第10章-小波变换与多分辨率分析20160822

第十章小波变换与多分辨率分析

Chapter10Contents小波分析的发展简史连续小波变换离散小波变换多分辨率分析与Mallat算法二维离散小波分析小波包变换小波变换在图像处理中的应用小波分析的发展简史小波分析的发展简史：20世纪50年代起，傅里叶变换一直是图像频域分析的基石，但它无法描述信号的局部频率特征。为了研究信号在局部时间范围的频率特征，Gabor于1946年提出了短时傅里叶变换。20世纪80年代后期，小波变换应运而生，它能够对瞬变、非平稳、时变信号的频率特征进行更细致的分析，弥补了短时傅里叶变换在信号分析中的不足。小波是一种定义在有限时间且幅度平均值为零的函数。顾名思义，小波具有小和波动2个特点：“小”，表现在小波具有时域局部性；“波动性”，表现小波函数在时域上是正负交替的波。小波函数示意图连续小波变换小波与连续小波变换：对于函数

，如果

，则称

是一个小波。连续小波：设

，其傅里叶变换为

,并满足,则通过对小波函数

进行伸缩和平移来生成基函数

：式中，

称为基本小波，

称为尺度因子，

称为平移因子。小波函数

具有以下性质：由

，可知

，即

具有衰减性。特别地，

是局部非零紧支函数。由

，可知

，即

具有能量有限性。设

是小波，

是其傅里叶变换,若

在

连续,根据傅里叶变换定义,由

，可知

具有波动性。由

，可知

具有带通性。波形的尺度伸缩和时间平移(a)不同尺度的伸缩s=1、s=2和s=4(b)时间平移τ=1连续小波变换连续小波变换连续小波变换：设

是平方可积函数

，

是基本小波，连续小波变换定义为，式中，

是连续小波，

表示

的共轭函数，

表示函数

和小波函数

的内积，连续小波变换的系数也可记作

。连续小波变换的4个基本步骤：将小波函数

与待分析信号

的初始时刻对齐。计算当前时刻待分析信号与小波函数的小波变换系数

，该系数反映当前时刻的信号与小波函数的相似程度。将小波函数沿着时间轴向右平移时间

，产生小波函数

，重复步骤1和2，直至完成整个时间轴上的小波变换系数的计算。对小波函数

尺度

进行伸缩，产生小波函数为

，重复步骤1、2和3，计算所有尺度下的小波变换系数。

(a)步骤1和2(b)步骤3

(c)步骤4

(d)尺度为1的小波系数(e)尺度为1的小波系数连续小波变换的过程连续小波变换连续小波变换

(a)分段正弦信号(a)多普勒频移正弦信号(a)分形信号分段正弦信号及其变换系数图多普勒频移正弦信号及其连续小波变换系数图分形信号连续小波及其连续小波变换系数图

(b)连续小波变换系数图(b)连续小波变换系数图(b)连续小波变换系数图连续小波变换连续小波逆变换：对于小波变换而言，基本小波

满足允许条件(admissiblecondition)时：逆变换才存在。此时，才能由

反演原函数

：小波变换在频域上的解释：设，

，根据傅里叶变换的尺度性，

，利用卷积定理，连续小波变换的等效频域定义为，从频域上看，连续小波变换相当于用不同尺度的一组带通滤波器·对信号进行分解滤波，将待分析信号分解为一系列频带上的信号，而连续小波逆变换则是从分解到各个频带的信号重建原信号。多普勒信号的连续小波变换近似(a)连续小波变换系数连续小波变换(b)用前10个系数重建的信号(c)用后10个系数重建的信号连续小波变换小波函数的傅里叶分析：设

，

，根据傅里叶变换的尺度性和时移性，可知

与

的关系为，Marr小波的表达式为，

它的傅里叶变换为，尺度因子s小的小波函数频率高，带宽展宽，而时间缩短，适合于对信号的高频成分进行分析；尺度因子s大的小波函数频率低，带宽收窄，而时间伸长，适合于对信号的低频成分进行分析。不同尺度因子的小波函数及其傅里叶变换连续小波变换连续小波变换的时频分析：小波变换是一种信号时频分析的重要工具。沿着时间轴来看，它的时频窗在低频部分展宽，时间分辨率降低，而在高频部分收窄，时间分辨率提高。沿着频率轴来看，在高频部分展宽，频率分辨率降低，而在低频部分收窄，频率分辨率提高。对于信号中很短的瞬时高频现象，小波变换能够比短时傅里叶变换更好地“移近”观察，因此，小波变换具有“数学显微镜”之称。小波函数的窗宽、带宽与时间中心、频率中心之间的关系连续小波变换连续小波变换的性质：线性叠加性:若

