2016届高三数学一轮复习三角函数

2016届高三数学一轮复习----三角函数（两课时）一、本章知识构造：二、考点精要考点一：随意角的三角函数.常有的几个三角关系式（1）若x(0,)，则sinxxtanx.2（2）若x(0,)，则1sinxcosx2.2（3）|sinx||cosx|1.考点二：三角函数的引诱公式观察三角函数的引诱公式的灵巧变形，正弦、余弦的引诱公式。引诱公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为停止。nn)(1)2sin,(n为偶数)sin(n12(1)2cos,(n为奇数)ncos(n)(1)2cos,(n为偶数)n12(1)2sin,(n为奇数)考点三：正余弦定理的变形与应用观察公式的灵巧变形与应用第1页共12页正弦定理abc2R.abcasinAsinBsinCsinAsinBsinC2RsinA余弦定理a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.变形式cosAb2c2a22bc考点四：观察三角函数的图像与性质例：将函数ysin(2x)的图象按向量平移后所得图象对于点(,0)中心对称，则向量的坐标312可能为()A．(,0)B．(,0)C．(,0)D．(,0)126126答案：C考点五：三角公式与恒等变换在三角变换中“1的”变换特别奇妙.如：1sin2xcos2xtan=sincos0.42观察角的奇妙变换，如:(),2,()()等，这些是利用222和、差角公式求解问题中常常用到的变形.sin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3a-3cosa和差化积：sinsin2sincos,sinsin2cossin2222coscos2coscos,coscos2sinsin2222积化和差：sinacos1sinsin,cosasin1sinsin22cosacos1coscos,sinasin1coscos22考点六：三角形中的边角关系,依据条件解三角形中线定理：三角形一条中线双侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方的和的2倍。角均分线定理：1）角均分线上的点到这个角两边的距离相等。2）在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角均分线上。3）三角形一个角的角均分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比率。例：已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（3,1），n＝（cosA,sinA）.若mn，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝.（π）6第2页共12页三、高考商讨1、近几年高考对三角变换的观察要求有所降低，而对三角函数的图象与性质的观察上有所增强.2、观察内容一般以选择、填空题形式进行观察，且难度不大，从2008年至2015年观察的内容看，大概可分为五类问题1）与三角函数单一性相关的问题；2）与三角函数图象相关的问题；3）应用同角变换和引诱公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；4）与周期相关的问题；5）与解三角形相关的问题.3、近几年高考取，三角函数主要以选择题和解答题的形式出现。主要观察内容按综合难度分，我以为有以下几个层次：第一层次：经过引诱公式和倍角公式的简单运用，解决相关三角函数基天性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如协助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。第三层次：充分利用三角函数作为一种特别函数的图象及周期性、奇偶性、单一性、对称性、有界性等特别性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数求值，求复合函数求值域等。四、典题精讲例1、求函数y16x2sinx的定义域。解：由题意有2kx2k(*)4x4当k1时，2x；当k0时，0x；当k1时，2x3函数的定义域是[4，][0，]剖析：可能会有部分同学以为不等式组（*）二者没有公共部分，因此定义域为空集，原由是没有正确理解弧度与实数的关系，总以为二者水火不容，事实上弧度也是实数。例2、函数f(x)=sinxcosx的值域为______________。1sinxcosx错解：21,212222错因：令tsinxcosx后忽略t1进而g(t)t11,2正解：21,11,212222第3页共12页变式练习：若2sin2sin23sin,则sin2sin2的取值范围是错解：[4,2]2223sin1,(1)此中1sin1，得错误结果；由错因：由sinsinsin0sin23sin2sin211得sin1或0sin2

联合（1）式得正确结果。正解：[0,5]24例3、求函数ysin4xcos4x3的相位和初相。43解：y(sin2xcos2x)22sin2xcos2x41sin22x12411cos4x1224cos4x1sin(4x)42原函数的相位为4x，初相为22说明：部分同学可能看不懂题目的意思，不知道什么是相位，什么是初相，因此无从下手。应将所给函数式变形为yAsin(x)(A0，0)的形式（注意一定是正弦）。例4、函数fxsinxcosxsinxcosx的最小正周期为（）A、2B、C、D、24正确答案：C错误原由：利用周期函数的定义求周期，这常常是简单忽略的，此题直接查验得fxfx,故T22变式练习1：函数y|sin(2x)1|的最小正周期是33变式练习2：函数y|sin(2x)|1的最小正周期是33式练习1：错解：，错因：与函数正解：

