中考数学全等三角形的性质及判定

全等三角形的性质及判定一■知识讲解1.全等三角形的概念及性质(1)全等形的概念：两个能够完全重合的图形叫做全等形。(2)全等形的性质：全等图形的形状和大小都相同。(3)全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。如果AABC能与村BC全等，记作AABC0AA，BC。(4)全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。(5)表示方法：符号“0”读作“全等于"，如△ABC和^DEF全等，记作△ABC/△DEF,如图，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，AB和DE、BC和EF,AC和DF是对应边，/A和ND、/B和NE、/C和NF是对应角。(6)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。2.三角形全等的判定(1)边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等，简写成，边边边”或“SSS”。①书写格式：在列举两个三角形全等的条件时，把三个条件按顺序排列，并用大括号将它们括起来，如：^AB=AB在AABC和AABC中，［AC=AC,AAABC0AABC(SSS)BC=BC(2)边角边公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。(3)角边角公理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ASA”。(4)角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“AAS”。

(5)直角三角形全等的条件:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。3、要点补充要点1用“SAS”判断两个三角形全等的条件是两条边以及这两条边的夹角对应相等，应特别注意其中的夹角是两对应边的夹角而不是其中一边的对角。用'ASA”定理来判断两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边对应相等；用'AAS”定理来判断两个三角形全等，要注意边是其中一角的对边。要点2应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”一般三角形全等的条件对直角三角形同样适用，但“HL”定理只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用。要点3两个三角形不一定全等的情况：①在两个三角形中三对边和三对内角对应相等这六个元素中满足其中一个或两个对应相等，那么这两个三角形不一定全等。②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。③有三个内角分别对应相等的两个三角形不一定全等。二.角平分线知识讲解(1)已知/AOB，求作(1)已知/AOB，求作NAOB的角平分线:①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。……… …一1②分别以M,N为圆心，以大于一MN长为半径作弧，在NAOB的内部两2弧交于点C。③过O、C两点作射线OC,射线OC就是所求角的角平分线。.角平分线的性质及判定(1)角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

（2）角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。.三角形的角平分线的性质（1）三角形的三个内角角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。（2）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。（3）三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点有4个。4、要点补充要点1角平分线是一种对称模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式:.由角平分线上的一点向角的两边作垂线；.过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；.截取04=OB，这种对称的图形应用得也较为普遍。BB三、典型例题：【例题1】图中是大小相等的两个矩形，请你判断出哪一个阴影部分的面积较大（）BB.乙图的阴影面积大D.以上都不对4甲图的阴影面积大C.甲、乙图的阴影面积相等【变式1】如图所示，A4BC/△AEF,AB=AE,ZB=NE,在下列结论中，不正确的是（ ）

ZEAB=ZZEAB=ZFACBC=EFZBAC=ZCAFZAFE=ZACB【例题2】OC是ZAOB的平分线，P是OC上一点，PD±OA，垂足为点D，PE±OB，垂足为点E,点M，N分别在线段OD和射线EB上，PM=PN,ZAOB=68°,求ZMPN的度数.数.【变式1】尺规作图作ZAOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA,一…一，，一，一1 OB于C,D，再分别以点C,D为圆心，以大于—CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射2线OP由作法得4OCP/△ODP的根据是（ ）A.SSSB.ASAC.SASD.AAS【变式2】如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全【变式3】如图，在"BC和^ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE，求证："BDSACE.

【例题3】如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN,图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明.【变式】如图，在△ABC中，/ACB=90°,AC=BC,BE±CE于点E.AD±CE于点D.B【例题4】为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）A.仅有一处 B.仅有四处 C.仅有七处 D.仅有三处【例题5】如图，^ABC中，AB=AC,NBAC=90°,点D是直线AB上的一动点(不和A、B重合)，BELCD于E,交直线AC于F.(1)点D在边AB上时，证明:AB=FA+BD；⑵点D在AB的延长线或反向延长线上时，(1)中的结论是否成立？若不成立，请画出图形并直接写出正确结论.【例题6】在^ABC中，AB=AC,以BC为边作等边△BD