立体几何中的向量方法(一)-证明空间中的位置关系

第七节立体几何中的向量方法(一)——证明空间中的位置关系【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)直线的方向向量与平面的法向量①直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_____或_____,则称此向量a为直线l的方向向量.②平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的_____向量a,则向量a叫做平面α的法向量.平行重合方向(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔_______l1⊥l2n1⊥n2⇔________直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔_______l⊥αn∥m⇔______平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔______α⊥βn⊥m⇔_______n1=λn2n1·n2=0n·m=0n=λmn=λmn·m=02.必备结论教材提炼记一记(1)直线的方向向量的确定:l是空间一直线,A,B是l上任意两点,则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量.(2)平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:基向量法、坐标法证明垂直、平行的方法.(2)数学思想:数形结合、转化与化归、函数与方程思想.【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)直线的方向向量是唯一确定的.(

)(2)两个不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),则l1和l2的位置关系是平行.(

)(3)平面的单位法向量是唯一确定的.(

)(4)若两平面的法向量平行,则两平面平行.(

)(5)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.(

)(6)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.(

)【解析】(1)错误.与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量.(2)错误.v1∥v2,则l1与l2平行或重合.(3)错误.由于法向量的方向不同,所以平面的单位法向量不唯一.(4)正确.由平面平行的转化定理可知.(5)正确.由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确,根据等价命题可知.(6)错误.若a∥α,则向量a所在直线与平面平行或在平面α内.答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√

(6)×2.教材改编链接教材练一练(1)(选修2-1P104T2改编)设,v分别是平面α,β的法向量,

=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α与β的位置关系为

;当v=(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为

.【解析】当v=(3,-2,2)时,

·v=-2×3+2×(-2)+5×2=0,所以α⊥β,当v=(4,-4,-10)时,v=-2,所以α∥β.答案:α⊥β

α∥β(2)(选修2-1P111T3改编)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是

.【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设DA=2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),所以=(-2,0,1),=(1,0,2),=-2+0+2=0,所以AM⊥ON.答案:垂直3.真题小试感悟考题试一试(1)(2015·珠海模拟)若直线l∥平面α,直线l的方向向量为s、平面α的法向量为n,则下列结论正确的是(

)A.s=(-1,0,2),n=(1,0,-1)B.s=(-1,0,1),n=(1,2,-1)C.s=(-1,1,1),n=(1,2,-1)D.s=(-1,1,1),n=(-2,2,2)【解析】选C.由已知需s·n=0,逐个验证知:只有C符合要求,故选C.(2)(2015·绵阳模拟)若直线l的方向向量e=(2,1，m)，平面α的法向量n=(1，，2)，且l⊥α，则m=

.【解析】因为l⊥α，所以e∥n，即e=λn(λ≠0)，亦即(2,1，m)=λ(1，

，2)，所以则m=4.答案：4(3)(2015·长沙模拟)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若

=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为_______.【解析】由已知得解得答案：考点1

利用空间向量证明平行问题【典例1】(2015·兰州模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.【解题提示】建立空间直角坐标系，证明MN与平面A1BD的法向量垂直.【规范解答】如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),M(0,2,1),N(1,2,2)，=(1,0,1),=(2,2,0),=(2,0,2).设n=(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量.所以即解得令x=1,则y=-1,z=-1,所以n=(1，-1，-1).因为

·n=1+0-1=0，所以

⊥n.又因为MN⊄平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.【一题多解】用向量法解答本题，你知道几种解法？解答本题，用向量法还有以下两种解法.方法一：因为=(2,0,2),=(1,0,1)，所以又DA1⊂平面A1BD,MN⊄平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.方法二：所以又因为MN与DA1不共线，所以MN∥DA1,又因为MN⊄平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.【易错警示】解答本题有一点容易出错:只证明⊥n,而忽视MN⊄平面A1BD的情况就下结论MN∥平面A1BD,而造成步骤不规范的失误.【互动探究】本例的条件不变，若E为C1D1的中点，证明平面A1BD∥平面MNE.【证明】由例题知E(0,1,2).所以=(0,-1,1),设m=(a，b，c)是平面MNE的一个法向量.则即解得令c=1,则a=-1,b=1.所以m=(-1，1，1).而平面A1BD的一个法向量n=(1,-1,-1),所以m=-n,即m∥n，所以平面A1BD∥平面MNE.【规律方法】用向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示面面平行①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)②转化为线面平行、线线平行问题提醒:用向量结论还原几何结论时,要注意书写规范,说明定理的条件.【变式训练】如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.利用向量方法证明:直线MN∥平面OCD.【证明】作AP⊥CD于点P，连接OP，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，2)，M(0，0，1)，设平面OCD的一个法向量为n=(x,y,z),则即取z=，解得n=(0,4,).因为且MN平面OCD，所以MN∥平面OCD.【加固训练】1.(2015·天津模拟)如图在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.【证明】设由题干图可知因为无公共点，所以EG∥AC，因为AC⊂平面AB1C，所以EG∥平面AB1C.又因为=a+c，因为无公共点，所以FG∥AB1，因为AB1⊂平面AB1C，所以FG∥平面AB1C.又因为FG∩EG=G，所以平面EFG∥平面AB1C.2.如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:PB∥平面EFG.【证明】因为平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形,所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0)．＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，设即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，所以解得s＝t＝2.所以又因为与不共线，所以与共面．因为PB⊄平面EFG，所以PB∥平面EFG.考点2

