第三章-线性系统的时域分析法

自动控制原理东华理工大学机电学院自动化系第三章线性系统的时域分析法第三章线性系统的时域分析法3.1系统时间响应的性能指标

3.2一阶系统的时域分析

3.3二阶系统的时域分析

3.4高阶系统的时域分析

3.5线性系统的稳定性分析

3.6线性系统的稳态误差计算§3.1概述系统的数学模型建立后，便可对系统进行分析和校正。分析和校正是自动控制原理课程的两大任务。

系统分析是由已知的系统模型确定系统的性能指标；

校正是根据需要在系统中加入一些机构和装置并确定相应的参数，用以改善系统性能，使其满足所要求的性能指标。系统分析的目的在于“认识”系统，系统校正的目的在于“改造”系统。系统的分析校正方法一般有时域法、根轨迹法和频域法，本章介绍时域法。3.1系统时间响应的性能指标

1．典型输入信号2、动态过程和稳态过程动态过程和稳态过程又称瞬态响应和稳态响应

(TransientResponse&SteadystateResponse)。在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都有动态过程和稳态过程两部分组成。1．瞬态响应：在典型输入信号作用下，指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因，系统的输出量不可能完全复现输入量的变化。动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。一个实际运行的系统其动态过程必须是衰减的，即系统必须是稳定的。2．稳态响应：在典型输入信号作用下，当t

趋于无穷大时，系统的输出量的表现方式。

3、动态性能和稳态性能1．稳态特性：稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。2．动态性能：在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。通常，控制系统的性能指标，系统在初始条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对阶跃输入信号的瞬态响应。实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。1、延迟时间td：响应曲线从运动开始第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。

2、上升时间tr：响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快。

3、峰值时间tp：响应曲线超过其终值到达第一个峰值所需要的时间。4、调节时间ts:在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间

5、最大超调量

tr、tp评价系统的响应速度.ts同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标.评价系统的阻尼程度3.2一阶系统的时域分析当初始条件为零时，其传递函数为

这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。

1、一阶系统单位阶跃响应

其传递函数为特征方程：特征根：待定系数如下当：有：当：有：求拉氏反变换有：传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。2、一阶系统的单位脉冲响应

响应曲线呈单调下降，无超调，无振荡，在t=0

处下降速率最大，之后速率变小，且下降速率与时间常数成反比，即T越小，下降速率越快。

3.一阶系统的单位斜坡响应

单位斜坡函数输入时

所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为

结论：一阶系统在跟踪单位斜坡信号时，总存在位置误差，且位置误差的大小随时间而增大，最终趋时间常数T，因此T越大则误差也越大。

减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差

4.一阶系统的单位加速度响应

当

上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。积分积分3.3二阶系统的时域分析二阶系统的特征方程：

根表达式：

若系统阻尼比零阻尼系统

欠阻尼系统

临阻尼系统过阻尼系统

负阻尼系统

S1,2=为两个不相等的负实根

一对纯虚根（一对复数根）（一对负的重实根）取值范围不同，特征根形式不同，响应特性也不同1.二阶系统的阶跃响应

(1)欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

令－衰减系数－阻尼振荡频率取拉氏反变换

阻尼角一对共轭负复数根(2)临界阻尼单位阶跃响应是一条无超调的单调上升曲线取拉氏反变换

(3)过阻尼

一对负的重实根为两个不相等的负实根ζ=1ζ＞1(4)无阻尼情况(ζ=0)系统的单位阶跃响应为系统一对纯虚根所以,无阻尼情况下系统的阶跃响应是等幅正(余)弦振荡曲线(如图3-8所示),振荡角频率是ωn。根表达式：其振荡频率为而只能测得

·实际控制系统通常有一定的阻尼比，因此不可能通过实验方法测得

ωn而只能测得ωd5.二阶系统阶跃响应的性能指标计算

（1）延迟时间td一对共轭负复数根延迟时间td、上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts、最大超调量令所以当延迟时间td（2）上升时间tr令求得

求得

欠阻尼二阶系统的特征参量各指标之间是有矛盾的（3）峰值时间tp对h(t)求导，并令其为零，

解得（4）最大超调量超调量在峰值时间发生在tp时刻

（5）调节时间ts当通过对调节时间、超调量与阻尼比之间关系得比较，可以得出如下的基本结论：调节时间

ts、是相互矛盾的某位置控制系统(随动系统)，其闭环传递函数矛盾阻尼大，超调小矛盾！wn一定,x↑→b↓→tr↑→速度慢用什么办法来改善系统性能呢？x↑→K↓wn↑→K↑6．二阶系统性能的改善 在前向通道串连一个一阶微分环节(PD)，闭环传递函数变为：x’=x+0.5wnTd，z=Td-1（零点）（1）比例—微分控制1C(s)R(s)wn2—————s(s+2xwn)Tds1+TdsC(s)R(s)wn2—————s(s+2xwn)可通过适当选择微分时间常数Td，改变系统阻尼比x(变大)；比例－微分控制(PD)可以不改变自然频率wn，但可增大系统的阻尼比x；阻尼比x增大，但自然频率wn不变，因此系统的性能得到了改善(sp↓,ts↓)。但PD控制同时给系统增加了一个闭环零点，零点是如何影响系统响应的还需进行深入的研究：2.速度反馈控制标准二阶系统加速度负反馈，其开环与闭环传递函数分别变为：

