第一章数据处理插值法数学

2023/2/11化工应用数学青海大学化工学院化工系能源化工教研室李慧芳电话：2023/2/12教材《化工数学》（第三版）.周爱月主编.

化学工业出版社.2011.2023/2/13引言一、学习本课程的主要目的《化工应用数学》是在《高等数学》和《》化工原理等课程的基础上开设的一门应用数学课程，主要讨论化工中常用的数学方法。是高等工科院校化工类本科专业的一门主要基础理论课，在化工领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握与化工有关的理论和常用的数学方法，逐步培养学生解决实际问题的能力，并为其他相关的课程奠定必要的应用数学基础。2023/2/14二、本课程主要学习内容第一章数据处理

第二章代数方程（组）的数值解法

主要了解插值、数值积分、数值微分以及如何由实验数据建立数学模型利用代数方程组的数值解法解决化工中的一些问题（多组分体系的物料衡算、计算各种化合物的物理化学性质等）2023/2/15二、本课程主要学习内容第三章常微分方程数值解第四章拉普拉斯变换第五章偏微分方程及特殊函数

利用这类方法解决化工中关于扩散、反应、传质、传热和流体流动等问题。

掌握利用拉普拉斯变换求解常微分方程，线性差分方程，了解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换性质

掌握利用分离变量法求解偏微分方程，非齐次方程边界条件的处理2023/2/16三、本课程考核办法平时成绩40%考勤(20%)+作业(80%)期末考试60%

2023/2/17第一章数据处理1.1插值法1.2数值微分1.3数值积分1.4最小二乘曲线拟合*拉格朗日插值法、牛顿插值法*代数精度、复化求积公式*线性最小二乘法2023/2/18第一章数据处理1.1插值法1.1.1概述

化工物性数据或数学手册附录中各种函数表，如三角函数、对数表、特殊函数表等，将自变量与函数关系通过表格形式给出。2023/2/19第一章数据处理1.1插值法1.1.1概述

代数插值可以这样描述：给定函数在区间有n+1个互异点，节点的函数值，建立一个次数不超过n的代数多项式。使满足2023/2/1101.1插值法1.1.1概述几何意义：在给定函数节点值的n+1个已知点上，建立一条函数多项式曲线，使它严格通过这些已知函数点，以此多项式曲线来近似原函数曲线。2023/2/1111.1插值法1.1.1概述插值函数的唯一性？节点上节点以外假设有两个这样的插值函数均满足插值条件，

,那么对于即将有n+1个零点，由此可断定2023/2/112用近似代替，除了在插值节点没有误差外，在其它点上一般是存在有误差的，记截断误差

插值多项式的截断误差1.1插值法1.1.1概述n次多项式余项插值余项2023/2/1131.1插值法1.1.2拉格朗日插值（1）线性插值求线性插值多项式使满足条件假定已知区间端点值2023/2/114（1）线性插值

几何意义：用通过两点的直线来近似表示。表达式可由两点公式给出特点：基函数2023/2/1151.1插值法1.1.2拉格朗日插值（2）二次插值几何意义：用通过三点的抛物线来近似表示函数。2023/2/116基本多项式为二次多项式；‚其插值基函数可根据因式分解定理求出。（2）二次插值和线性插值一样，可以采用插值基函数的方法构造需满足以下两个条件：2023/2/117（2）二次插值基函数例

已知用线性插值和二次插值计算解：由题意得用线性插值计算时，由线性插值可得用二次插值计算2023/2/1191.1插值法1.1.2拉格朗日插值（3）n次插值2023/2/120（3）n次插值n次插值多项式可表示为拉朗格朗日多项式2023/2/121已知丙烷在如下温度、压力下的导热系数数据。例：（3）n次插值2023/2/122（3）n次插值2023/2/123（3）n次插值作业习题P62(3)2023/2/1251.1插值法1.1.3差商与牛顿插值公式拉格朗日插值的优点：对称性、便于记忆、编程；

缺点：基函数的计算依赖于全部插值节点。克服这一缺点的有效方法：构造牛顿插值多项式。2023/2/1261.1插值法1.1.3差商与牛顿插值公式（1）差商2023/2/127（1）差商又引入符号二阶差商是一阶差商的差商。二阶差商k阶差商1.1插值法1.1.3差商与牛顿插值公式2023/2/1281.1插值法1.1.3差商与牛顿插值公式（2）差商的性质2023/2/1291.1插值法1.1.3差商与牛顿插值公式（2）差商的性质导数2023/2/1301.1插值法1.1.3差商与牛顿插值公式（3）牛顿插值公式及其余项引入差商的概念后，就可以用差商表示牛顿多项式的系数。2023/2/1311.1插值法1.1.3差商与牛顿插值公式（3）牛顿插值公式及其余项以此类推2023/2/132牛顿插值公式中的各阶差商通常用列差商表的形式，计算方便。（3）牛顿插值公式及其余项2023/2/1331.1插值法1.1.3差商与牛顿插值公式（3）牛顿插值公式及其余项

