2023 年九年级数学中考复习 线段最值问题综合应用 填空专题训练（含解析）

2022-2023学年九年级数学中考复习《线段最值问题综合应用》填空专题训练（附答案）1．如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP．（1）线段BP的最小值为；（2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为．2．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，经过点B且与边AC相切的动圆与AB，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为．3．如图，Rt△ABC斜边AC的长为4，⊙C的半径为1，Rt△ABC与⊙C重合的面积为，P为AB上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是．5．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为．7．如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．8．如图，四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，AB＝4，点E为AD上的定点，且AE＜ED，F为AC上的动点，则EF+FC的最小值为．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝10，对角线AC，BD相交于点O，点E是AO的中点，点F为对角线BD上的动点，则EF+BF的最小值为．10．如图，在Rt△ABC中，AC＝10，∠C＝30°，点D是BC边上的动点，则2AD+CD的最小值为．11．如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O是对角线BD的中点，E是AB边上一点，且AE＝1，P是CD边上一点，则|PE﹣PO|的最大值为．13．如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4．点P为AC上一点，则|PF﹣PE|的最大值为．14．结论：如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC的最小值为．15．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝°；（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝°．16．如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为．17．如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE＝2DF＝2，点G，H分别在CD，BC边上，则四边形EFGH周长的最小值为．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为．19．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝9，∠ABC＝60°，点P，Q是AD模型识别边上的动点（点P在点Q的左侧），且PQ＝3，则四边形BPQC周长的最小值为．20．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．参考答案1．（1）当BP⊥AC时，BP取最小值，∵AC＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AC•cos30°＝4，∴BP最小＝AB•sin30°＝2；故答案为：2；（2）根据题意，作图如下：∵四边形APBQ是平行四边形，∵AO＝AB＝2，PQ＝2OP，∴要求PQ的最小值，即求OP的最小值，当OP⊥AC时，OP取最小值，∴OP＝AO•sin30°＝，∴PQ的最小值为．故答案为：．2．解：取PQ的中点O，过O点作OD⊥AC于D，过B点作BH⊥AC于H，连接OB，如图，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵BH•AC＝AB•CB，∴BH＝＝，∵∠PBQ＝90°，∴PQ为⊙O的直径，∵⊙O与AC相切，OD⊥AC，∴OD为⊙O的半径，∵OB+OD≥BH（当且仅当D点与重合时取等号），∴OB+OD的最小值为BH的长，即⊙O的直径的最小值为，∴线段PQ的最小值为．故答案为：．3．解：设∠C＝n°，∵Rt△ABC与⊙C重合的面积为，∴＝，解得n＝60，即∠C＝60°，∵Rt△ABC斜边AC的长为4，∠C＝60°，∴BC＝AC＝2，连接CQ，CP，如图，∵PQ为⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∴∠CQP＝90°，∴PQ＝＝，∴当CP最小时，PQ最小，∵当CP⊥AB时，CP最短，此时CP＝CB＝2，∴PQ的最小值为＝．故答案为：．4．解：如图，∵CA＝CB，D是AB的中点，∴CD是∠ACB的平分线，∴点N关于CD的对称N′在AC上，过点B作BH⊥AC于点H．∵AC＝6，S△ABC＝12，∴×6•BH＝12，解得BH＝4，∵BM+MN＝BM+MN′≥BH＝4，∴BM+MN的最小值为4．故答案为：4．5．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，∴CD＝＝＝5，在CD上取一点N′，使得CN＝CN′，连接MN′，过点A作AH⊥CD于点H．∵菱形ABCD的面积＝•AC•BD＝CD•AH，∴AH＝＝＝，∵CN＝CN′，∠MCN＝∠MCN′，CM＝CM，∴△MCN≌△MCN′（SAS），∴MN＝MN′，∴EM+MN＝EM+MN′≥AH＝，∴ME+MN的最小值为．故答案为：．6．解：如图，在AD上取一点P，使得PD＝PB，连接BP，PC，EC，过点C作CJ⊥BP于点J，过点E作EK⊥BP于点K．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠A＝90°，设PD＝PB＝x，则x2＝（6﹣x）2+42，∴x＝，∵S△PBC＝•PB•CJ＝×6×4，∴CJ＝，∵AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵PD＝PB，∴∠PDB＝∠PBD，∴∠PBD＝∠PBC，∵EK⊥BC，EK⊥BP，∴EF＝EK，∵EG⊥CD，∴∠EFC＝∠FCG＝∠CGF＝90°，∴四边形EFCG是矩形，∴FG＝EC，∴EF+FG＝EK+CE≥CJ＝，∴EF+FH的最小值为．