建筑力学第7章平面弯曲杆件

第七章平面弯曲杆件本章内容：第一节截面的几何性质第二节平面弯曲杆件的内力第三节弯曲应力和强度第四节拉压与弯曲组合变形杆件的应力和强度第一节截面的几何性质一、截面的静矩和形心位置dAxyOyxCxC

yC

静矩(面积矩)：如果将微面积看作力,则ydA和xdA就相当于力矩,由合力矩定理知形心位置：静矩也可表达为:Sx=A·yC,Sy=A·xC

静矩也可表达为:Sx=A·yC,Sy=A·xC

⑴当坐标轴通过截面的形心时,则该轴称为此截面的形心轴,此时,截面形心轴的静矩为零；反之,若截面对某轴的静矩为零,则该轴必为截面的形心轴。⑵有对称轴的截面，对称轴一定是截面的形心轴。⑶组合截面（由若干个简单图形组合而成的截面）对某轴的静矩等于其所有组成部分对该轴静矩的代数和:

Sx=∑Sxi=∑Ai·yCi，Sy=∑Syi=∑Ai·xCi组合截面形心位置：例7-1计算半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。解：平行于x轴取一窄长条作为微面积dA,其面积为dyyr则:形心坐标：yCC例7-2计算图示截面的形心位置。解：由对称性可知,xC=0(即形心一定在y轴上,只需求yC)。方法一：将此图形看成是由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分组成。A1=A2=30×300=9000mm2

A3=30×250=7500mm2

yC1=yC2=150mmyC3=300mm+15mm=315mm例7-2计算图示截面的形心位置。解：由对称性可知,xC=0(即形心一定在y轴上,只需求yC)。

方法二：将此图形看成是由一个250×330的矩形Ⅰ减去一个190×300的矩形Ⅱ组成。A1=250×330=82500mm2

A2=190×300=57000mm2

yC1=165mmyC2=150mm二、截面的惯性矩、惯性积和惯性半径dAxyOyx惯性矩：惯性积：在有些问题中,为了应用的方便,将截面的惯性矩表示为截面面积A与惯性半径平方的乘积,即：惯性半径：例7-3计算图示矩形截面对x轴和y轴的惯性矩和惯性积。因为x、y轴均为对称轴，所以：Ixy=0惯性矩：惯性积：二、截面的惯性矩、惯性积和惯性半径三、平行移轴公式和组合截面的惯性矩两个坐标系内的坐标有以下关系：可得：同理,可得：组合截面对某坐标轴的惯性矩等于所有组成部分对该轴惯性矩之和,即:例7-4计算图示截面对形心轴的惯性矩。解：⑴计算形心位置。⑵计算对形心轴的惯性矩。⑵计算对形心轴的惯性矩。第二节平面弯曲杆件的内力一、弯曲的概念与梁的计算简图外力作用线与杆轴线垂直,杆轴线将由直线变成曲线,这种变形称为弯曲。AB对称轴纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线FByF1F2FAy平面弯曲梁的计算简图梁的计算简图就是梁的力学模型的简化。由于所研究的是等截面直梁,且外力均作用在梁的纵向对称平面内,所以通常可以用梁的轴线来代替梁,将荷载和支座直接加在轴线上,构成梁的计算简图。静定梁

—仅用静力平衡方程即可求出全部未知量的梁。超静定梁

—仅用静力平衡方程不能求出全部未知量的梁。跨度

—梁在两支座之间的长度。单跨梁

—只有一跨的梁。多跨梁

—两跨及两跨以上的梁。本章仅讨论单跨静定梁。二、梁的弯曲内力—剪力与弯矩（截面法）求支座反力：求m-m截面的内力：二、梁的弯曲内力—剪力与弯矩（截面法）求支座反力：内力的符号规定

剪力符号:FSdxmmFS++使dx

微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m-m上的剪力为正。即使dx微段有顺时针转动趋势的剪力为正。dxmmFSFS--使dx微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面m-m上的剪力为负。即使dx微段有逆时针转动趋势的剪力为负。内力的符号规定

弯矩符号:mm+（受拉）MM+当dx

微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉）时,横截面m-m上的弯矩为正；mm（受压）MM--当dx

微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.例7-5计算图示简支梁1-1和2-2截面上的剪力和弯矩。FAFB11.5kNFS1M1解:⑴求支座反力;

⑵求1-1截面的内力:10.5kNFS1例7-5计算图示简支梁1-1和2-2截面上的剪力和弯矩。FAFB解:⑴求支座反力;

⑶求2-2截面的内力:M2三、梁的剪力图与弯矩图用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.剪力方程：FS=FS(x)弯矩方程：M=M(x)以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.分别称为剪力图和弯矩图xFS(x)FS

图的坐标系OM

图的坐标系xOM(x)剪力图为正值画在x

轴上侧,负值画在x

轴下侧弯矩图为正值画在x

轴上侧,负值画在x

轴下侧例7-6作图示简支梁在均布荷载q作用下的剪力图和弯矩图。解:⑴求支座反力由对称性知:⑵列剪力方程和弯矩方程⑶作剪力图和弯矩图例7-7作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。解:⑴建立剪力方程和弯矩方程⑵作剪力图和弯矩图例7-8作图示简支梁的剪力图和弯矩图。解:⑴求支座反力⑵列剪力方程和弯矩方程例7-8作图示简支梁的剪力图和弯矩图。⑵列剪力方程和弯矩方程

