中考复习6旋转专题

NBPC、NCPA的大小之比为5:6:7,则以PA、PB、PC为（2）在等边4ABC中，NBPC、NCPA的大小之比为5:6:7,则以PA、PB、PC为（2）在等边4ABC中，P为BC边上一点，设以AP、BP、CP为边组成的新三角形的最大内角为0,则（）A.0三90°B.0<120°C.0=120°D.0=135°旋转专题【类型一】旋60。，造等边例1、如图，设P是等边AABC内的一点，PA=3,PB=4,PC=5，则ZAPB的度数是例2、（1）如图，P是等边^ABC内一点，NAPB、边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）.A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.以上结果都不对例3、如图所示.^ABD是等边三角形，在4ABC中，BC=a,CA=b，问：当NACB为何值时，C,D两点的距离最大？最大值是多少？

例4、(1)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=60°,ZBCD=120°,证明：BC+DC=AC.(2)如图，四边形ABCD中，= 乙45C=6(r,P为四边形ABCD内一点，且/AP。=120。.证明:PA+PD+PC>BD.检测1、如图，P为等边^ABC内一点，ZAPB=113°,ZAPC=123°求证：以AP,BP,CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.检测2、如图，在四边形ABCD中，ZABC=30°,ZADC=60°,4。=.证明：.【类型二】旋90。，造垂直例5、如图，以RtAABC的斜边BC为一边在AABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连接AO,如果AB=4,AO=6近,那么AC的长等于。例6、如图,P为正方形ABCD内一点，若PA=a,PB=2a,PC=3a(a>0).(1)求/APB的度数;⑵求正方形ABCD的面积.例7、如图，己知DE是等腰RTAABC斜边BC所在直线上的两点，满足NDAE=135°证明CD2+BE2=DE2检测1、在图中，把一副直角三角板ABC和EFG（其短直角边长均为4）叠放在一起（如图⑴），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕点O顺时针旋转（旋转角建满足条件:0°<«<90。），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图⑵）.⑴在上述旋转过程中,BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化?证明你发现的结论；⑵连接HK,在上述旋转过程中，设BH=%,AGKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；1（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使AGKH的面积恰好等于AABC面积的一？若存在，求出此时％的16值；若不存在，说明理由.琪。）检测2、如图,等腰直角AABC中，ZABC=90。,点P在AC上,将AABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90。后得至UACBQ.（1）求ZPCQ的度数；⑵当AB=4,AP:PC=1:3时，求PQ的大小；

⑶当点P在线段AC上运动时(P不与A、C重合)，请写出一个反映PA2,PC2,PB2之间关系的等式,并加以证明.AQ【类型三】旋180。，造中心对称例8、如图1,在AABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B,P在直线a的异侧，BM±直线a于点M.CN1直线a于点N,连接PM,PN.(1)延长MP交CN于点E(如图2).(1)求证：ABPM=ACPE；⑵求证：PM=PN；⑶若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B,P在直线a的同侧,其它条件不变,此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立,请说明理由；(4)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变,请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗?不必说明理由.例9、请阅读下列材料：问题:如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若ZABC=ZBEF=60。，探究PG与PC的位置关系及PG的值.PC小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PG的值；PC⑵将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在⑴中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明；⑶若图1中ZABC=ZBEF=2a(0。<a<90。),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出PG的值(用含a的式子表示).PC检测1、如图，等边4ABC,其边长为1, D是BC中点，点E,F分别位于AB,AC边上，且NEDF=120°.(1)直接写出DE与DF的数量关系；(2)若BE,DE,CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；(要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可)(3)思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.检测2、已知RtAABC中，AB=BC,在RtAADE中，AD=DE,连接EC,取EC中点M,连接DM和BM,（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BMXDM；⑵如图①中的^ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.【类型四】大角夹半角例10、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角AABC中，AB=AC，ZBAC=90。，小敏将一块三角板中含45。角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角a，其中三角板斜边所在直线交直线BC于点。，直角边所在的直线交直线BC于点E.（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分ZBAM，则AE也平分ZMAC。请你证明小敏发现的结论。（2）当0。时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2。同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将AABD沿AD所在的直线对折得到AADF，连接EF（如图2）。小亮的想法：将AABD绕点A顺时针旋转90。得至1」AACG，连接EG（如图3）。请你从中任选一种方法进行证明。（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°<a<135。且aw90。时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：当135o<a<180。时（如图4）等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由。

检测1、如图，正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上两个动点（不与B、C、D重合），连接AE、AF,分别交BD于H、C两点，已知NEAF=45°,下列结论：①AE平分NBEF；②BE+DF>CE+CF；③AG-AF=AH-AE；®DG2+BH2=GH2其中正确的结论是（）A.①②B.①②③C.②③④D.①③④1.检测2、如图在五边形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA,ZCAD=-ZBAE,求/BAE的度数。2C D【类型五】旋转任意角例11、如图1,在RtAABC中，ZB=90。，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE。将AEDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a。一. „. .AE „. .AE（1）问题发现。①当a=0。时，——= ；②当a=180。时，——= 。BD BDAE..（2）拓展探究。试判断：当0°<a<360。时，——的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明。BD（3）问题解决。当AEDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长。SBC（图1）（备用图）检测1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF±BD交BC于F，连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.（1）求证：EG=CG；（2）将图（1）中ABEF绕B点逆时针旋转45。，如图⑵所示，取DF中点G，连接EG,CG.问（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立,请说明理由；⑶将图（1）中ABEF绕B点旋转任意角度,如图（3）所示,再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）.检测2、如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点。分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE。

(1)求证：DE1AG。(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转a角(0。<&<360。)得到正方形OEFG',如图2。①在旋转过程中，当ZOAG'是直角时，求a的度数。②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF'长的最大值和此时a的度数，直接写出结果不必说明理由。G图1G图1【综合练习】1、在4ABC中，AB=AC,ZBAC=90。，点D在射线BC上(与B、C两点不重合)，以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G.(1)若点D在线段BC上，如图1.①依题意补全图1；②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；(2)若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE,ABK,2，则GE的长为，并简述求GE述求GE长的思路.2、如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b三2a)，且点F在AD上(以下问题的结果均可用a,b的代数式表示).(1)求S(1)求SADBF(2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S ；ADBF(3)把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，SaDBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由.3、四边形ABCD中，AB=BD=AD,ZBCD=30°，求证：DC2+BC2=AC2.4、已知，AABC中，AC=BC,ZACB=90°,D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF±DE,交直线BC于F点.G为EF的中点，延长CG交AB于点H.(1)若E在边AC上.试说明DE=DF；⑵试说明CG=GH；5、已知矩形ABCD中AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处。（1）如图1,已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、AO，若AOCP与APDA的面积比为1:4，求边CD的长。（2）如图2,在（1）的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上（点M不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME±BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度。图1图？B

图1图？B6、数学活动课上，某学习小组对有一内角为120。的平行四边形ABCD（/BAD=120。）进行探究：将一块含60。的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60。角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）。（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①ABCE=AACF，②AE+AF=AC。（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH1AD于点H，求证：AE=2FH。（3）深入探究探究得AE+3AF： 的值为常数t，则t探究得AE+3AF： 的值为常数t，则t=AC7、如图，AABC是边长为3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，且ZBDC=120。.以D为顶点作一个60。角,使其两边分别交AB于点M，交