宁夏银川一中高三下学期第四次模拟考试数学文试题

高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。普通高等学校招生全国统一考试文科数学第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设z=1-i（i为虚数单位），则z2+= A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4【答案解析】C解析：∵z=1﹣i，∴z2=﹣2i；====1+i，∴z2+=﹣2i+（1+i）=1﹣i．故选C．【思路点拨】利用复数代数形式的乘除运算可由z=1﹣i求得z2及，从而可得答案．【题文】2．已知则A．B． C． D．【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】C解析：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），由N中，得到﹣≤x≤，即N=[﹣，]，则M∩N=[0，]．故选：C．【思路点拨】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【题文】3．若函数，则等于A．4 B．3C．2 D．1【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．B1【答案解析】B解析：∵函数f（x）=，f（2）=23=8，f（f（2））=f（8）=log28=3，故选B．【思路点拨】先求出f（2）的值，再根据函数的解析式求出f（f（2））的值．【题文】4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为A．102 B．410C．614 D．1638【知识点】程序框图．L1【答案解析】B解析：⇒⇒⇒⇒，输出s=410故选B．【思路点拨】按照程序框图依次执行即可．【题文】A．152 B．154C．156 D．158【知识点】等差数列的前n项和．D2【答案解析】C解析：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a3+a7﹣a10=a1+2d+a1+6d﹣a1﹣9d=a1﹣d=8①；a11﹣a4=a1+10d﹣a1﹣3d=7d=4②，联立①②，解得a1=，d=；∴s13=13a1+d=156．故选C．【思路点拨】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1、d，代入等差数列的前n项和公式，即可求出s13．【题文】6．在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A-sin2A． B． C． D．【知识点】余弦定理；正弦定理．C8【答案解析】B解析：由正弦定理得：==所以sin2A﹣sin2C=（sinA﹣sinB）sinB可化为a2+b2﹣c2=ab，则，因为角C∈（0，π），所以角C=．故选B．【思路点拨】由正弦定理把已知条件化简得到a，b及c的关系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把求得的关系式代入即可得到cosC的值，然后根据C的范围及特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【题文】7．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为 A． B． C． D．【知识点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．H6H7【答案解析】D解析：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为,故选D【思路点拨】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【题文】8．若把函数的图像向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是 A． B． C．D．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的对称性．C3【答案解析】C解析：由题意知，，对称轴方程，∵函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，∴由对称轴的方程得，m的最小值是．故选C．【思路点拨】由解析式的特点和题意，利用两角和的余弦公式对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出m的最小值．【题文】9．设、为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若，则⊥．那么 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．G3G4【答案解析】B解析：若α∥β，则l与m可能平行也可能异面，故①为假命题；若时，由线面垂直的性质可得⊥，故②为真命题；故①是假命题，②是真命题，故选B.【思路点拨】根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析题目中的两个结论，即可求出答案．【题文】10．已知D是中边BC上（不包括B、C点）的一动点，且满足，则的最小值为A.3B.5C.6D.4【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理及其意义．F2E6【答案解析】D解析：由于D是△ABC中边BC上（不包括B、C点）的一动点，且满足，所以α，β＞0且,故有，解得所以=，故选D．【思路点拨】由题设，先根据三点共线的条件得出，再利用基本不等式即可得出的最小值．【题文】假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为A．B．C．D．【知识点】几何概型．