、的小波变换为

、，

则有，尺度共变性:若

的小波变换为

,有,这表明当信号

做某一倍数的伸缩时其小波系数

在尺度和时间轴上做同一倍数的伸缩，不会发生失真变形，这就是小波变换称为“数学显微镜”的重要依据。时移不变性:若的

小波变换为

，则，尺度与频率之间的关系:小波变换的尺度所对应的频率实际上称为伪频率(Pseudo-frequency)更为合适，伪频率

与尺度s之间的关系为，

式中，

为采样周期，

为小波的频率中心。(a)db2(频率中心为)

(b)db7(频率中心为)(c)coif1(频率中心为)

(d)gaus4(频率中心为)小波函数的频率中心及相关联的纯周期信号连续小波变换连续小波变换小波变换与傅里叶变换、短时傅里叶变换的比较傅里叶变换：当用傅里叶变换表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就是说，利用傅里叶分析只能获得信号的整个频谱，确定信号中包含的所有频率成分，而不能确定具有这些频率的信号在时间轴上出现的位置。因而，傅里叶分析无法表达瞬变信号、非平稳信号或者时变信号的局部时频特性。信号的傅里叶分析(a)一维函数(b)图(a)的傅里叶变换展开的基函数连续小波变换信号的短时傅里叶分析短时傅里叶变换：短时傅里叶变换的固有局限在于使用固定尺寸和形状的时间窗，这对分析时变信号是不利的。高频信号一般持续时间较短，适合使用小尺寸的时间窗，相对小时间间隔可以给出较高的精度；而低频信号一般持续时间较长，适合使用大尺寸的时间窗，相对大时间间隔可以给出完全的信息。因此，对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，则要求窗函数有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率；而波形变化平缓时，则需要窗函数有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率。连续小波变换常用小波：所有满足小波条件的函数均可作为小波函数，不同的实际应用中选择不同的小波函数。小波函数的名称多以构造者的名字命名。例如，Morlet小波是Grossman和Morlet构造的，Daubechies系列小波由著名小波学者Daubechies构造的几种小波之一，Meyer小波是Meyer构造的。当然，也有例外，Symlets系列小波也是由Daubechies构造的，Symlets的名字由来是对称小波，Coiflets系列小波是应Coifman的请求，由Daubechies构造的。连续小波变换Haar(哈尔)小波：Haar小波是小波分析发展中最早也是最简单的小波函数，它本身是一个阶跃函数，其小波函数与尺度函数可以用解析形式表达为，Haar小波函数及其尺度函数dbN小波系的小波函数及其尺度函数(a)db2小波函数(b)db4小波函数(c)db15小波函数连续小波变换Daubechies小波系(dbN)

：db1小波等价于Haar小波，其余的db系列小波函数没有解析式。Daubechies小波系是正交的，也是双正交的，存在紧支集，可做离散小波变换和连续小波变换。它的紧支集长度为2N-1，滤波器长度为2N，小波函数

的消失矩为N。当N≠1时，dbN小波函数不具有对称性。Daubechies小波系在给定紧支集长度下具有最大消失矩。symN小波系的小波函数及其尺度函数(a)sym2小波函数(b)sym4小波函数(c)sym15小波函数连续小波变换Symlets小波系(symN)

：symN小波在保持dbN小波特征的基础上提高了小波的对称性。尽管它们不是完全对称，但是在给定紧支撑设计下具有最小不对称性和最大消失矩。Symlets系列小波是正交的，也是双正交的，存在紧支集，可做离散小波变换和连续小波变换。它的紧支集长度为2N-1，滤波器长度为2N，最大程度上接近对称性，小波函数

的消失矩为N。coifN小波系的小波函数及其尺度函数(a)coif2小波函数(b)coif4小波函数(c)coif5小波函数连续小波变换Coiflets小波系(coifN)

