n阶行列式的计算方法

阶行列式的计算方法徐亮（西北师大学数信学院数学系，730070）纲要：本文归纳总结了n阶行列式的几种常用的卓有收效的计算方法，并举列说了然它们的应运．要点词：行列式，三角行列式，递推法，起落阶法，得蒙行列式TheCalculatingMethodoftheN-orderDeterminantXuLiang(CollegeofMathematicsandInformationScience，NorthwestNormalUniversity，Lanzhou730070，Gansu，China)Abstract:Thispaperintroducessomecommonandeffectivecalculatingmethodsofthen-orderdeterminantbymeansofexamples.Keywords:determinant;triangulairedeterminant;upanddownorder;vandermondedeterminant行列式是谈论线形方程组理论的一个有力工具，在数学的好多分支中都有这极为广泛的应用，是一种不可以缺少的运算工具，它是研究线性方程组，矩阵，特征多项式等问题的基础，熟练掌握行列式的计算是特别必要的．行列式的计算问题多种多样，灵便多变，需要有较强的技巧．现介绍总结的计算n阶行列式的几种常用方法．1．定义法应用n阶行列式的定义计算其值的方法，称为定义法．依照定义，我们知道n阶行列式a11a12La1na21a22La2n(1)(j1j2Ljn)a1ja2jLanj．MMLM12nj1j2Ljnan1an2Lann这里表示对1,2,L,n组成的所有排列j1,j2,L,jn求和．j1j2Ljn例1．计算n阶行列式a1b1a1b2La1bnDna2b1a2b2La2bn．MMLManb1anb2Lanbn解：当n1时，Da1b1；当n2时，Da1a2b2b1；当n3时，a1b1a1b2La1bnrir1a2a1a2a1La2a1Dni2,L,nMML0Mana1ana1Lana1(rir1)表示第一行乘(1)加到各行上．故a1b1n1Dn(a1a2)(b1b2)n2．0n3由定义知n阶行列式的张开式有n!项，计算量很大，它主要应用于行列式中好多元素为零的情况．2．提公因式法依照行列式的性质，把一个行列式中某行（列）所有元素的公因子提到列式符号的外边的方法称为提公因式法．即a11a12La1na11a12La1nMMLMMMLMai1ai2Lainai1ai2LainMMLMMMLMan1an2Lan3an1an2Lan3例2．计算n阶行列式abbLbbabLbDnbbaLb．MMMLbbbbLa解：abbLbabLDnbbaLMMMLbbbL

b(n1)ba(n1)bLa(n1)babr1r2LrnbaLbbMMLMMbbLaa111L1100L0babLbbab0L0a(n1)bbbaLba(n1)bb0abL0MMMLMMMMLMbbbLab00Laba(n1)b(ab)n13．化三角形法利用行列式的性质，将行列式化为上（下）三角行列式，尔后再计算行列式的值的方法称为化三角形法．此种方法是把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积．所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素所有等于零的行列式，三角形行列式的值简单求得，涉及主对角线的n阶行列式等于主对角线上元素之积，涉及次nn1对角线的n阶行列式等于次对角线上的元素之积且带符号(1)2．总结以下：a10a1a10（1）O=O=O=a1a2an．0an0anan（对角形）（上三角形）（下三角形）0a1a10a1nn1（）N=N=N=12a1a2an．2an0an0an（次对角形）（次上三角形）（次下三角形）例3．计算n阶行列式abLbDnbaLb．MMLMbbLa解：将行列式的第i列都加到第1列，i2,3,L,n，可知第1列元素都相同，再提出公因式an1b，得1bLbDnan1b0abL0MMLM00Laban1ban1b例4．计算n阶行列式x1mx2x3Lxnx1x2mx3LxnDx1x2x3mLxn．MMMLMx1x2x3Lxnm解：将行列式的第i列都加到第1列，i2,3,L,n，第1列元素都相同，再提n出公因式xim，得i1nximx2x3Lxn1nximx2mx3Lxni1DnLximx2x3mxni1MMMLMnximx2x3Lxnmi11x2x3Lxnn1x2mx3Lxnxim1x2x3mLxni1MMMLM1x2x3Lxnm1x2x3Lxnn0m0L0Lxim00m0i1MMMLM000Lmnn1ximmi14．降阶法利用行列式的性质，将行列式的阶数化低；尔后再计算行列式之值的方法称为降阶法．依照行列式按行（列）张开法规：n阶行列式D等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和．即Dai1Ai1ai2Ai2LainAini1,2,L,nDa1jA1ja2jA2jLanjAnjj1,2,L,n值得注意的是在使用时应先利用行列式性质，将某一行（列）元素尽可能多地化成零，尔后再张开，使计算简略．例5．计算n阶行列式xy0L000xyL00Dn00xL00．MMMLMM000Lxyy00L0x解：将行列式按第一列张开，得xyL00y0L000xL00n1xyL00DnxMMLMM1yMMLMM00Lxy00Ly000L0xn100Lxyn1xn1n1yn例6．计算n阶行列式123Ln234L1D345L2MMMLMn12Ln1解：将行列式的第i列都加到第1列，i2,3,L,n，再从第1列中提出公因式nn1，得2123Lnnn1134L1D145L22MMMLM112Ln1从第n1行开始，各行乘1加到下1行，得：123Ln11L1n011L1nnn11L1111Lnn1D01MMLM2MMML2ML01n1L1n11n11n1n212