故答案为：．7．解：将x＝0代入y＝﹣x2+x+2得y＝2，∴点C坐标为2，令0＝﹣x2+x+2，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），∴AC＝＝，BC＝＝2，AB＝5，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，∴点A关于直线BC的对称点A'坐标为（1，4），∵BC是AA'的垂直平分线，∴A'M＝AM，即AM+MN＝A'M+MN，∴当A'N⊥x轴时，AM+MN的最小值为A'N的长度，故答案为：4．8．解：过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，过点A作AM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，AM＝AB•sin60°＝3，∠ACB＝60°，∴FH＝CF•sin60°＝CF，∴EF+FC＝EF+FH≥EH，当E、F、H三点依次在同一直线上，且EH⊥BC时，EF+FC＝EF+FH＝EH＝AM＝3的值最小，故答案为：3．9．解：过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，AB＝10∴AC＝AB＝10，∠ACB＝∠CBD＝45°，∴OA＝OC＝5，∵E是OA的中点，∴AE＝OE＝，∴CE＝，∵FH＝BF•sin45°＝BF，∴EF+BF＝EF+FH≥EH，当E、F、H三点依次在同一直线上，且EH⊥BC时，EF+BF＝EH＝CE•sin45°＝的值最小，故答案为：．10．解：延长AB到点E，使得BE＝AB，连接CE，过点D作DF⊥CE，连接AF，∵∠ABC＝∠CBE＝90°，BC＝BC，∴△ABC≌△EBC（SAS），∴∠ACB＝∠ECB＝30°，AC＝BC，∴△AEC为等边三角形，DF＝CD，∴AD+CD＝AD+DF≥AF，当A、D、F三点依次在同一直线上，且AF⊥BC时，AD+CD＝AD+DF＝AF＝AC•sin60°＝5的值最小，∴2AD+CD＝2（AD+CD）的最小值为5＝10．故答案为：10．11．解：如图，连接DN，DM，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∴B，D关于AC对称，∴MB＝MD，∴MB+MN＝MD+MN≥DN，∵AB∥CD，∴∠DCH＝60°，∵DH⊥CH，∴CH＝CD•cos60°＝2，DH＝2，∵BN＝CN＝2，CD＝4，∴NH＝CN+CH＝4，∴DN＝＝＝2，∴MB+MN≥2，∴MB+MN的最小值为2．故答案为：2．12．解：如图，连接OE，过点O作OH⊥AB于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠OHB＝90°，∴OH∥AD，∵OB＝OD，∴AH＝HB＝2，∴OH＝AD＝3，∵AE＝1，∴EH＝AH﹣AE＝1．∴OE＝＝＝，∴|PE﹣OP|≤EO＝，∴|PE﹣OP|的最大值为．故答案为：．13．解：在OB上取一点E′，使得OE′＝OE，中点E'，作射线FE'交AC于点P'．则PE＝PE'，∴|PF﹣PE|＝PF﹣PE'≤FE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，|PF﹣PE'|有最大值，即为FE'的长，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．∴AB＝BD＝AD＝12．∴OD＝OB＝6．∵BF＝DE＝4，∴OE＝OE′＝2，∴BE′＝OB﹣OE′＝4，∴BF＝BE′∵∠ABD＝60°，∴△BE'F为等边三角形，∴E'F＝FB＝2．故|PF﹣PE|的最大值为2．故答案为：2．14．解：连接BC交直线l于M′点，连接M′A，如图，当x＝0时，y＝ax2﹣bx﹣4＝﹣4，则C（0，﹣4），∵抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，∴A、B点关于直线l对称，∴M′B＝M′A，∴M′A+M′C＝M′B+M′C＝BC，∴此时M′A+M′C的值最小，∵BC＝＝4，∴M′A+M′C的最小值为4，当M点运动到M′点时，MA+MC有最小值，最小值为4．故答案为：4．15．解：（1）∵∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，∴∠C＝180°﹣121°＝59°，∴∠MAN＝∠C＝59°，∴AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣59°＝121°，故答案为121．（2）如下图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB＝121°，∴∠HAA′＝59°，∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝59°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×59°＝118°．故答案为：118．16．解：如图，连接AP，作点P关于AB，AC的对称点P′，P″，连接AP′，AP″，P′P″，P′P″分别交AB，AC于点M，N，连接PM，PN，此时△PMN的周长最小，最小值＝P′P″的长．过点A作AH⊥P′P″于点H．∵AP＝AP′＝AP″，∠PAB＝∠P′AB，∠PAC＝∠P″AC，∴∠P′AP″＝2∠PAB+2∠PAC＝2（∠PAB+∠PAC）＝120°，∴∠P′＝∠P″＝30°，∵AH⊥P′P″，∴P′H＝P″H＝PA′•cos30°＝PA，∴P′P″＝PA，∴PA最小时，P′P″的值最小，∵当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝，∴P′P″的最小值为3，∴△PMN的周长的最小值为3，故答案为：3．17．解：作点E关于BC的对称点E′，作点F关于CD的对称点F′，，连接E′F'交BC、CD于点H、G，则EH＝E'H，GF＝GF'，此时四边形EFGH周长取最小值，∴EFGH周长＝EF+EH+HG+FG＝EF+E'H+HG+F'G＝EF+E'F'∵AE＝2DF＝2，∴DF＝1，AF＝5﹣1＝4，DF'＝1，BE＝5﹣2＝3，∴AF'＝5+1＝6，AE'＝5+3＝8，∴E'F'＝10，∴EF＝＝＝2．∴EFGH周长最小值为：10+2．18．解：如图所示，作