量子力学总复习-2

第七章自旋与全同粒子*本章学习了电子的自旋特性、角动量理论和全同粒子的特性三个方面的内容：一、电子的自旋（1）表明电子具有自旋特性的典型实验与事实：Stern-Gerlach实验；光谱精细结构。（2）电子自旋的特点或Pauli算符的性质：11/14/2023其中：角动量量子数j是非负的整数或半整数，而磁量子数m取值为-j到+j的(2j+1)个值。（3）计及自旋，电子的波函数为旋量—(2X1)矩阵，而算符为(2X2)矩阵：二、角动量理论（1）角动量的概念：21/14/2023（2）两个角动量的耦合：可证：是对易组，其共同的本征矢记为：---称为无耦合表象（已知）

也可证：也是对易组，其共同的本征矢记为：---称为耦合表象（待求）

由无耦合表象求耦合表象：其中：是Clebsch-Gordan系数，其计算十分复杂，但有表可查。31/14/2023（3）利用电子的自旋以及自旋-轨道耦合可解释：Zeeman效应---原子处于强磁场中，由于磁场与原子中电子的自旋与轨道磁矩的相互作用，原子的能级发生分裂，导致原子光谱出现奇数条分裂的现象称为简单（正常)Zeeman效应；原子处于弱磁场中，由于自旋-轨道耦合，原子的能级发生分裂，导致原子光谱出现偶数条分裂的现象叫做复杂（反常）Zeeman效应。光谱的精细结构---由于电子具有自旋及旋-轨之间的耦合，原子光谱线由靠得很近的细线组成的现象。三、全同粒子的特性（1）全同性原理：内禀特性完全相同的粒子称为全同粒子，具有不可区分性，任意交换两个全同粒子，全同粒子系统的物理状态不变，或Hamilton量具有交换对称性。（2）全同粒子的波函数要满足交换对称性：自旋为整数的玻色子系具有交换对称性，自旋为半整数的费米子系具有交换反对称性。41/14/2023无相互作用费米子系的波函数---对于m个费米子、n个单粒子态的玻色系，共有个可能的波函数，而且，可写成Slater行列式的形式，因此，费米子系要遵循：无相互作用玻色子系的波函数---对于m个玻色子、n个单粒子态的玻色系，共有个可能的波函数。（3）无相互作用全同粒子系波函数的构造：可以证明---无相互作用全同粒子系的波函数可由单粒子的波函数的直积构成，但需满足交换对称性的要求。Pauli不相容原理---不能有两个或两个以上的费米子处于同一个量子态上。四、参考题简答题---（1）列举表明电子具有自旋的实验与事实；（2）正常（简单）和反常（复杂）Zeeman效应；（3）全同性原理；（4）全同粒子、玻色子与费米子；（5）Pauli不相容原理；（6）Pauli矩阵；51/14/2023P213的习题5题。（7）证明有关Pauli算符（角动量算符）的对易关系：（8）写出2个电子的自旋波函数。P213的习题6题或对于2个全同粒子、3个单粒子态的体系，忽略粒子间的相互作用，就玻色子系、费米子系、经典粒子系，写出可能的波函数。第五章微扰理论本章主要介绍了利用微扰法近似求解Schrödinger方程，以及利用变分法求基态的能量与波函数：一、微扰法：Hamilton算符可写成---61/14/2023（1）定态微扰论非简并情况---其中：是在表象的矩阵元。简并情况---通过解在中的本征（矩阵）方程：可得到能级的一级近似和相应波函数的零级近似：71/14/2023（2）含时微扰论其中：比较复杂，只考虑到了一级近似，可计算微观粒子受到微扰后从跃迁到的概率：二、变分法：利用基态是最低的能量状态，近似求基态能量和波函数：（1）选取含参量的试探波函数---，并计算微观粒子的能量---（2）变分求能量的最小值--（3）确定基态---81/14/2023三、参考题简答题---（1）Stark效应.P153的习题2（要求到二级近似）、3题。P122的例题：弱场中的谐振子。第四章态和力学量的表象本章学习了表象的概念，以及利用表象来表示量子力学：当很小时，计算Hamilton算符的能级至二级近似，波函数至一级近似。一、表象的概念（1）由于厄米算符的正交归一本征矢具有完备性，表象就是利用厄米算符的正交归一本征矢来表示态矢、算符、结论。91/14/2023（2）占有数表象---以粒子数算符的正交归一本征矢来表示量子力学。注意：产生和湮灭算符---特别是，对于一维线性谐振子---Dirac符号---态矢；算符；内积；厄米符正交归一本征矢的完备性。二、态矢、算符、公式的表示并记成列矩阵。（1）态矢在表象中的表示---（2）算符的表示---（厄米）方阵：特别是在自身表象中为对角矩阵，对角线上的元素是本征值。101/14/2023（3）算符本征方程的表示---矩阵方程：实为关于本征矢（列矩）为未知数的n为齐次线性方程组，解法如下：由久期方程求本征值；将本征值代入算符的矩阵方程，解齐次线性方程组，求相应的本征矢（列矩阵）。