nn1D121n1L1其中D111nL1MML．M11L1nn1将D1用三角形法各行减去第1行，得1n1L11n1L1nnnnnL0n1n11L0D1MLMMMMLMn0Lnn110L1n11nn21L1nnnnn1n101L0nn2.nnMMLM00L1n1将D1代入式，得n1n2D12

nn1n1n2nn1n1n121n1n.225．升阶法前面介绍了在计算行列式时利用依行（列）张开定理使行列式降阶，从而使问题简化．有时与此相反，即在原行列式的基础上增加一行（列），使其升阶构造一个简单计算的新行列式，从而求出原行列式的值，这种计算行列式的方法称为升阶法．凡可利用升阶法计算的行列式拥有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行元素成比率．升阶时，新行（列）由哪些元素组成，添加在那个地址，这要依照原行列式的特点作出合适的选择．例7．计算n阶行列式ca12a1a2La1anDna2a1ca22La2an．MMLMana1ana2Lcan2解：将原行列式增加1行1列，得1a1a2Lan0ca12a1a2La1anDn0a2a1ca22La2an，MMMLM0ana1ana2Lcan2将第1行乘(ai)后，加到第i1行，得1a1a2Lana1c0L0Da20cL0，MMMLMan00Lc将行列式的第j列分别乘c1aj1，j2,3,L,n1，加到第1列，就可以变为上三角形行列式，其对角线上的元素为1c1nai2,c,c,L,c．i1nn得Dncn1c1ai2cncn1ai2．i1i1例8．计算n阶行列式1a111L111a21L1D111a3L1．MMMLM111L1an解：将原行列式增加1行1列，得1111L101a111L1011a21L1D111a3L，01MMMMLM0111L1an将第1行乘1加到其余各行上去，得1111L11a100L0D10a20L0，L100a30MMMMLM1000Lan将第i列分别乘1，i2,3,L,n1，所有加到第1列，得ai1n1111L1aii10a100L0D00a20L0，000a3L0MMMMLM0000Lan变化为上三角形行列式，得D1n1a1a2an．i1ai例9．计算n阶行列式xa1a2a3Lana1xa2a3LanDa1a2xa3Lan．MMMLMa1a2a3Lxan解：将原行列式增加1行1列，得1a1a2a3Lan0xa1a2a3Lan0a1xa2a3Lan，Da1a2xa3Lan0MMMMLM0a1a2a3Lxan将第i行，i2,3,L,n，减去第1行，得1a1a2a3Lan1x00L0D10x0L0，100xL0MMMMLM1000Lx将第j列乘1，j2,3,L,n，加到第1列，得x11naia1a2a3Lanxi10x00L01nnD00x0L0xn1aixn1xai．000xL0xi1i1MMMMLM0000Lx若x0，显然D0，故上式对所有x都成立．6．递推法利用行列式的性质，把某一行列式表示为拥有相同结构的较低阶行列式的关系式（称为递推关系），依照所获得的递推关系式及低阶某初始行列式的值，即可递推求得所需的结果，这种方法称为递推法．例10．计算n阶行列式abab0L001ababL00Dn01abL00．MMMLMM000Labab000L1ab解：将行列式按第1行张开，得1abL000abL00DnabDn1abMMMMM00Labab00L1ababDn1abDn2于是获得一个递推关系DnabDn1abDn2变形得DnbDn1aDn1bDn2则DnbDn1aDn1bDn2a2Dn2bDn3Lan2D2bD1an22abbabanab所以DnanbDn1，据此再递推，得Dnanban1bDn2anan1bb2Dn2Lanan1bLa2bn2bn1D1anan1bLa2bn2abn1bn７．翻开法利用行列式的性质，按某一行（列）将已知行列式拆为易于求值的若干行列式的和的方法，称为翻开法．即把某一行（列）的元素写成两个元素的和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化，易于计算．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和．即a11a12La1na11a12La1na11a12MMLMMMLMMMa1b1a2b2Lanbna1a2Lanb1b2MMLMMMLMMMan1an2Lannan1an2Lannan1an2例11．计算n阶行列式0aaLab0aLaDnbb0La．MMMLMbbbL0解：将第n列元素写成两个元素的和，即0aaLa0b0aLa0Dnbb0La0，MMMLMbbbLaa依照行列式的性质，得0aaLa0aaL0b0aLab0aL0Dnbb0Labb0L0MMMLMMMMLMbbbLabbbLa0aaL10aaL0b0aL1b0aL0abb0L1bb0L0MMMLMMMMLMbbbL1bbbLa