2y|sin(2x)|的最小正周期的混杂。3第4页共12页变式练习2答案：2例5.（2014·山东理16）已知向量a(m,cos2x)，b(sin2x,n)，函数f(x)ab，且y=f(x)的图像过点,3和点2,2.1231）、求m,n的值；2）、求函数y=f(x)的分析式（3）、将y=f(x)的图像向左平移0个单位后获得函数y=g(x)的图像，若y=g(x)图像上各最高点到点0,3的距离的最小值为1，求y=g(x)的单一递加区间.命题企图：观察向量、三角函数、图像的变换以及三角函数的性质.分析：（Ⅰ）已知f(x)abmsin2xncos2x，f(x)过点(,3),(2,2)123f()msinncos3f(2)msin4ncos4212663331m3n3m322解得31n1222（Ⅱ）f(x)3sin2xcos2x2sin(2x)，f(x)左移后6获得g(x)2sin(2x2)6设g(x)的对称轴为xx，2解得x01x0100Qdg(0)2，解得6g(x)2sin(2x)2sin(2x)2cos2x3622k2x2k,kzkxk,kz2f(x)的单一增区间为[2k,k],kz.小结：求解三角函数分析式中的时，依据给定的值应注意观察是均衡点仍是最值点，求解单一区间时应看分析式的前面能否有负号.第5页共12页变式1：(2012·湖南高考，文18)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R,ω>0,00<φ<900)的部分图象以下图．变式2：已知m(3sin2xcos2x,y),n(1,1),若m//n.变式3：已知m(3,1,1),n(sin2x,cos2x,y),若mn.变式4：f(x)23sinxcosxcos2xsin2x变式5：f(x)4sin4x4cos4x3sin2x322变式6：将g(x)2sin(2x)向左平移个单位。66变式7：已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=13.若函数f(x)=Asin(2x)（A＞0,0＜＜）3在x处获得极大值，且极大值为a3－1.6变式8：设x,y知足拘束条件

3xy202，当11xy0，若目标函数zaxby(a0,b0)的最大值为x0,y0ab的最小值为m时，则y2sin(mx)的图象向右平移后的表达式为___。312变式9：将g(x)2cos(2x)对于直线x对称的函数为f(x)。36第6页共12页变式10：f(x)2cos2x2cos(2x)3变式11：三角变换A，w,φ,h求f(x)以上经过各样变换都能够获得f(x)2sin(2x)6下边进行第一问：求值问题1：求函数的定义域：(自己自带，分式，根式，复合函数）一个周期以上或全体实数某个给定区间如：，问题2：求函数的值域63利用导数求极值和最值定义域问题3：求函数的单一性，要注意A在某个给定的区间例1、求函数f(x)2sin(2x6)sinx的单一递加区间tanxcosx答案：k3,k和k,k6,kZ例2、求函数fx2sin(2x)的单一递加区间。()6答案：k,k5,kZ36例3、求函数fx2sin(2x)的单一递加区间。()6答案：2k,k,kZ63例4、求函数f(x2sin(2x)在0,2的单一递加区间。)6答案：0,,2,7,5,26363问题4：求函数的奇偶性例1：将函数f(x2sin(2x)向右平移φ个单位后变为奇函数，求最小正数φ的值。)6答案：φ＝12第7页共12页例2：将函数f()2sin(2x)向右平移φ个单位后变为偶函数，求最小正数φ的值。x6答案：φ＝3问题5：求函数的周期例1：求函数f(x2sin(2x)的最小正周期。)6答案：T＝问题6：求函数的对称轴、对称中心例1：求函数f(x)2sin(2x)3的对称轴、对称中心k6答案：对称轴x,kZ26对称中心(k,3)kZ212问题7：求函数的零点例1：求函数fxx)()2sin(2与y2在0,2的零点。67,25,3124242424问题8：化简、求值、证明例1：已知函数f(x)2sin(2x)（xR）．在ABC中，B为锐角，且f(B)=1，6化简g(x)=4sin(B-x)sinxsin(B+x)答案：g(x)=sin3x例2：在三角形ABC中，求值sin(A+B)sin(A-B)+sin(B+C)sin(B-C)+sin(C+A)sin(C-A)答案：0例3：在ABC中，求证：证明：sinA+sinB+sinC=