利用空间向量证明垂直问题【典例2】(2015·济南模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC.(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【解题提示】建立空间直角坐标系,(1)证明(2)由(1)知只需证明=0即可.【规范解答】如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴,以射线OD为y轴正半轴建立空间直角坐标系.(1)O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0),所以=(0,3,4)·(-8，0，0)=0,所以,即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上，所以又=(-4,-5,0),所以则所以,即AP⊥BM,又根据(1)的结论知AP⊥BC,所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BCM.【规律方法】利用向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直【变式训练】(2015·厦门模拟)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,E,F分别为棱AD,PB的中点,且PD=AD.求证:平面CEF⊥平面PBC.【证明】由题意,建立如图所示的空间直角坐标系.设A(1,0,0)，则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，设平面CEF的一个法向量为n1=(x，y，z)．则取x=1，则n1=同理，求得平面PBC的一个法向量为n2=因为n1·n2=1×0＋

×-×=0，所以n1⊥n2.所以平面CEF⊥平面PBC.【加固训练】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.(1)求证:CE∥平面C1E1F.(2)求证:平面C1E1F⊥平面CEF.【证明】以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E1(1,,2).(1)设平面C1E1F的法向量为n=(x,y,z).因为=(-1,0,1),所以即令x=1,得n=(1,2,1).因为=(1,-1,1),n·=1-2+1=0,所以又因为CE⊄平面C1E1F,所以CE∥平面C1E1F.(2)设平面EFC的法向量为m=(a，b,c),由=(0,1,0),=(-1,0，-1),所以即令a=-1,得m=(-1，0，1).因为m·n=1×(-1)+2×0+1×1=-1+1=0，所以平面C1E1F⊥平面CEF.考点3利用向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题知·考情利用空间向量解决与垂直、平行有关的探索性问题,是近几年高考考查空间向量应用的一个重要考向;常以是否存在点或参数使线面垂直、平行的形式在解答题中出现.明·角度命题角度1:线、面平行的探索性问题【典例3】(2015·成都模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.【解题提示】建立空间直角坐标系，(1)证明(2)假设存在点P(0，0，z0)，根据DP∥平面B1AE构建方程，求解并判断.【规范解答】以A为原点,的方向分别为x轴，y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=a.(1)A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a，0，1)，故因为所以B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时

=(0，-1，z0)，再设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z)，因为n⊥平面B1AE，所以n⊥,n⊥，得取x=1,则y=-,z=-a,得平面B1AE的一个法向量n=(1，-,-a).要使DP∥平面B1AE，只要n⊥,有-az0=0，解得又DP⊄平面B1AE,所以存在点P，满足DP∥平面B1AE,此时AP=.命题角度2:线、面垂直的探索性问题【典例4】(2015·烟台模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2.四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.点E,F分别为侧棱PB,PC上的点,且=λ.(1)求证:EF∥平面PAD.(2)是否存在实数λ,使得平面AFD⊥平面PCD?若存在,试求出λ的值;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)用传统几何法,根据线面平行的判定定理证明.(2)建立空间直角坐标系,设出F点坐标,求出平面AFD和平面PCD的法向量,利用数量积为0求解.【规范解答】(1)由已知,=λ,所以EF∥BC.因为BC∥AD,所以EF∥AD.而EF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)因为平面ABCD⊥平面PAC,平面ABCD∩平面PAC=AC,且PA⊥AC,所以PA⊥平面ABCD.所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因为AB⊥AD,所以PA,AB,AD两两垂直.如图所示,建立空间直角坐标系,因为AB=BC=1,PA=AD=2,所以A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).设F(x0,y0,z0),则由已知

所以(x0,y0,z0-2)=λ(1,1,-2),所以所以

=(λ,λ,2-2λ).设平面AFD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),因为

=(0,2,0),所以即令z1=λ,得n1=(2λ-2,0,λ).设平面PCD的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),因为

=(0,2,-2),=(-1,1,0),所以令x2=1,则n2=(1,1,1).若平面AFD⊥平面PCD,则n1·n2=0,所以(2λ-2)+λ=0,解得λ=.所以当λ=时,平面AFD⊥平面PCD.悟·技法向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思维流程(1)根据题设条件中的垂直关系,建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向量用坐标表示.(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.通·一类1.(2013·北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA1⊥平面ABC.(2)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.【解析】(1)因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC.所以AA1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA1⊥AB,AA1⊥AC.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．设D(x,y,z)是直线BC1上的一点，且

λ∈［0,1］．所以(x,y－3,z)=λ(4,－3,4)．解得x=4λ，y=3－3λ，z=4λ，所以

=(4λ,3－3λ,4λ)．由

=0，即9－25λ=0，解得λ=．因为∈［0,1］，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，此时，2.(2015·开封模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.(1)求证:平面PAC⊥平面PCD.(2)在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PB与平面ABCD所成的角为∠PBA=45°.所以AB=1.由∠ABC=∠BAD=90°,易得CD=AC=,由勾股定理逆定理得AC⊥CD.又因为PA⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC,又因为CD⊂平面PCD,所以平面PAC⊥平面PCD.(2)分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.所以P(0,0,1),C(1,1,0)D(0,2,0),设E(0,y,z),因为,所以y·(-1)-2(z-1)=0①因为=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量，又所以(-1，y-1，z)·(0,2,0)=0，所以y=1.将y=1代入①，得z=.所以E是PD的中点，所以存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点．【加固训练】(2015·沈阳模拟)如图所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.【解析】连接BD,设AC交BD于O,则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系(如图所示).设底面边长为a，则高于是(1)则故OC⊥SD,从而AC⊥SD.(2)棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且设,则而=0，所以解得t=，即当SE∶EC=2∶1时，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.规范解答13

利用空间向量解决线面垂直、平行