a1nLMLbnMLann对上面的第一个行列式，将第n列乘b加到其余各列上；对第二个行列式按第n列张开，得：bababL10aaLa0babL1b0aLaDna00bL1abb0LaMMMLMMMMLM000L1nnbbbL0n1n1n1aDn1ab于是获得第一个递推关系Dnan1baDn1若是将Dn按下面方式拆项，又获得bbaaLabaaLabaaLab00aLab0aLa00aLaDnb0b0Labb0La0b0LaMMMLMMMMLMMMMLMb0bbL0bbbL00bbL0又获得另一个递推关系Dnbn1bDn1aDnan1aDn故有递推关系式b1Dnbn1bDna1当ab时，解得Dnn1aa3bLabn3bn21aban21n1an1bn1abab当ab时，解得Dnn1aa2Lan2an21a2an21n11ann例12．计算n阶行列式xaaLaaxaLaDnaaxLa．MMMLMaaaLx解：将Dn的第n行可写成0a,0a,L,0a,xaa，则：xaaLaxaaLaaxaLaaxaLaDnaaxLaaaxLa，MMMLMMMMLM000LxaaaaLa对第一个行列式，按最后1行张开；对第二个行列式，将最后1列分别加到第1列，第2列，L，第n-1列，再按最后1行张开，得：DnxaDn1n11axa若将Dn的第n列写成0a,0a,L,0a,xaa，则DnxaDn1n12axa由以上1,2两式，可解得Dn1nn2xaxa８．换元法将行列式的元素进行变换，尔后再计算行列式之值的方法，称为换元法．这种方法主要依赖于行列式的下述性质：a11x1La1nxna11La1nnnMLMMLMxjAkj．an1x1Lannxnan1Lannj1k1a11La1n其中Akj为元素akj在行列式MLM中的代数余子式．an1Lann特其余，若是x1x2Lxn，则上式变为a11xLa1nxa11La1nnnMLMMLMxAkj．an1xLannxan1Lannj1k1例13．计算行列式a1xxLxxa2xLxDnxxa3Lx．MMMLMxxxLan解：将Dn的所有元素减去x，得a1x00L00a2x0L0D00a3xL0，MMMLM000LanxD的非主对角线元素的代数余子式等于零，而每一个主对角线元素的代数余子式等于主对角线其余元素的积，则：nnDna1xa2xa3xLanxxAijn1xaixi1x

i1j111aix9利用德蒙（Vandermonde）行列式出名的德蒙行列式，在线性代数中占有重要的地位，在计算行列式的时候，可以直接利用其结果．德蒙行列式的形式和结果为111L1x1x2x3Lxnx12x22x32Lxn2xixj．MMMLM1jinx1n1x2n1x3n1Lxnn1例14．计算n阶行列式111L1x1x11x2x21x3x31Lxnxn1Dnx12x11x22x21x32x31Lxn2xn1．MMMLMx1n1x11x2n1x21x3n1x31Lxnn1xn1解：将第1