云南省昆明市明兴学校2022年高二数学文下学期期末试题含解析

云南省昆明市明兴学校2022年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知x1，x2分别是函数f（x）=x3+ax2+2bx+c的两个极值点，且x1∈（0，1）x2∈（1，2），则的取值范围为（）A．（1，4） B．（，1） C．（，） D．（，1）参考答案：D【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，明确目标函数的几何意义，即可求得结论．【解答】解：求导函数可得f'（x）=x2+ax+2b，依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，2），等价于f'（0）＞0，f'（1）＜0，f'（2）＞0．∴满足条件的（a，b）的平面区域为图中阴影部分，三角形的三个顶点坐标为（﹣1，0），（﹣2，0），（﹣3，1）的取表示（a，b）与点（1，2）连线的斜率，由图可知斜率的最大值为=1，最小值为=，故选：D．2.函数有(

)A．极大值，极小值

B．极大值，极小值C．极大值，无极小值

D．极小值，无极大值

参考答案：C略3.不等式的解集非空的一个必要而不充分条件是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D4.设，则（）．A． B． C． D．不存在参考答案：C由已知可得．故选．5.已知命题p：?x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：?x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】由题设条件，先判断出命题p：?x∈R，x﹣2＞lgx是真命题，命题q：?x∈R，x2＞0是假命题，再判断复合命题的真假．【解答】解：当x=10时，10﹣2=8＞lg10=1，故命题p：?x∈R，x﹣2＞lgx是真命题；当x=0时，x2=0，故命题q：?x∈R，x2＞0是假命题，∴题pVq是真命题，命题p∧q是假命题，命题pV（￢q）是真命题，命题p∧（￢q）是真命题，故选D．6.由直线y=x+l上的点向圆引切线，则切线长的最小值为

(A)

(B)

(C)

(D)；参考答案：A7.已知向量∥，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知集合（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2，,960分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷,编号落入区间[451,750]的人做问卷,其余的人做问卷.则抽到的人中,做问卷的人数为

（）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.直线的斜率为（

）． A． B． C． D．参考答案：C由，可得，斜率．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.三个数720,120,168的最大公约数是

。参考答案：2412.若正数m，n满足，则的最小值是______________．参考答案：【分析】条件等式化为，利用基本不等式可得关于的不等式，解不等式可得.【详解】因m,n为正数，所以，即.因为，所以即，即，所以，化简得，又m,n为正数，所以（当且仅当时取等号），所以.故答案为.【点睛】本题考查运用基本不等式求最值，对已知式恰当变形利用基本不等式建立所求式的不等式关系是解题关键，考查运算能力，属于难题.13.求定积分：

▲

．参考答案：14.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.参考答案：试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），所以.【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.15.已知双曲线，则它的渐近线方程是

.参考答案：略16.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则.参考答案：略17.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①有水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是

．参考答案：①③④

【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，由此分析可得结论正确；②水面四边形EFGH的面积是改变的；③利用直线平行直线，直线平行平面的判断定理，容易推出结论；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．【解答】解：根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的形状成棱柱形，故①正确；水面四边形EFGH的面积是改变的，故②错误；因为A1D1∥AD∥CB∥EH，A1D1?水面EFGH，EH?水面EFGH，所以A1D1∥水面EFGH正确，故③正确；由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE面积不变，即当E∈AA1时，AE+BF是定值．故④正确．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，PA⊥平面ABC，E是PC的中点，，PA=AC=1．（1）求证：AE⊥PB；（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由线面垂直得PA⊥BC，由圆O的直径，得AC⊥BC，从而AE?平面PAC，进而BC⊥AE，由等腰三角形性质得AE⊥PC，由此能证明AE⊥PB．（2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF，推导出∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC∴PA⊥BC，又AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，又PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC，又AE?平面PAC∴BC⊥AE…∵PA=AC，E是PC的中点∴AE⊥PC，又BC∩PC=C∴AE⊥平面PBC，又PB?平面PBC∴AE⊥PB．…解：（2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF又由（1）得AE⊥PB，AE∩AF=A∴PB⊥平面AEF，又EF?平面AEF∴PB⊥EF，又AF⊥PB∴∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角…∵在Rt△PAC中，PA=AC=1，则，在Rt△PAB中，PA=1，，同理得∴在Rt△AEF中，故二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．…19.已知数列，，…，，为该数列的前n项和.（1）计算，，，；（2）根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明.参考答案：（1）．（2）猜想，用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想成立；②假设当时，猜想成立，即，当时，故当时，猜想成立．由①②可知，对于任意的，都成立．

20.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）法一：由AA1⊥AB，AB⊥AC，得AB⊥平面ACC1A1，从而A1C⊥AB，又A1C⊥AC1，由此能证明A1C⊥平面ABC1．法二：以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明A1C⊥平面ABC1．（Ⅱ）求出平面A1BC1的法向量和平面ABC1的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC1﹣A1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）证法一：由已知AA1⊥AB，又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，…（2分）∴A1C⊥AB，又AC=AA1=4，∴A1C⊥AC1，…∵AC1∩AB=A，∴A1C⊥平面ABC1；

…证法二：由已知条件可得AA1、AB、AC两两互相垂直，因此以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，…（1分）则A（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），A1（0，0，4），C1（4，0，4），∴，，，…∵，且，…∴，且，∴A1C⊥平面ABC1；

…（6分）解：（Ⅱ）∵，，设平面A1BC1，则，取y=4，得；

…（8分）由（Ⅰ）知，为平面ABC1的法向量，…（9分）设二面角A﹣BC1﹣A1的大小为θ，由题意可知θ为锐角，∴．…（11分）即二面角A﹣BC1﹣A1的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.已知椭圆E：(a>b>0),以F1（-c,0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0,b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N.(1)若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1(0,-b)时，求此椭圆的离心率;(2)若直线MN的斜率为-1,且原点到直线MN的距离为4（-1）,求此时的椭圆方程；(3)是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间(-)内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）圆F1的方程是（x+c）2+y2=(a-c)2,因为B2M、B2N与该圆切于M、N点，所以B2、M、F1、N四点共圆，且B2F1为直径，则过此四点的圆的方程是(x+)2+(y-)2=,从而两个圆的公共弦MN的方程为cx+by+c2=(a-c)2,又点B1在MN上,∴a2+b2-2ac=0,∵b2=a2-c2,∴2a2-2ac-c2=0,即e2+2e-2=0,∴e=-1.