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1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一般地,对于nN*有二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是哪些?共有多少个?
下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时,二项式系数有什么特点?1.“杨辉三角”的来历及规律
杨辉三角展开式中的二项式系数,如下表所示:
11
121
1331
1464115101051
1615201561
………………二项式系数的性质
展开式的二项式系数依次是:
从函数角度看,可看成是以r为自变量的函数,其定义域是:
当时,其图象是右图中的7个孤立点.二项式系数的性质2.二项式系数的性质
(1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式得到.图象的对称轴:二项式系数的性质(2)增减性与最大值
由于:所以相对于的增减情况由决定.
二项式系数的性质(2)增减性与最大值
由:
二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。
可知,当时,二项式系数的性质(2)增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式系数
取得最大值;
当n为奇数时,中间两项的二项式系数、相等,且同时取得最大值。(3)各二项式系数的和
二项式系数的性质在二项式定理中,令,则:
这就是说,的展开式的各二项式系数的和等于:同时由于,上式还可以写成:这是组合总数公式.
一般地,展开式的二项式系数有如下性质:
(1)
(2)
(3)当时,
(4)
当时,课堂练习:2)的展开式中,二项式系数的最大值是
;3)若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大,则n=
;
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系
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