三、表象变换（1）变换矩阵------后表象的基按照前表象的基展开的系数作为变换矩阵的列。变换矩阵是么矩阵：（2）态矢的变换---（3）算符的变换---（4）表象变换的性质---不改变算符的本征值；不改变矩阵的迹；111/14/2023四、参考题简答题---（1）证明：表象变换不改变算符的本征值；（2）证明：表象变换不改变矩阵的迹；（4）求算符、，在坐标表象、动量表象中的矩阵元。（3）求态矢、在坐标表象、动量表象中的表示。第三章量子力学中的力学量本章学习了微粒的力学量的算符表示，以及力学量的测量：一、微粒的力学量要用厄米算符表示（1）由于力学量被包含在波函数内，因此力学量要表示成一种可对波函数进行运算或操作的符号---算符。又由于厄米算P117的习题5。121/14/2023符具有良好的性质：本征值是实数；本征矢正交归一；正交归一的本征矢是完备的。因此，微粒的力学量规定用厄米算符表示。常见算符的对易关系---常见算符的本征问题的解---（2）注意：算符的运算、波函数的内积---判断厄米算符---131/14/2023令：，则：氢原子：对于氢原子中的电子：14（1）在态（已归一）下，测量某力学量为系列可能值：，相应的概率为：，其中：1/14/2023二、力学量的测量（2）测量结果要表为平均值（也称期望值）：（3）测量结果不随时间变化，称力学量为运动恒量或守恒量：∵∴判断力学量是不是守恒量的条件为：守恒量与对称性密切相关，比如：空间平移对称→动量守恒；空间选择对称→角动量守恒；空间反演对称→宇称守恒；时间平移对称→能量守恒。151/14/2023（4）力学量的不确定程度用涨落或均方差表示：可以证明：【测不准关系式】比如：三、参考题P92的习题5、9题。设微粒处于态矢，求的可能值、概率和期望值。简答题---厄米算符的本征值是实数；厄米符属于不同本征值的本征函数正交；会判断算符是否为厄米算符；熟悉坐标、动量、轨道角动量算符间的对易关系；求的本征方程；熟悉守恒量的条件及其与对称性的关系；会证明、会写算符的测不准关系式；设态为，求。161/14/2023利用测不准关系式,估算一维线性谐振子的零点能。第二章波函数和Schrödinger方程本章学习了微粒运动状态的描述---波函数，以及其随时间变化的动力学方程---Schrödinger方程：一、用波函数来描述微粒的运动状态（1）Born对波函数的统计解释---微粒的波动性是概率波，在时刻处的单位体积内粒子出现的概率（概率密度）为。因此，波函数要满足连续、单值、有界的标准化条件。（2）因此，波函数可归一：（连续谱本征矢归一为Delta函数或用箱归一化）；也意味着：是相同的波函数，因为它们的相对概率分布一样。171/14/2023（3）波函数遵从态叠加原理---若和是微粒的波函数，则它们的线性组合也是微粒可能的波函数，且和分别表示处于和的概率。（4）波函数的概率流或粒子流密度---其表示单位时间内通过垂直于粒子运动方向单位面积的概率或粒子数。二、Schrödinger方程（1）建立微观粒子运动波函数随时间变化的动力学方程---S-方程。能写出微粒的Schrödinger方程。（2）当微粒的势能不显含时间，其能量具有确定值、作定态运动，动力学方程转换为定态S-方程---Hamilton算符的本征方程，可用分离变量法求解---波函数具有定态波函数的形式---181/14/2023（3）定态S-方程可严格求解的几种情况：一维无限深势阱；一维线性谐振子；转子；氢原子。（4）用定态S-方程计算量子隧道效应：隧道效应的现象与描述---透射系数与反射系数；方形势垒、Delta势垒隧道效应的计算。三、参考题P44的习题3、6题；P92第5题。Delta势垒的隧道效应计算；简答题---量子隧道效应；概率流或粒子流密度及其计算；写微粒的Schrödinger方程；判断波函数是否为同一波函数；波函数的统计解释；波函数的标准化条件；态叠加原理及其理解；定态波函数的形式。191/14/2023第一章绪论本章学习了微观粒子的波粒二项性，以及量子力学的建立：一、微观粒子的波粒二项性（1）量子力学研究微观粒子的运动规律，其基于微粒具有波粒二项性：1927年，Davisson、Germer、G.P.Thomson等人的电子衍射实验，表明电子具有波动性，因此电子具有波粒二项性。黑体辐射、光电效应与Compton效应的实验规律与事实，均表明光具有粒子性，因此光具有波粒二项性，且满足---201/14/2023（2）1924年，deBroglie提出物质波---实物粒子具有波动性，因此微观粒子具有波粒二项性，而且：粒子性是指具有能量、动量等性质，波动性是指能干涉、衍射等；给定能量，计算德布罗意波长。二、量子力学的建立量子力学建立在微观粒子具有波粒二项性的基础上：1926年，Schrödinger建立波动力学；稍早