：Coiflets系列小波函数是正交的，也是双正交的，存在紧支集，可做离散小波变换和连续小波变换。它的紧支集长度为6N-1，滤波器长度为6N，接近对称性，小波函数

的消失矩为2N

，尺度函数的消失矩为2N-1。连续小波变换双正交样条小波系(bior)

：双正交样条系小波是双正交小波，不具有正交性，存在紧支集，可做离散小波变换和连续小波变换。重建小波的紧支集长度为2Nr-1，分解小波的紧支集长度为2Nd-1。具有对称性，小波分解函数

的消失矩为Nr。bior小波系的小波函数及其尺度函数

(a)bior4.4小波分解函数(c)bior5.5小波分解函数(e)bior6.8小波分解函数

(b)bior4.4小波重建函数(d)bior5.5小波重建函数(f)bior6.8小波重建函数(a)为偶数(b)为奇数连续小波变换Gaussian小波函数Gaussian小波：Gaussian小波定义为高斯概率密度函数的导数：

式中，

满足

的2-范数等于1。Gaussian小波不存在尺度函数，不具备正交性和双正交性，也不存在紧支集。它满足连续小波的允许条件，可做连续小波变换，但不可做离散小波变换。支撑长度为∞，有效支撑域为[-8,8]

。Gaussian小波是对称小波，n为偶数时，具有对称性；n为奇数时，具有反对称性。连续小波变换Marr小波函数Marr小波(墨西哥草帽小波)：Marr小波简写为mexh，是一个具有解析表达式的小波函数。Marr小波定义为高斯概率密度函数的二阶导数：式中，

为归一化因子。Marr小波的截面类似墨西哥草帽，因此也被称为墨西哥草帽小波。Marr小波不存在尺度函数，也不具有正交性，不存在紧支集，也不可做离散小波变换，支撑长度为∞，有效支撑域为[-5,5]，是对称小波。Marr小波是以高斯概率密度函数的n阶导数定义的Gaussian小波中n=2时的特例。连续小波变换Morlet小波函数Morlet小波：Morlet小波简写为morl，是一个具有解析表达式的小波函数，Morlet小波的解析表达式为：Morlet小波不存在尺度函数，不具备正交性和双正交性，也不存在紧支集，满足连续小波的允许条件，可做连续小波变换，但不可做离散小波变换。支撑长度为∞，有效支撑域为[-5,5]

，具有对称性。连续小波变换Meyer小波函数及其尺度函数离散Meyer小波函数及其尺度函数Meyer小波：Meyer小波简写为meyr，它的小波函数和尺度函数都是在频域中定义的。Meyer小波是正交小波，也是双正交小波，不存在紧支集。可以做离散小波变换和连续小波变换，但是，没有快速小波变换。支撑长度为∞，有效支撑域为[-8,8]

，具有对称性。离散Meyer小波：离散Meyer小波简写为dmey，是Meyer小波的FIR近似。离散Meyer小波具有正交性和双正交性，存在紧支集，可做快速小波变换。离散小波变换离散小波变换：连续小波变换实际上是使用离散的数据进行计算的，只是所用的尺度因子和平移因子是连续的，计算量庞大。为了解决计算量的问题，离散小波变换使用离散的尺度因子和平移因子。二进小波变换：尺度的离散化：对尺度按幂级数做离散化，即尺度因子只取整数次幂

。位移的离散化是与尺度的离散化密切相关的，当j=0时，

以某一基本间隔

做均匀采样。在其余各尺度下由于·的宽度是

的

倍，因此采样间隔可以扩大

倍。也就是说，在尺度j下沿

轴以

为间隔做均匀采样仍可保证不丢失信息。这样，相应的离散小波函数可表示为，二进小波通过对基本小波的二进伸缩和整数平移来构成基函数，二进小波变换系数图(a)分段正弦信号(b)多普勒频移正弦信号(c)分形信号离散小波变换平面的二进栅格离散小波变换小波框架：在离散小波变换中，能否由二进小波系数

