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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,则的大小关系是()A. B. C. D.2.的展开式中的一次项系数为()A. B. C. D.3.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,过的直线与轴交于点,线段与交于点.若,则的方程为()A. B. C. D.4.《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为5分,分值高者为优),则下面叙述正确的是()A.甲的数据分析素养高于乙B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差D.乙的六大素养整体平均水平优于甲5.设i为数单位,为z的共轭复数,若,则()A. B. C. D.6.根据如图所示的程序框图,当输入的值为3时,输出的值等于()A.1 B. C. D.7.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据分别为,,,,由最小二乘法得到回归直线方程为,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年8.已知随机变量服从正态分布,,()A. B. C. D.9.已知数列的通项公式是,则()A.0 B.55 C.66 D.7810.已知集合,则元素个数为()A.1 B.2 C.3 D.411.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示,俯视图中的两个小三角形全等,则()A.PA,PB,PC两两垂直 B.三棱锥P-ABC的体积为C. D.三棱锥P-ABC的侧面积为12.设,则关于的方程所表示的曲线是()A.长轴在轴上的椭圆 B.长轴在轴上的椭圆C.实轴在轴上的双曲线 D.实轴在轴上的双曲线二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列的前项和为,,且满足,则数列的前10项的和为______.14.设等差数列的前项和为,若,,则______,的最大值是______.15.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的高三年级为12人,则抽取的样本容量为________人.16.已知,椭圆的方程为,双曲线方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知x,y,z均为正数.(1)若xy<1,证明:|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中点.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)已知函数.(1)若是函数的极值点,求的单调区间;(2)当时,证明:20.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,求的面积的值(或最大值).已知的内角,,所对的边分别为,,,三边,,与面积满足关系式:,且,求的面积的值(或最大值).21.(12分)随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元,求的分布列与数学期望.22.(10分)如图,在四面体中,.(1)求证:平面平面;(2)若,求四面体的体积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
利用函数与函数互为反函数,可得,再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.【详解】依题意,函数与函数关于直线对称,则,即,又,所以,.故选:B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较,属于基础题.2、B【解析】
根据多项式乘法法则得出的一次项系数,然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论.【详解】由题意展开式中的一次项系数为.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理的应用,应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数.同时本题考查了组合数公式.3、D【解析】
由题可得,所以,又,所以,得,故可得椭圆的方程.【详解】由题可得,所以,又,所以,得,,所以椭圆的方程为.故选:D【点睛】本题主要考查了椭圆的定义,椭圆标准方程的求解.4、D【解析】
根据雷达图对选项逐一分析,由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A选项,甲的数据分析分,乙的数据分析分,甲低于乙,故A选项错误.对于B选项,甲的建模素养分,乙的建模素养分,甲低于乙,故B选项错误.对于C选项,乙的六大素养中,逻辑推理分,不是最差,故C选项错误.对于D选项,甲的总得分分,乙的总得分分,所以乙的六大素养整体平均水平优于甲,故D选项正确.故选:D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理,属于基础题.5、A【解析】
由复数的除法求出,然后计算.【详解】,∴.故选:A.【点睛】本题考查复数的乘除法运算,考查共轭复数的概念,掌握复数的运算法则是解题关键.6、C【解析】
根据程序图,当x<0时结束对x的计算,可得y值.【详解】由题x=3,x=x-2=3-1,此时x>0继续运行,x=1-2=-1<0,程序运行结束,得,故选C.【点睛】本题考查程序框图,是基础题.7、D【解析】
根据样本中心点在回归直线上,求出,求解,即可求出答案.【详解】依题意在回归直线上,,由,估计第年维修费用超过15万元.故选:D.【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用,属于基础题.8、B【解析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出,进而可得出结果.【详解】,所以,.故选:B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率,属于基础题.9、D【解析】
先分为奇数和偶数两种情况计算出的值,可进一步得到数列的通项公式,然后代入转化计算,再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解:由题意得,当为奇数时,,当为偶数时,所以当为奇数时,;当为偶数时,,所以故选:D【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题,以及数列求和,考查了正弦函数的性质应用,等差数列的求和公式,属于中档题.10、B【解析】