K3【答案解析】D解析：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x﹣y=2和y﹣x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形:即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，阴影部分的面积25﹣2×（5﹣2）2=16，所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．故选：D．【思路点拨】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．【题文】12．若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在上是有界函数．下列函数：①；②；③；④，其中“在上是有界函数”的序号为（）A.②③B.①②③C.②③④D.③④【知识点】命题的真假判断与应用；函数的值域．A2B3【答案解析】A解析：①在（1，+∞）上是递减函数，且值域为（0，+∞），故①在（1，+∞）上不是有界函数；②（x＞1）即f（x）=，由于＞2（x＞1），0＜f（x）＜，故|f（x）|，故存在M=，即f（x）在（1，+∞）上是有界函数；③，导数f′（x）=，当x＞e时，f′（x）＜0，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，故x=e时取极大值，也为最大值且为，故存在M=，在（1，+∞）上有|f（x）|≤，故函数f（x）在（1，+∞）上是有界函数；④导数f′（x）=sinx+xcosx在（1，+∞）上不单调，且|f（x）|≤x，故不存在M，函数f（x）在（1，+∞）上不是有界函数．故选A．【思路点拨】①求出函数f（x）的值域为（0，+∞），即可判断；②先将f（x）变形，再应用基本不等式求出最值，从而根据新定义加以判断；③应用导数求出单调区间，求出极值，说明也为最值，再根据新定义判断；④先判断函数有无单调性，再运用三角函数的有界性判断即可．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．【题文】13．等差数列中，前项和为,，则的值为____【知识点】等差数列的性质.D2【答案解析】2014解析：设等差数列的公差为d，∵=﹣2，∴﹣=﹣2，∴a12﹣a10=﹣4，∴2d=﹣4，得d=﹣2，∵a1=2014，∴S2014=2014×2014+×（﹣2）=2014，故答案为：2014．【思路点拨】设等差数列的公差为d，利用等差数列的求和公式及﹣=﹣2可求得公差d，再用求和公式可得答案．【题文】14.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为.【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】解析：由三视图可知，几何体是一个五面体，五个面中分别是：一个边长是2的正方形；一个边长是2的正三角形；两个直角梯形，上底是1，下底是2，高是2；一个底边是2，腰长是的等腰三角形，做出五个图形的面积=.故答案为：.【思路点拨】几何体是一个五面体，一个边长是2的正方形；一个边长是2的正三角形；两个直角梯形，上底是1，下底是2，高是2；一个底边是2，腰长是的等腰三角形，根据面积公式得到结果．【题文】15．已知,满足约束条件,若的最小值为,则_______【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】解析：由题意可得：若可行域不是空集，则直线y=a（x+3）的斜率为正数时．因此a＞0，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（1，﹣2a），C（3，0）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（1，﹣2a）=1，即2﹣2a=1，解得a=，故答案为：【思路点拨】由题意得a＞0，作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=﹣2a时z取得最小值，由此建立关于a的等式，解之即可得到实数a的值．【题文】16．下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据：父亲身高（cm）173170176儿子身高（cm）170176182因为儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为．参考是：，其中；其中是与对应的回归估计值.参考数据：，.【知识点】回归分析的初步应用；线性回归方程．I4【答案解析】cm.解析：设X表示父亲的身高，Y表示儿子的身高则Y随X的变化情况如下；建立这种线性模型：X173170176182Y170176182？∵=173，=176，∴本组数据的样本中心点是（173，176），利用线性回归公式，及参考数据：，．其中==1，=﹣=176﹣173=3；得线性回归方程y=x+3当x=182时，y=185，故答案为：185cm．【思路点拨】设出解释变量和预报变量，代入线性回归方程公式，求出线性回归方程，将方程中的X用182代替，求出他孙子的身高.三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤【题文】17.(本小题满分12分)设数列｛an｝的前n项和为Sn，（I）求证:数列｛an｝是等差数列;（II）设数列的前n项和为Tn，求Tn．【知识点】数列的求和；等差关系的确定．D2D4【答案解析】（I）见解析（II）解析：（I）由 得 即 是以1为首项，4为公差的等差数列…………6分（II） …………12分【思路点拨】（I）根据题意，可得Sn=nan﹣2n（n﹣1）与则Sn+1=nan+1﹣2（n+1）n，结合an+1=Sn+1﹣Sn可得an+1=（n+1）an+1﹣nan﹣4n，化简可得an+1﹣an=4，即可得结论；（II）由（I）可得an=4n﹣3，然后由裂项相消法，计算可得答案．【题文】18．(本小题满分12分)如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，∠ACB=90°E、F分别是棱CC1、AB中点。（1）求证：；（2）求四棱锥A—ECBB1的体积；（3）判断直线CF和平面AEB1的位置关系，并加以证明。【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．