9或（x＋3）2＋(y＋1）2＝9,即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0。方法三设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(D,2)，－\f(E，2）))，半径r＝eq\f（1,2）eq\r（D2＋E2－4F)。在圆的方程中，令x＝0,得y2＋Ey＋F＝0.由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F. ①圆心eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（D,2)，－\f(E，2）））到直线y＝x的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D，2）＋\f(E,2）))，\r（2))，由已知得d2＋(eq\r(7))2＝r2，即(D－E）2＋56＝2(D2＋E2－4F)． ②又圆心eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(D，2),－\f(E,2))）在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0。 ③联立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（D＝－6，，E＝－2，，F＝1))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(D＝6,,E＝2，，F＝1。)）故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0。5．已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.（1)当直线与圆相切时，求实数m的值;(2)当直线与圆相交，且所得弦长为eq\f（2\r（10），5)时，求实数m的值．考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系解(1)因为圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3）2＋y2＝4,所以圆心坐标为(3，0)．因为直线x－my＋3＝0与圆相切，所以eq\f(｜3＋3|，\r(1＋－m2）)＝2，解得m＝±2eq\r（2）。（2）圆心（3，0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝eq\f(｜3＋3｜,\r（1＋－m2)）。由2eq\r(4－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(｜3＋3｜，\r（1＋－m2)）))2）＝eq\f(2\r（10）,5),得2＋2m2＝20m2－160,即m2＝9。故m＝±3.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有（1）圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线;切线在切点处的垂线一定经过圆心;圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．（2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线（中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．(3）与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．一、选择题1．已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切,圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（)A．（x＋1）2＋（y－1）2＝2B．（x－1）2＋（y＋1）2＝2C．（x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋（y＋1)2＝2考点圆的切线问题题点求圆的切线方程答案B2．在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是(）A．(－13，13）B．[－13，13］C．(－∞，－13)∪（13，＋∞)D．(－∞，－13]∪[13，＋∞）考点直线与圆的位置关系题点已知直线与圆的位置关系,求参数的值或范围答案A解析由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心（0,0）到直线的距离d满足0≤d<1.∵d＝eq\f（|c｜,\r(122＋－52））＝eq\f（｜c｜，13），∴0≤｜c|<13，即c∈(－13，13)．3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为（x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是（)A．{1,－1｝B．{3,－3｝C．｛1,－1，3,－3}D．｛5，－5，3，－3｝考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案C解析∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，当两圆内切时,|a｜＝1，当两圆外切时，｜a|＝3，∴实数a的取值集合是｛1，－1，3,－3｝,故选C.4．设A（1，1，－2),B(3，2，8），C(0，1，0),则线段AB的中点P到点C的距离为(）A.eq\f(\r(13)，2）B.eq\f(\r(53),4）C.eq\f(53,2)D.eq\f（\r（53），2）考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算答案D解析利用中点坐标公式，得点P的坐标为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，\f(3,2），3))，由空间两点间的距离公式，得|PC|＝eq\r（2－02＋\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3,2)－1))2＋3－02)＝eq\f（\r（53)，2）.5．已知圆心为(2，0)的圆C与直线y＝x相切，则切点到原点的距离为（)A．1B.eq\r（2）C．2D.eq\r（3）考点圆的切线问题题点圆的切线长问题答案B解析如图，设圆心为C，切点为A,圆的半径为r＝eq\f(|2－0|,\r（2))＝eq\r（2),|OC|＝2，∴切点到原点的距离为eq\r(22－\r（2)2)＝eq\r(2）.故选B.6．直线eq\r(3）x＋y－2eq\r(3)＝0截圆x2＋y2＝4所得的劣弧所对的圆心角为()A．30°B．45°C．60°D．