作出两集合所表示的点的图象,可得选项.【详解】由题意得,集合A表示以原点为圆心,以2为半径的圆,集合B表示函数的图象上的点,作出两集合所表示的点的示意图如下图所示,得出两个图象有两个交点:点A和点B,所以两个集合有两个公共元素,所以元素个数为2,故选:B.【点睛】本题考查集合的交集运算,关键在于作出集合所表示的点的图象,再运用数形结合的思想,属于基础题.11、C【解析】
根据三视图,可得三棱锥P-ABC的直观图,然后再计算可得.【详解】解:根据三视图,可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示,其中D为AB的中点,底面ABC.所以三棱锥P-ABC的体积为,,,,,、不可能垂直,即不可能两两垂直,,.三棱锥P-ABC的侧面积为.故正确的为C.故选:C.【点睛】本题考查三视图还原直观图,以及三棱锥的表面积、体积的计算问题,属于中档题.12、C【解析】
根据条件,方程.即,结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型.【详解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,
方程,即,表示实轴在y轴上的双曲线,
故选C.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征,依据条件把已知的曲线方程化为是关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
由得时,,两式作差,可求得数列的通项公式,进一步求出数列的和.【详解】解:数列的前项和为,,且满足,①当时,,②①-②得:,整理得:(常数),故数列是以为首项,2为公比的等比数列,所以(首项不符合通项),故,所以:,故答案为:1.【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用,数列的前项和的公式,属于基础题.14、【解析】
利用等差数列前项和公式,列出方程组,求出首项和公差的值,利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式,可求出的表达式,然后利用双勾函数的单调性可求出的最大值.【详解】(1)设等差数列的公差为,则,解得,所以,数列的通项公式为;(2),,令,则且,,由双勾函数的单调性可知,函数在时单调递减,在时单调递增,当或时,取得最大值为.故答案为:;.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.15、【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【详解】设抽取的样本为,则由题意得,解得.故答案为:【点睛】本题考查了分层抽样的知识,算出抽样比是解题的关键,属于基础题.16、【解析】
求出椭圆与双曲线的离心率,根据离心率之积的关系,然后推出关系,即可求解双曲线的渐近线方程.【详解】,椭圆的方程为,的离心率为:,双曲线方程为,的离心率:,与的离心率之积为,,,的渐近线方程为:,即.故答案为:【点睛】本题考查了椭圆、双曲线的几何性质,掌握椭圆、双曲线的离心率公式,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)最小值为1【解析】
(1)利用基本不等式可得,再根据0<xy<1时,即可证明|x+z|⋅|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】(1)证明:∵x,y,z均为正数,∴|x+z|⋅|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,当且仅当x=y=z时取等号.又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,当且仅当x=y=z=1时取等号,∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy⋅2yz⋅2xz=2xy+yz+xz≥1,∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为1.【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想和运算能力,属中档题.18、(1)见证明;(2)【解析】
(1)设是的中点,连接、,先证明是平行四边形,再证明平面,即(2)以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建空间直角坐标系,分别计算各个点坐标,计算平面法向量,利用向量的夹角公式得到直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)证明:设是的中点,连接、,是的中点,,,,,,,是平行四边形,,,,,,,,由余弦定理得,,,,平面,,;(2)由(1)得平面,,平面平面,过点作,垂足为,平面,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系,则,,,,设是平面的一个法向量,则,,令,则,,,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直,线线垂直,利用空间直角坐标系解决线面夹角问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19、(1)递减区间为(-1,0),递增区间为(2)见解析【解析】
(1)根据函数解析式,先求得导函数,由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域,并根据导函数的符号即可判断单调区间.(2)当时,.代入函数解析式放缩为,代入证明的不等式可化为,构造函数,并求得,由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的,使得成立,因而求得函数的最小值,由对数式变形化简可证明,即成立,原不等式得证.【详解】(1)函数可求得,则解得所以,定义域为,在单调递增,而,∴当时,,单调递减,当时,,单调递增,此时是函数的极小值点,的递减区间为,递增区间为(2)证明:当时,,因此要证当时,,只需证明,即令,则,在是单调递增,而,∴存在唯一的,使得,当,单调递减,当,单调递增,因此当时,函数取得最小值,,,故,从而,即,结论成立.【点睛】本题考查了由函数极值求参数,并根据导数判断函数的单调区间,利用导数证明不等式恒成立,构造函数法的综合应用,属于难题.20、见解析【解析】
若选择①,结合三角形的面积公式,得,化简得到,则,又,从而得到,将代入,得.又,∴,当且仅当时等号成立.∴,故的面积的最大值为,此时.若选择②,,结合三角形的面积公式,得,化简得到,则,又,从而得到,则,此时为等腰直角三角形,.若选择③,,则结合三
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