例7-9用叠加法作图示梁的弯矩图。

叠加法：即梁在多个荷载作用下所产生的内力,可以由各个荷载单独作用下所产生的内力叠加而得到。解:⑴

先作出由集中力F单独作用下所产生的弯矩图。

⑵再作出由均布荷载q单独作用下所产生的弯矩图。

⑶然后由上面两个图的纵坐标叠加得最终弯矩图。

注意：这里所说的两个弯矩图叠加不是简单地将两个图形拼在一起，而是将两个图形中相同截面处的纵坐标相叠加。四、剪力、弯矩与荷载集度的微分关系公式的几何意义:

⑴

剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;

⑵

弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;⑶可以根据q(x)＞0或q(x)＜0来判断弯矩图的凹凸性。四、剪力、弯矩与荷载集度的微分关系⒈

梁上有向下的均布荷载,即q(x)<0：

FS(x)图为一向右下方倾斜的直线；

M(x)图为一向上凸的二次抛物线。xFS(x)OxOM(x)四、剪力、弯矩与荷载集度的微分关系⒉梁上无荷载区段，q(x)=0

：

FS(x)图为一条水平直线；

M(x)图为一斜直线。xFS(x)OxOM(x)FS(x)<0FS(x)>0OM(x)x四、剪力、弯矩与荷载集度的微分关系⒊

在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值。弯矩图有转折。⒋

在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。⒌

最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或分布载荷发生变化的区段上。

梁上最大弯矩Mmax可能发生在FS(x)=0

的截面上;或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧。例7-10作图示外伸梁的内力图。解:⑴求支座反力⑵判断各段FS、M图形状:CA和BD段:q=0,FS为水平线,M为斜直线;AB段:q<0,FS为向右下斜直线,M为下凸抛物线。例7-10作图示外伸梁的内力图。CA和BD段:q=0,FS为水平线,M为斜直线;AB段:q<0,FS为向右下斜直线,M为下凸抛物线。⑶作剪力图CA段只需一个控制点:AB段需两个控制点:BD段只需一个控制点:例7-10作图示外伸梁的内力图。CA和BD段:q=0,FS为水平线,M为斜直线;AB段:q<0,FS为向右下斜直线,M为下凸抛物线。⑷作弯矩图CA段两个控制点:(上拉)AB段需三个控制点:BD段需一个控制点:第三节弯曲应力和强度弯曲构件横截面上的应力：当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS。mmFSMmmFSmmM只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA

才能合成剪力；只有与正应力有关的法向内力元素

dFN=dA

才能合成弯矩。所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力。一、纯弯曲时梁横截面上的正应力若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。FFaaCDAB++FFFS图CADBFaM图CADB简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲变形现象：纵向线：各纵向线段弯成弧线,且靠近顶端的纵向线缩短,靠近底端的纵向线段伸长。横向线：各横向线仍保持为直线,相对转过了一个角度,仍与变形后的纵向弧线垂直。提出假设：⑴平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线。⑵单向受力假设：纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压。提出假设：⑴平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线。⑵单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压。推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层。中性轴

中性层横截面对称轴推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层。中性轴

中性层横截面对称轴中性层与横截面的交线称为中性轴,梁发生弯曲变形时,横截面绕中性轴转动。dx图（b）yzxO图（a）dx变形几何关系：图（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比由于梁的纵向纤维处于单向拉伸或压缩，在弹性范围内，由胡克定律可得正应力：物理关系：yzxOMdAzyσdA静力关系：横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得：=0(c)=0(d)=M(e)=0(c)=0(d)=M(e)将应力表达式代入(c)式,得:中性轴通过横截面形心将应力表达式代入(d)式,得:自然满足将应力表达式代入(e)式,得:得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz

为梁横截面对中性轴的惯性矩

⑴

应用公式时,一般将My

以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断

的正负号。以中性轴为界,梁变形后凸出边的应力为拉应力(

为正号);凹入边的应力为压应力(为负号)。

⑵最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处：梁的弯曲正应力强度条件为：例7-11试校核图示T形截面铸铁梁的正应力强度。解:⑴作出梁的弯矩图,其最大值为⑵分别进行弯曲抗拉(梁截面的下边缘)、抗压强度(梁截面的上边缘)校核由例7-4知:最大拉应力:满足！最大压应力:例7-11试校核图示T形截面铸铁梁的正应力强度。解:⑴作出梁的弯矩图,其最大值为⑵分别进行弯曲抗拉(梁截面的下边缘)、抗压强度(梁截面的上边缘)校核由例7-4知:满足！例7-12试校核图示工字钢梁(l=1m)的许用均布荷载[q]。已知:解:⑴作出梁的弯矩图,其最大值为⑵根据正应力强度确定荷载[q]=2×8330N/m=16.66kN/m二、梁的切应力和强度⒈矩形截面梁Iz—整个横截面对中性轴的惯性矩;b—矩型截面的宽度;Sz*—

距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩;Fs—横截面上的剪力。式中，A=bh为矩形截面的面积。⒉工字形截面梁Iz—整个横截面对中性轴的惯性矩;

d—腹板的厚度;Sz*—

距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩;Fs—横截面上的剪力。⒊圆形截面梁薄壁圆环形截面：例7-13矩形截面梁,截面的高宽比h/b=3/2,确定梁的截面尺寸。解:⑴作剪力图和弯矩图⑵根据正应力强度确定截面例7-13矩形截面梁,截面的高宽比h/b=3/2,确定梁