第二章 对称图形 -圆 辅助圆：定点定长、定弦定角问题 专题讲义 九年级数学上册

专题一辅助圆：定点定长知识梳理最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值。动点的运动轨迹是可以变的，比如点P的轨迹也可以是一个圆，在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题。若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小。典型例题例1如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC＝5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为________。例2如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是__________。例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________。例4如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF＋PD的最小值是_________。例5如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B'。当PB＝6时，在直线l变化过程中，求△ACB'面积的最大值。例6如图①，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，点G在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a，AC=b，AB=c。（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图②，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG。 图① 图②例7如图，已知四边形ABCD是矩形，BC=4，AB>2，若专题二定弦定角知识梳理【模型分析】若线段AB的长度及其所对的∠ACB的大小不变，则点C的运动轨迹是以AB为弦的圆。（1）当∠C<90°时，点C在如图所示的优弧结论：∠AOB=2∠C。（2）当∠C=90°时，点C在AB上运动（不与点A、B重合）结论：弦AB为⊙O的直径。（3）当∠C<90°时，点C在如图所示的劣弧典型例题例1如图，边长为23的等边△ABC内接于⊙O，D为劣弧BC上一点，过点B作BE⊥OD于点E，当点D从点B沿劣弧BC例2已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE＝CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________。例3如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________。例4如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值是_________。例5如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝5，AC＝4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为_______________。例6如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________。例7如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为_______________。课堂练习1、如图①，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，AB=5（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）如图②，连接BD，设DE、AB、BD的中点分别为M、N、P，连接MN、NP、PM，求∠MNP的度数；（3）如图③，设AD、BE所在直线相交于Q，求△ABQ的最小值。2、问题发现：（1）如图①，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边长的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED问题探究：（2）如图②，在平面直角坐标系中，分别以A（-2,3）、B（3,4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，试求PM+PN的最小值。问题解决：（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB长为2米，边框BC长为3米，∠DAB=∠B=∠C=90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D、E允许在AD、3、在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是________。4、如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的