高中数学必修5常考题型等比数列

高中数学必修

5

常考题型：等比数列 －

－

的等差数列，令

b＝，求证数列{b}是等．等比数列的定义如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母

q

表示q≠．

与

b

中间插入一个数

，使

，，b

成等比数列，那么

叫做

，b

的等比中项，这三个数满足关系式

＝±

.{}的首项为

qq≠，则通项公式为：＝q.【例

1

】 已知数列{}是首项为

，公差为

比数列，并求其通项公式．[解] 依题意

＝＋－×[解] 依题意

＝＋－×－＝－， 于是

b＝

.b ＝ ＝

而 ＝

b

定义法：

＝qq

为常数且

q≠或 ＝

∴数列{b}是公比为

的等比数列，通项公式为

b＝.【类题通法】证明数列是等比数列常用的方法 qq

为常数且

q≠，≥ {}为等比数列．等比中项法：＝·

≠，∈*⇔{}为等比数列．通项公式法：＝q其中

，q

为非零常数，∈*⇔{}为等比数列．【对点训练】{}的前

项和

＝－数列{}是等比数列．证明：∵＝－，∴＝－.∴＝－＝－－－＝－.∴＝.又∵＝－，∴＝≠又由

＝知

≠， ∴

＝.∴{}是等比数列.【例

2】 在等比数列{}中，＝，＝，求

；＋＝，＋＝，＝，求

.

因

为

[

解

]

因

为

＝q，

所

以qq＝， ①由 得

q＝，从而

q＝

，而

q＝，q＝，

②②①－于是

＝

＝

，所以

－于是

＝

＝

，所以

＝q＝.＋＝q＋q＝， ③由 得

q＝

，从而

＝ 又

＝，所以

× ＝，q 法 一 ： 因 为＋＝q＋q＝，

④④③

即

＝，所以

＝法二：因为

＋＝q＋，所以

q＝.由

q＋q＝，得

＝由

＝q＝，得

＝【类题通法】比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想＝·

qq≠中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q≠

验证求得的结果．【对点训练】．若等比数列的前三项分别为

，－，则第

项是 A． B．－C． ．－

已知等比数列

{}

为递增数列，且 25

＝＋＝，则数列

{}的通项公式

＝________.解析：选

A ∵解析：选

A ∵＝q

＝，q＝

＝－，∴＝根据条件求出首项

和公比

q，再求通项公式．由

＋＝⇒q－q＋＝⇒q＝

或，由

＝＝q>0⇒>0，又数列

{}递增，所以

q＝25＝>0⇒q＝q⇒＝q＝，所以数列{}的通项公式为

＝.答案： 【例

3

】 设等差数列{}的公差

d

不为

，＝d，若

是

与

的等比中项，则

等于 A．C．

．[解析] ∵

＝[解析] ∵

＝＋d，又∵＝

·

，∴

[

k

＋

8

d]

＝

d·(2

＋

d

，解得

＝－

舍去，＝[答案] B【类题通法】性质综合应用．可以简化计算、提高速度和准确度．②用来判断或证明等比数列．【对点训练】．已知

既是

与

b的等比中项，又是与 ＋bb的等差中项，则＋b的值是

A．

或

或－

．

或－C．

或－

＝，＋＝，＋b因此 的值为

或－

.＋b解析：选

由题意得，b＝＝，＋b＝， ＝－，∴ 或＋b＝ ＋b＝－．等比数列{}中，＋＝，＋＝，

∴q＝

，∴q＝

∴q＝

，∴q＝

. A. B.C． ．解析：选

B ∵{}为等比数列，∴＋＝＋q， ．已知等差数列{}的公差为

，若

，，成等比数列，则

等于 A．C．－

．－解析：

选

＝－，＝＋，＝＋×＝＋，由于

，，成等比数列，则

23＝，所以＋＝－＋，解得

＝－{}中，

＝

－＝，则

＝________.∴

＝

，又

＝，所以

∴

＝

，又

＝，所以

＝×.答案：× 因此{}是以为公比的等比数列，

．已知

{}是递增等比数列，＝，－＝，则此数列的公比

q＝________.解析：由题意得

q－q＝，解得

q＝

或

q公比

q＝

，求项数

.

q

＝ q＝

公比

q＝

，求项数

.

q

＝ q＝

，

得 ，∵＞，∴答案：．已知{}为等比数列，且＝，＝，该数列的各项都为正数，求

.

若等比数列{}的首项

＝，末项

＝，

若等比数列{}中

＝，求公比