90°考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系答案C解析设直线与圆相交于A，B两点，过O作OC⊥AB，垂足为点C,由圆的方程x2＋y2＝4，得圆心O的坐标为（0,0），半径为r＝2。∵圆心到直线eq\r(3）x＋y－2eq\r(3)＝0的距离为d＝｜OC｜＝eq\f(2\r(3)，2)＝eq\r(3)，∴直线被圆截得的弦长为|AB｜＝2eq\r(r2－d2）＝2，∴△AOB为等边三角形，即∠AOB＝60°，∴直线被圆截得的劣弧所对的圆心角为60°,故选C。7．已知直线l:kx＋y－2＝0(k∈R)是圆C:x2＋y2－6x＋2y＋9＝0的对称轴，过点A（0，k）作圆C的一条切线，切点为B,则线段AB的长为（)A．2 B．2eq\r(2）C．3 D．2eq\r(3)考点圆的切线问题题点圆的切线长问题答案D解析由圆C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0，得（x－3）2＋(y＋1）2＝1，表示以C（3,－1)为圆心，1为半径的圆．由题意可得直线l:kx＋y－2＝0经过圆C的圆心(3,－1),故有3k－1－2＝0,得k＝1，则点A(0，1),即｜AC|＝eq\r(0－32＋1＋12）＝eq\r（13），则｜AB｜＝eq\r(｜AC｜2－r2)＝eq\r(\r（13)2－1)＝2eq\r（3)，故选D。二、填空题8．以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC1的中点坐标为________．考点空间中点的对称问题题点中点坐标公式及其应用答案eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1，1,\f(1，2))）解析画出图形(图略）即知CC1的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1,1，\f(1,2））)。9．若两圆x2＋（y＋1）2＝1和(x＋1)2＋y2＝r2相交，则正数r的取值范围是________．考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案(eq\r（2)－1，eq\r(2)＋1）解析∵两圆x2＋(y＋1)2＝1和(x＋1）2＋y2＝r2相交,圆x2＋(y＋1)2＝1的半径和圆心分别是1,（0，－1），圆（x＋1)2＋y2＝r2的半径和圆心分别是r，(－1,0）,∴两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和,即｜r－1|＜eq\r(0＋12＋－1－02）＜r＋1,∴r－1＜eq\r（2)＜r＋1，∴r∈（eq\r（2)－1，eq\r(2)＋1)，即正数r的取值范围是（eq\r(2)－1,eq\r(2)＋1)．10．已知在平面直角坐标系xOy中，过点（1，0)的直线l与直线x－y＋1＝0垂直，且l与圆C：x2＋y2＝－2y＋3交于A,B两点，则△OAB的面积为________．考点圆的弦长问题题点直线和圆位置关系的综合问题答案1解析∵直线l的方程为y＝－（x－1），即x＋y－1＝0.又由圆C：x2＋y2＝－2y＋3，得x2＋（y＋1)2＝4，圆心C（0，－1)到l的距离为d＝eq\f（｜－2｜,\r（2))＝eq\r（2)，∴|AB｜＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2）＝2eq\r(2),又原点O到l的距离为eq\f(|－1｜，\r（2））＝eq\f（\r(2),2），∴S△OAB＝eq\f（1，2)×eq\f(\r（2)，2)×2eq\r（2）＝1。11．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是__________________________．考点求圆的方程题点求圆的方程答案(x＋2)2＋（y＋2）2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8解析由题意可设圆心C(a，a)，如图，得22＋22＝2a2，解得a＝±2，r2＝8.所以圆C的方程是(x＋2)2＋（y＋2)2＝8或（x－2)2＋(y－2）2＝8。三、解答题12．如图，已知以点A(－1,2）为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A交于M，N两点．（1）求圆A的方程；(2）当|MN|＝2eq\r(19)时,求直线l的方程．考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系解(1）由题意知,A（－1，2)到直线x＋2y＋7＝0的距离为圆A的半径R，∴R＝eq\f（|－1＋4＋7｜，\r(5))＝2eq\r(5)，∴圆A的方程为(x＋1）2＋（y－2）2＝20.(2)设MN的中点为Q，连接QA,则由垂径定理可知∠MQA＝90°，且｜MQ｜＝eq\r（19)，在Rt△AMQ中，由勾股定理知，｜AQ|＝eq\r(AM2－MQ2）＝1，①当动直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，显然符合题意，②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2），即kx－y＋2k＝0。∴eq\f(|k－2｜,\r（k2＋1)）＝1，得k＝eq\f（3,4)，∴直线l：3x－4y＋6＝0.综上,直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0。13．已知圆C1:x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点．(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A，B两点的圆的方程;(3）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程．考点与圆有关的最值问题题点与面积有关的最值解(1）由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，,x2＋y2－2x＋10y－24＝0,）)得x－2y＋4＝0。∴圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2:x2＋y2－2x＋10y－24＝0的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0.(2）由(1）得x＝2y－4，代入x2＋y2＋2x＋2y－8＝0中，得y2－2y＝0，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－4,，y＝0）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝0,,y＝2，))即A(－4,0），B（0,2）．又圆心在直线y＝－x上，设圆心为M（x,－x）,则｜MA｜＝