sinAsinBsinC4cosAcosBcosC2222sinABcosAB2sinA2BcosAB222ABABAB)2sin2(cos2cos22sinAB2cosAcosB2224cosAcosBcosC222第8页共12页第二问：求与三角形相关的问题问题1：求三角形的角例：已知函数f(x)2sin(2x)（xR）．在ABC中，B为锐角，且f(B)1，求B？612答案：B或51212问题2：求三角形的边长、周长例：已知函数f(x)2sin(2x)（xR）．在ABC中，B为锐角，且f(B)=1，AC43，D是BC6边上一点，ABAD，试求ADC周长的最大值．分析：由f(B)=1得B.由ABAD知ABD是正三角形，ABADBD，3∴ADDCBDDCBC，43BC在ABC中，由正弦定理，得sinBACsin3

，即BC8sinBAC.∵D是BC边上一点，∴BAC2，∴3sinBAC1，知43BC8.323当BAC，C时，ADCD获得最大值8，周长最大值为843。26问题3：求三角形的面积例：已知函数f(x)2sin(2x)（xR）．在ABC中，B为锐角，且f(B)=1，b=6,sinA=1,求ABC的面积。（活页22第14题）634312623122答案：a,sinC6,S33问题4：求范围例、在ABC中，A，B，C对应边分别为a,b,c.若a=x,b=2,B=450,且此三角形有两解,则x的取值范围为()A.(2,22)B.22C.(2,)D.(2,22]正确答案：A,错因：不知利用数形联合找寻打破口。问题5：证明：例、A，B，C是ABC的三个内角，且tanA,tanB是方程3x25x10的两个实数根，求证：ABC是钝角三角形tanAtanB

3证明：由韦达定理得：51tanAtanB3第9页共12页tanAtanB553tan(AB)221tanAtanB3在ABC中，tanCtan[(AB)]50tan(AB)C是钝角，ABC是钝角三角形。2问题6：应用题问题7：综合运用例、在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cosA=1.若a=3,求bc的最大值.3五、方法总结1、基本的解题规律为：察看差别（或角，或函数，或运算），找寻联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），剖析综合（由因导果或执果索因），实现转变.2、三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差别剖析，常用的技巧有：切割化弦，降幂公式，用三角公式转变出现特别角，异角化同角，异名化同名．高次化低次等．3、解斜三角形中需娴熟运用正、余弦定理，掌握正、余弦定理合用的状况，合理进行边角互化，正确处理多解问题，并娴熟联合使用三角形中的结论如：A+B+C=，sinC,abcABCsinAsinB若ABC为锐角三角形，则A+B>,sinAcosB,cosAsinB等．24、在解三角形时已知三边，用余弦定理求解时，只有一解；已知两边及夹角用余弦定理求解时，必有一解.六、复习建议1、本节公式许多，但都是有规律的，仔细总结规律，记着公式是解答三角函数的重点。2、注意知识之间的横向联系，三角函数知识之间的联系，三角函数与其余章节知识的联系，如三角函数与向量等。3、注意解三角形中的应用题，应用题是数学的一个难点，平常应增强训练。第10页共12页七、讲堂检测1．已知定义在区间[-，2]上的函数y=f(x)的图象对于直线x=-对称，当x[-6，2]时，函数363f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,-<<)，其图象以下图。22(1)求函数y=f(x)在[-，2]的表达式；3(2)求方程f(x)=2的解。2解：(1)由图象知A=1，T=4(2)