数值稳定地完全重建

，可利用小波框架加以研究。小波框架定义：当由基本小波

经伸缩和平移引出的小波函数族·具有下述性质时，则称

构成一个框架：式中，A和B为框架的上下界。若框架界A=B，则称框架为紧框架。对于紧框架，可由下式完全重建原函数：若A=B=1，

是一组正交基；若还满足

，则是一组标准正交基；上式称为离散小波逆变换。在非紧框架的情形下，原函数可由下式重建：其中，

是

的对偶框架。离散小波变换时频分辨率：根据离散小波变换的Parseval定理，信号的能量是平移因子k和尺度因子j的函数：为了定性描述二进小波变换，根据二进小波变换中的k和尺度因子j将时间频率平面剖分为块。在低频部分(对应大尺度j)，块较宽(平移k较大)且较短，时间分辨率较低而频率分辨率较高；而在高频部分(对应小尺度

j)

，块较窄(平移k较小)且较长，时间分辨率较高而频率分辨率较低。二进小波基函数短时傅里叶变换基函数—宽窗短时傅里叶变换基函数—窄窗傅里叶变换基函数多分辨率分析与Mallat算法多分辨率分析与Mallat算法：小波是一种能够自动适应各种频率成分的有效信号分析工具，这种由粗到细的逐级分析称为多分辨率分析。多分辨率分析：Mallat和Meyer从函数的多分辨率空间分解概念出发，在小波变换与多分辨率空间分解之间建立联系。平方可积函数空间

的一个多分辨率分析是一系列嵌套闭子空间序列：且满足以下4个条件：完备性：当

时，;当

时，

。平移不变性：若

，则有尺度相似性：若

，则有正交基存在性：存在平方可积函数

，它的所有整数平移

构成

空间的标准正交基，即，

式中，符号上方的直线表示闭空间。多分辨率分析与Mallat算法称为多分辨率分析的尺度函数，称为尺度j下的尺度空间。由大尺度的尺度函数张成的闭子空间嵌套在由小尺度函数张成的闭子空间内，由此，多分辨率分析也称为多尺度分析。

为闭子空间

的标准正交基，根据多分辨率分析的尺度相似性，可知，

必为闭子空间

的标准正交基，若

，则可以用

线性展开表示为，由尺度函数张成的嵌套闭子空间多分辨率分析与Mallat算法小波函数与小波空间：给定满足多分辨率要求的尺度函数，定义相邻两个尺度空间

和

的差空间为小波空间

,并构造小波函数使其经过二进尺度伸缩后的所有整数平移能够张成小波空间

。则在尺度函数的子空间

中，尺度函数和小波函数的子空间

和

互为补空间，

是

中

的正交补空间，

，即子空间

的所有函数与子空间

中的所有函数都是正交的：以j=0开始，嵌套子空间可写为，尺度与小波函数空间关系多分辨率分析与Mallat算法由于小波函数属于由相邻双倍分辨率尺度函数张成的空间中，也就是，

包含于

中，所以，子空间中的小波函数可以表示为子空间

的尺度函数的线性展开，式中，

为小波函数系数，或者小波向量。任意相邻尺度空间与小波空间

的基函数的关系可表示为，根据尺度函数和小波函数的互补性，对于任意函数

，可由小波函数

和尺度函数

线性展开为：

式中，

称为j级近似系数，

称为j级细节系数。若满足正交小波条件，则展开系数的计算如下：若满足双正交小波条件，则展开系数的计算如下：多分辨率分析与Mallat算法Haar尺度空间

中的基函数Haar尺度函数和小波函数分解多分辨率分析与Mallat算法凹凸函数凹凸函数在Haar各级尺度空间

中的投影

凹凸函数投影在各个尺度空间中凹凸函数投影在各个小波空间中多分辨率分析与Mallat算法正交子空间的直和多分辨率分析与Mallat算法多分辨率分析与Mallat算法双尺度方程与多分辨率分析：多分辨率分析的核心是选择尺度空间

的一组标准正交基

，并由小波空间构造出小波函数的一组标准正交基。双尺度方程：双尺度方程是多分辨率分析赋予尺度函数

和小波函数

的基本特性，它描述了相邻两个尺度空间

和

的基函数·和

，以及相邻的尺度空间

和小波空间

的基函数·和

之间的关系。由于，

可见，双尺度方程中的尺度函数系数

和小波函数系数

与尺度级j无关，多分辨率分析的双尺度方程描述的是任意相邻两级分辨率空间之间的关系。多分辨率分析与Mallat算法双尺度方程中系数的性质：在双尺度方程中，尺度函数系数