G4G5G8【答案解析】（1）见解析（2）4（3）平行.解析：（1）证明：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，平面ABC1分 又平面ABC，2分 3分（2）解：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，平面ABC， 又平面ABC， ， ，平面ECBB16分 7分 是棱CC1的中点， 8分（3）解：CF//平面AEB1，证明如下： 取AB1的中点G，联结EG，FG，分别是棱AB、AB1中点 又 ，四边形FGEC是平行四边形 又平面AEB，平面AEB1，平面AEB1。12分【思路点拨】（1）要证CF⊥BB1，只需证明BB1⊥平面ABC；由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直棱柱可以得出；（2）要求四棱锥A﹣ECBB1的体积，需先求底面ECBB1（直角梯形）的面积；四棱锥的高是AC（需证明），再由体积公式可得；（3）判断直线CF和平面AEB1的位置关系，由CF⊄平面AEB1，可猜想CF∥平面AEB1【题文】19．(本小题满分12分)某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组得到的频率分布直方图如图所示，（1）求第三、四、五组的频率；（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率。【知识点】频率分布直方图．I2【答案解析】（1）0.30.20.1（2）第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人．（3）解析：（1）由题设可知，第三组的频率为0．06×5=0．3第四组的频率为0．04×5=0．2第五组的频率为0．02×5=0．1………3分（2）第三组的人数为0．3×100=30第四组的人数为0．2×100=20第五组的人数为0．1×100=10……6分因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组第四组第五组所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人．……………9分（3）设第三组的3位同学为,第四组的2位同学为，第五组的1位同学为则从6位同学中抽2位同学有：,,,,,,,,,,,,,共15种可能………………10分其中第四组的2位同学中至少1位同学入选有,，,，,,,共9种可能……11分所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为……12分【思路点拨】（1）利用频率分布直方图中的频率=纵坐标×组据，求出第三、四、五组的频率；（2）利用频数=频率×样本容量求出各组的人数；求出各组人数与样本容量的比，再乘以6求出各组抽出的人数．（3）通过列举法得到从6名学生中抽2名所有的结果及第四组至少有一名学生被甲考官面试的结果；利用古典概型概率公式求出概率．【题文】20.(本小题满分12分)已知函数（I）若，判断函数在定义域内的单调性；（II）若函数在内存在极值，求实数m的取值范围。【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．B11B12【答案解析】（I）当单调递增；当单调递减.（II）解析：（I）显然函数定义域为（0，+）若m=1，令………………2分当单调递增；当单调递减。………………6分（II）令………………8分当单调递增；当单调递减。………………6分故当有极大值，根据题意 ………………12分【思路点拨】（I）先求函数的导数，当m=1时，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令x小于0，解得x的范围为函数的减区间．（II）求出函数的导数，令导数等于0，求得x的值为，此时函数有可能存在极值，再判断左右两侧导数的正负，可知当x=em时函数有极大值，因为已知函数在（1，e）内存在极值，所以得到，解不等式即可求出m的范围．【题文】21.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．H8【答案解析】(1)(2)解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为.依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得．解得，．所以．所以椭圆的标准方程是．………4分（2）解：存在直线，使得成立.理由如下：由得．，化简得．设，则，．若成立，即，等价于．所以．，，,化简得，．将代入中，，解得，．又由，，从而，或．所以实数的取值范围是．…12分【思路点拨】（1）由已知条件推导出，．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.【题文】22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【知识点】圆周角定理；与圆有关的比例线段．N1【答案解析】(1)见解析(2)解析：(1)连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB).又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE△ACB.因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.故AD＝2，AB＝12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH，由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC.从而HF＝AG＝5，DF＝eq\f(1,2)(12－2)＝5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5eq\r(2).【思路点拨】（1）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（2）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中