圆锥曲线大题解析策略(理科)

圆锥曲线大题解析策略(理科)

圆锥曲线大题类型解析策略（1）中点弦及弦长问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.【例1】已知椭圆,求以点P(2,1)为中点的弦所在的直线方程.(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝_____________________＝_________________＝·|y1－y2|(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线的方程．解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解．【典型例题】(2012·北京卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．解(1)由题意得解得b＝.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝.所以|MN|＝＝＝.又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝.由＝，解得k＝±1.（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C______；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C.(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．【典型例题】已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.(I)求直线FM的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.解析：(I)由已知有，又由，可得，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得.(II)由(I)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为()设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.当时，有，因此，于是，得当时，有，因此，于是，得综上，直线的斜率的取值范围是考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.【训练1】平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1.记点M的轨迹为C.（Ⅰ）求轨迹为C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线过定点.求直线与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.【解析】（Ⅰ）设点，依题意得，即，化简整理得.故点M的轨迹C的方程为（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记，.依题意，可设直线的方程为由方程组可得①（1）当时，此时把代入轨迹C的方程，得.故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.（2）当时，方程①的判别式为.

②设直线与轴的交点为，则由，令，得.

③（ⅰ）若由②③解得，或.即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.（ⅱ）若或由②③解得，或.即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点.当时，直线与有两个公共点，与没有公共点.故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点.（ⅲ）若由②③解得，或.即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点.

【训练2】（15年福建理科）已知椭圆E：过点，且离心率为．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．解析：解法一：(Ⅰ)由已知得

解得所以椭圆E的方程为．故所以，故G在以AB为直径的圆外．解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设点，则由所以从而所以不共线，所以为锐角.故点G在以AB为直径的圆外．（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．【典型例题】（15年山东理科）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q.（ⅰ）求的值；（ⅱ）求面积最大值.解析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为可知，而则，左、右焦点分别是,圆：圆：由两圆相交可得，即，交点，在椭圆C上，则，整理得，解得（舍去）故椭圆C的方程为.（Ⅱ）（ⅰ）椭圆E的方程为，设点，满足，射线，代入可得点，于是.（ⅱ）点到直线距离等于原点O到直线距离的3倍：

，得，整理得，当且仅当等号成立.而直线与椭圆C：有交点P，则有解，即有解，其判别式，即，则上述不成立，等号不成立，设，则在为增函数，于是当时，故面积最大值为12.

【训练1】如图,O为坐标原点,椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2:-=1的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为e2.已知e1e2=,且|F2F4|=-1.(1)求C1,C2的方程.(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点.当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.【解析】(1)由题意可得e1=,e2=,且=2,

因为e1e2=,且=-,所以=且-=-1,解得a=2b,b=1,a=,所以椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的方程为-y2=1.(2)由(1)可得F2,因为直线AB不垂直于y轴,所以设直线AB的方程为x=ny-1,联立直线与椭圆方程可得y2-2ny-1=0,

则yA+yB=,则yM=,因为AB为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得=+x1++x2=,因为M在直线AB上,所以xM=-1=,即M.则直线PQ的方程为y=x⇒y=-x,联立方程组消去y整理得,x2=,y2=,设点P,Q,

则点P,Q到直线AB的距离之和为h=+,因为P,Q在直线AB的两侧,且关于原点对称,所以<0,且xP=-xQ,yP=-yQ,所以h=+====,所以四边形APBQ的面积为S=·h=··=2.因为0<2-n2≤2,故当n=0时,Smin=2.综上所述,四边形APBQ的面积的最小值为2.【训练2】如图,设椭圆C:+=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标.

(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.【解析】(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,由于l与C只有一个公共点,故Δ=0,

即b2-m2+a2k2=0,所以m=,解得点P的坐标为P,,又点P在第一象限,故点P的坐标为P,.(2)由于直线l1过原点O且与直线l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离d==,因为a2k2+≥2ab,所以≤=a-b,

当且仅当k2=时等号成立.所以,点P到直线l1的距离的最大值为a-b.（5）求曲线的方程问题——这类问题一般可用待定系数法解决。【典型例题】（15年陕西理科）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（I）求椭圆的离心率；

（II）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过点，，求椭圆的方程．解析：（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，则原点O到直线的距离，由，得，解得离心率.(II)解法一：由（I）知，椭圆E的方程为.

(1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得设则由，得解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆E的方程为.【训练】设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.（I）求E的离心率e；（）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.（6）存在性问题（探求性问题）【典型例题】（15年新课标2理科）已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。解：设直线：，，，由得，故，，因此，即。所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值；四边形能为平行四边形。因过点，故不过原点且与有两个交点的充要条件是，。由得：，设的横坐标为，由得，即。将点的坐标代入的方程得，因此。四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即，于是，解得，。因，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形。【训练】(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．解(1)因为e＝＝＝，所以a2＝3b2，即椭圆C的方程可写为＋＝1.设P(x，y)为椭圆C上任意给定的一点，则d＝＝＝(－b≤y≤b)．

当－b≤－1，即b≥1，dmax＝＝3得b＝1；当－b>－1，即b<1，dmax＝＝3得b＝1(舍)．∴b＝1，a＝，

(5分)故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)存在点M满足要求，使△OAB的面积最大．假设存在满足条件的点M，因为直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，则圆心O到l的距离d＝<1.

(8分)因为点M(m，n)在椭圆C上，所以＋n2＝1<m2＋n2，于是0<m2≤3.因为|AB|＝2＝2，所以S△OAB＝·|AB|·d＝＝≤＝，当且仅当1＝m2时等号成立，所以m2＝∈(0,3]．因此当m＝±，n＝±时等号成立．所以满足要求的点M的坐标为，，或，此时对应的三角形的面积均达到最大值.（7）定值问题

【典型例题】(2014·江西高考理科·T20)如图,已知双曲线Cn:-y2=1(a>0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程.(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N,证明点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.【解析】(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,

直线BF的方程为y=(x-c),解得B,又直线OA的方程为y=x,则A,kAB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,

故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=.因为直线AF的方程为x=2,

所以直线l与AF的交点M,直线l与直线x=的交点为N,,则===·,因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1代入上式得==·=·=,则所求定值为==.【训练】(2013·江西卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.(1)求椭圆