和小波函数系数

满足如下3点性质。尺度函数系数之和满足

，其范数满足

；小波函数系数之和满足，其范数满足和本身都具有偶次移位的标准正交性：与之间具有偶次移位的正交性：多分辨率分析与Mallat算法正交小波分解与重建：Mallat于1989年提出了一种实现二进小波变换快速计算的快速小波变换，推导出相邻两级分辨率尺度系数与小波系数之间的递推关系，也称为Mallat算法。Mallat算法：快速小波变换的Mallat算法是将信号分解为尺度系数和小波系数，这一过程称为小波分解。快速小波逆变换是利用信号的小波分解系数来恢复原信号，这一过程称为小波重建。Mallat小波分解：是将子高一级空间

的尺度系数

分解为更低一级子空间

的尺度系数

和子空间

的小波系数

，

由

分解为

和

的过程完全、相同。Mallat小波重建：是逆向推导由低一级子空间

的尺度系数

和子空间

的小波系数

重建高一级子空间

的尺度系数

，

由

和

重建

的过程完全相同。多分辨率分析与Mallat算法频谱分解：Mallat小波分解和重建过程是在任意相邻的两个尺度空间中推导的，因此可以表示为小波展开系数的一般形式

和

。当讨论离散小波变换时，利用离散小波变换系数

和

来表示小波分解式为，由此可见，可以通过卷积和下采样操作来实现小波分解。首先将尺度级j的近似系数

分别与时序反转的尺度向量

和小波向量

做卷积，然后以因子2对卷积结果进行下采样，计算得出尺度级j+1的尺度系数

和小波系数

。多分辨率分析与Mallat算法小波分解方框图频谱分解三尺度小波分解方框图频谱分解这些系数可用多采样率滤波器组形式表现出来。通过尺度向量

和小波向量

，将高一级分辨率的尺度系数分解为近似成分的尺度系数

和细节成分的小波系数

，和

构成分析滤波器组。多分辨率分析与Mallat算法小波重建方框图三尺度小波重建方框图可通过上采样和卷积操作来实现小波重建。首先对小波系数

和尺度系数

进行因子2的上采样，并分别与小波向量

和尺度向量

做卷积，然后相加产生高一级分辨率尺度系数,

和

构成合成滤波器组。多分辨率分析与Mallat算法使用Haar小波分析滤波器组的快速小波变换使用Haar小波合成滤波器组的快速小波逆变换多分辨率分析与Mallat算法正交滤波器组：通过离散小波变换实现多分辨率分析的有效途径是使用多采样率滤波器组，本节讨论双通道正交滤波器组的完全重建问题。插值和抽取是多采样率信号处理的两个基本环节，设

为输入序列，·为输出序列，插值(上采样)的时域关系和Z变换的关系分别为，

抽取(下采样)的时域关系和Z变换的关系分别为，

因子2的上采样因子2的下采样多分辨率分析与Mallat算法根据Z变换域中卷积、插值和抽取的输出与输入之间的关系，可知，输出

与输入

之间的关系为，根据前一节Mallat小波分解中的定义，

可得分解与重建滤波器组之间的Z变换域关系满足，可以证明，在此分解与重建滤波器组下，，这就是说，能够完全重建。双通道滤波器组分解与重建滤波器组的频率响应特性多分辨率分析与Mallat算法(a)4阶Daubechies小波(db4)

(b)4阶Symlets小波(sym4)从尺度函数的FIR滤波器

，可以定义4个阶数为N的FIR滤波器，它们是分解滤波器

和

、重建滤波器

和

。4个滤波器的计算关系多分辨率分析与Mallat算法在使用正交滤波器组执行快速小波变换和逆变换的三尺度小波分解和重建过程中，小波分解包括滤波和抽取两个过程，小波分解滤波器组由低通分解滤波器

和高通分解滤波器

构成。低通滤波器输出的近似系数是以更低分辨率对待分析信号的平滑近似，保留了待分析信号的低频成分，因而集中了大部分能量，而高通滤波器输出的细节系数就是二进栅格上各点的离散小波变换，是待分析信号的高频成分。小波重建包括插值和滤波两个过程，小波重建滤波器组由低通重建滤波器