牛顿插值公式和拉格朗日插值公式尽管形式不一样，但从实质上理解二者是等价的，因此两者余项也应是等价的。注意：1、为提高计算精度，应使尽量小。

2、若有较多节点可供选择时，应选择靠近插值节点的数据进行计算。2023/2/134（3）牛顿插值公式及其余项例：已知如下函数表，用牛顿插值法计算f(0.596)解：首先做差商表2023/2/135（3）牛顿插值公式及其余项因此，选择节点误差1.1插值法1.1.3差商与牛顿插值公式2023/2/136（3）牛顿插值公式及其余项例

已知丙烷饱和蒸气压与温度变化的数据，试求-20℃和20℃丙烷的蒸气压。解：首先做差商表2023/2/137

按取未知插值点邻近节点数据的原则，牛顿插值公式计算至三阶差商需四个节点数据，计算-20℃取前面四个节点合适。（3）牛顿插值公式及其余项计算20℃下的饱和蒸气压应从表末开始，即得2023/2/1381.1插值法1.1.4差分与等距节点插值公式实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可进一步简化，计算也简单很多。为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念。（1）差分及其性质一阶向前差分一阶向后差分一阶中心差分2023/2/139利用一阶差分可定义二阶差分为（1）差分及其性质一般地可定义阶差分为1.1插值法1.1.4差分与等距节点插值公式2023/2/140（2）差分与差商的关系1.1插值法1.1.4差分与等距节点插值公式因此，同理，差商与相向后差分关系为2023/2/1411.1插值法1.1.4差分与等距节点插值公式（3）等距节点插值公式引入牛顿前插公式2023/2/1421.1插值法1.1.4差分与等距节点插值公式（3）等距节点插值公式同理，引入（p为负值），可得当引入，可得牛顿前插公式牛顿后插公式2023/2/143（3）等距节点插值公式例利用下列数据，求液氮在下的蒸气压。解：由所给数据做差分表2023/2/144（3）等距节点插值公式前插后插前插外推后插外推可得到相同的结果。2023/2/1451.1插值法1.1.5分段插值法（1）分段线性插值求一个分段函数P(x),使其满足:（1）P(xi)=yi(i=0,1,...,n)（2）

在每个子区间[xi，xi+1]

上是线性函数.称满足上述条件的函数P(x)为分段线性插值函数.2023/2/146（2）分段抛物线插值(2)在每个子区间[xi-1,xi+1]上，L(x)是次数不超过2的多项式.称满足上述条件的函数L(x)为分段抛物线插值函数.（1）L(xi)=yi(i=0,1,...,n);对求一个分段函数L(x),使其满足:即将区间[a,b]分为小区间[xi-1,xi+1](i=1,2,…,n)作业习题P62(7)2023/2/1481.1插值法1.1.6三次样条插值函数

（1）定义

给定区间[a,b]的一个划分a=x0<x1<…<xn=b，yi=f(xi)(i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足：（1）S(xi)=yi(i=0,1,…,n);（2）

在每个小区间[xi,xi+1](i=0,1,...,n-1)上是次数不超过3的多项式;(3)在每个内节点xi(i=1,2,...,n-1)上具有二阶连续导数,则称S(x)为关于上述划分的一个三次样条插值函数。2023/2/149

①

③在任一区间上是次数不高于3次的多项式。

②连续性

（1）定义S(x)满足下列条件：1.1插值法1.1.6三次样条插值函数

2023/2/1501.1插值法1.1.6三次样条插值函数

（2）求解函数表达式A待定系数法由三次样条函数的定义可得：另外2个方程由边界条件给出。2023/2/151（2）求解函数表达式A待定系数法例

解：由已知条件知，由两个区间就有两个待定方程。首先利用插值条件2023/2/152（2）求解函数表达式A待定系数法即可求出然后连续条件边界条件2023/2/153（2）求解函数表达式B三弯矩法思路：

是一个次数不超过三次的多项式，则为一个线性函数，对进行积分，即可求出。积分可得：合并可得：2023/2/154（2）求解函数表达式B三弯矩法2023/2/155（2）求解函数表达式B三弯矩法三对角矩阵2023/2/156（2）求解函数表达式B三弯矩法例：解：2023/2