和高通重建滤波器

构成。使用正交滤波器组的三尺度小波分解和重建过程纯频率混合正弦波的5级小波分解(a)纯频率混合正弦波(b)各尺度的近似系数和细节系数多分辨率分析与Mallat算法加性噪声正弦波的5级小波分解(a)加性噪声正弦波(b)各尺度的近似系数和细节系数多分辨率分析与Mallat算法二维离散小波分析二维离散小波分析：由于小波变换具有好的局部时频分析能力，利用小波的多分辨率分析特性可以聚焦到图像的任意细节，既可以描述图像的平坦区域，又可以描述图像的局部突变。二维离散小波变换：张量积方法是最简单且常用的构造多维小波基的方法，这种方法可将一维多分辨率分析很容易地扩展到二维多分辨率分析。设

是嵌套子空间序列的一个子空间，表示张量积，则

是

的多分辨率分析的充要条件是

为

的一个多分辨率分析。这里只讨论可分离的二维多分辨率分析，即二维函数是可分离的两个一维函数的积。在二维情况下，需要1个二维尺度函数

和3个三个方向敏感的二维小波函数

、

和

，分别对应列、行和对角方向上的灰度变化。(a)

(b)

(c)

(d)

4阶Daubechies小波(db4)的二维小波变换二维离散小波分析(a)

(b)

(c)

(d)

4阶Symlets小波(sym4)的二维小波变换二维离散小波分析二维离散小波分析与一维多分辨率分析类似，在二维情况下二维尺度函数

的尺度伸缩和时间平移

构成二维尺度空间的标准正交基：二维小波函数

的尺度伸缩和时间平移

构成二维小波空间的标准正交基：对于二维函数

，相应的二进小波变换定义为，其中，构成函数

的二维正交分解，分别代表在最低分辨率下的尺度系数以及三个方向上的小波系数。二维离散小波分析二维小波分解滤波器组图像分解过程二维小波重建滤波器组二维快速小波变换的频谱分解二维离散小波变换(a)灰度图像(b)行变换(c)列变换二维离散小波分析二维离散小波分析二维离散小波多尺度分析：通常低分辨率图像用于分析大的结构或图像的整体内容，而高分辨率图像用于分析单个目标的细节特性，这样由粗到细的分析策略就是多分辨率分析。将输入图像

作为最高分辨率的近似系数，即

。对于

的宽高最小值为

的情况，这个过程最多可以执行K次迭代而生成尺度为

的K尺度快速小波变换。需要注意的是边界延拓问题。由于滤波器在卷积过程中会落在图像的外部，不可避免地发生信号的边界失真问题。因此，在进行小波分解前，需要对信号的边界进行延拓，主要有对称延拓、周期延拓、平滑延拓、零延拓等延拓方式。二尺度小波分解表示二维离散小波三尺度分解(a)一级小波分解(b)二级小波分解(c)三级小波分解二维离散小波分析二维离散小波分析三级小波分解树小波包变换小波包变换：小波包变换不仅对信号的低频成分进行连续分解，而且对高频成分也进行连续分解，这样不仅可获得许多较低分辨率的低频成分，也可获得许多较低分辨率的高频成分。小波包变换：将三尺度小波分解表示二叉树的形式，称为小波分析树。小波分析树所示的带宽之间呈以2为底对数关系的频谱分解，以及时间频率平面剖分。如同对低通尺度函数分支，对高通小波函数分支同样地迭代使用Mallat算法，从而生成允许在高频成分进行多尺度分解的基函数。三尺度小波包分析树是完全二叉树结构，完全二叉树结构将产生间隔完全均匀的频率分辨率。快速小波变换的时间复杂度为

，而快速小波包变换的浮点运算次数为

，这个过程类似于快速傅里叶变换。小波包变换在某种程度上与短时傅里叶变换类似，小波包因此得名。小波包变换小波变换小波包变换小波包分解频谱分解三尺度小波和小波包分析树三尺度小波包分解及其频谱分解小波包变换正交小波的小波包生成过程：设FIR滤波器

和

的长度均为2N，通过下面的递推定义函数序列

：式中，

是尺度函数，

是小波函数。对于小波包序列

，小波包的分析函数族可表示为，

式中，j、k为尺度与时间参数，n为频率阶数。集合

称为小波包；对于正整数j和n，小波包可以表示为树结构。由

张成的子空间表示为：函数族

是子空间

中正交基。

可以分解为两个子空间：

张成的子空间

和

张成的子空间

，这给出了小波包结构树分解的解释。小波包变换小波包正交基的每一级下具有不同的时间频率剖分，各块的面积仍是相等的。不同于小波变换仅对低频成分做更细致的分解，小波包变换对高频成分和低频成分都做更细致的分解，因而，小波包基函数具有均匀的时间频率平面剖分。在最细的尺度阶段，本质上是时域基函数——单位脉冲函数。在小波包逐级分解的过程中，沿着频率轴看，第1级分解将频谱带宽分解为高频子带和低频子带，第2级分解将已分解的高频带宽和低频带宽进一步分解为两个部分，依此类推。小波包变换基函数的时间频率剖分小波包变换按照小波包基函数的频率次序，从底部的高频率到顶部的低频率绘制小波包系数，可以看出，1)小波包变换系数在不同频率具有均匀的时间间隔；2)随着分解级数的增加，频率分辨率增大，而时间分辨率减小。L尺度小波变换能够提供L种惟一的空间分解，三尺度小波分析树有如下三种可能的空间分解，分别单尺度、二尺度和三尺度小波分解：、和。四尺度小波包分解五尺度小波包分解六尺度小波包分解完全不重叠时间窗的短时傅里叶变换小波包变换与短时傅里叶变换的比较小波包变换小波包分解小波包分析树最优小波包基函数的时间频率剖分某种准则下的三尺度最优小波包分解小波包变换Haar小波包分解4阶Daubechies小波(db4)小波包基函数小波包变换小波包变换二维小波包分解：二维小波包分解用四叉树表示。对于二维完全小波包分析树，设根节点的层数为0，第l层的节点数为4l

，当n=0,1,2,3时，·，

，

和。L尺度的二维小波包变换支持P(L)=P(L-1)4+1种惟一的空间分解。显然，二维小波包变换可能的分解个数随着尺度L的增大更加迅速地增长。单尺度分解二尺度完全小波包分解二维完全小波包分析树二维完全小波包分解(a)单尺度(b)二尺度(c)三尺度小波包变换小波包变换最优小波包的选取：小波包分析树存在多种分解选择，无法列举每一种分解来逐一检验最优性，需要找到一种有效的准则来实现最优分解。加法类型的函数能够很好地适用于二叉树和四叉树结构的搜索。经典的熵准则是加法代价函数，4种常用的熵函数是非归一化香农熵、

范数、对数能量熵和阈值熵。设

表示二维函数在正交基下的系数，非归一化香农熵定义为，；

范数定义为，。对于非叶子节点p以及特定熵准则

，最优子树剪枝方法可描述为：计算父节点和4个子节点的熵函数和，父节点是二维近似系数或细节系数，4个子节点是父节点分解输出的二维近似系数与水平、垂直、对角细节系数。设

为最优熵值，初始状态时对每个叶子节点c赋值

。若子节点熵之和小于父节点的熵，则分析树中包含这些子节点，并设置；若子节点熵之和大于父节点的熵，则裁剪掉这些子节点而只保留父节点，并设置

。该父节点称为最优分析树中的叶子节点。三尺度完全小波包分解小波包变换(b)小波包系数(a)小波包分析树(c)系数标记某种准则下的一种三尺度最优小波包分解小波包变换(b)小波包系数(a)小波包分析树(c)系数标记小波变换在图像处理中的应用小波变换在图像处理中的应用：小波变换是以不同分辨率来描述图像的数学工具。多尺度小波分解广泛应用于金字塔表示、边缘检测、图像去噪、图像数据压缩和渐进传输等领域。由于快速小波变换中尺度向量和小波向量相当于低通滤波器和高通滤波器，小波变换在图像处理中的应用基本上与傅里叶变换等同，其基本方法由三个步骤构成：(1)计算二维快速小波变换；(2)修改变换系数；(3)计算二维快速小波逆变换。这里，使用这三步处理过程给出快速小波变换在边缘检测、图像降噪、