系统自激振荡频率不变，阻尼比增大为： x’=x+0.5wntt

sC(s)R(s)wn2—————s(s+2xwn)结论：①测速反馈会降低系统的开环增益，从而会加大系统在斜坡输入时的稳态误差②测速反馈不影响系统的自然频率不变；③系统的阻尼比增大；④测速反馈不形成闭环零点，与PD对系统动态性能的改善程度不相同；

⑤设计时，可适当增加原系统的开环增益，以减小稳态误差。3.4高阶系统的时域分析

若描述系统的微分方程高于二阶，则该系统为高阶系统。从理论上讲，高阶系统也可以直接由传递函数求出它的时域响应，进而确定系统的瞬态性能指标。但是，高阶系统的分析计算比较困难，同时，在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。因此工程上通常把高阶系统适当地简化成低阶系统后再进行分析。3.4.1高阶系统单位阶跃响应3.4.2闭环主导极点的概念3.4.3高阶系统单位阶跃响应的近似分析3.4.1高阶系统单位阶跃响应设系统的所有零点、极点互不相同，且极点中有q个实数极点和r对复数极点(q+2r=n)，零点中只有实数极点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换为零初始条件下的单位阶跃响应为：(3-32)式中A0、Ai、Bk都是进行部分分式展开时所确定的常数，与系统零极点分布有关。结论：1)系统响应由稳态值和一些惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成；2)瞬态分量取决于它们的指数Pi、xkwnk的值和相应项的系数Ai、Bk： ①系统闭环极点距虚轴越远，即Pi或xkwnk值越大，则该项衰减越快，反之亦然； ②瞬态分量的系数与闭环零极点相对位置有关:如果某极点与零点很靠近【偶极子】，则相应分量的系数也很小(Pi-Zi≈0)，这对零极点对系统过渡过程的影响也将很小。3)即系统的瞬态特性主要由那些靠近虚轴而又远离零点的极点——主导极点——来决定。

3.4.2闭环主导极点的概念 如系统的某个(对)极点离虚轴最近，且其附近又无零点存在，而其他所有极点与虚轴的距离都在此极点与虚轴的距离的5倍以上，则系统的瞬态特性将主要由这个(对)极点来确定，而其它极点的影响可以忽略不计，这个(对)极点就称为高阶系统的主导极点。如：s1s2s3xwn主导极点示意图5xwns1,2是主导极点，因为Re[s3]＞5Re[s1] 高阶系统的主导极点常常是共轭复数极点，因此高阶系统可以常用主导极点构成的二阶系统来近似。相应的性能指标可按二阶系统的各项指标来估计。在设计高阶系统时，常利用主导极点的概念来选择系统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，故可以近似的用二阶系统的性能指标来设计系统。闭环主导极点的应用3.4.3高阶系统单位阶跃响应的近似分析（参考p106-108)1)闭环零点的作用为减小峰值时间，使系统响应速度加快，并且闭环零点越接近虚轴，这种作用越显著；2)闭环非主导极点的作用为增大峰值时间，使系统响应速度变缓；3)若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响相互削弱；4)若系统不存在闭环零点和非主导极点，则式(3—69)还原为式(3—22)。3.5线性系统的稳定性分析 在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。在这一节中将讨论稳定性的定义，稳定的充要条件及判别稳定性的基本方法。3.5.1稳定的概念与定义3.5.2线性系统稳定的充要条件3.5.3稳定判据1稳定的概念与定义

稳定性有多种定义，这里只讨论其中最常用的一种，即渐近稳定性：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不稳定。

稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。在下面的讨论中，如果系统的数学模型是建立在小偏差线性化的基础上，则认为系统中各信号的变化均不超出其线性范围。此时，该系统采用上述的稳定性的定义。

2．线性系统稳定的充分必要条件假设系统的初始条件为零，外部激励为输入信号

线性系统稳定要满足的条件，实际上取决于其特征根，也即系统闭环传递函数的极点

.c(t)=A0+A1es1t+…+Anesnt线性系统稳定的充分必要条件为：

系统微分方程的特征根的全部根都是都负实数或实部为负的复数，也即，系统闭环传递函数的极点均位于S平面的左半平面。

3．劳思—赫尔维茨稳定判据（1）赫尔维茨稳定判据

系统特征方程：

系统稳定的充分必要条件：特征方程的全部系数都为正，且主行列式及对角线上的子行列式都大于零。即：当系统特征方程的次数较高时，应用赫尔维茨判据的计算工作量较大系统稳定的充要条件：特征方程所有系数均为正，则系统可能稳定，则可用劳斯判据判稳。劳思表中第一列的所有元素都大于零，系统必定稳定。

(2)劳思稳定判据系统特征方程的标准形式：

判别方法：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。举例(1)三阶系统特征方程式：

列劳斯表：

系统稳定的充分必要条件是：

特殊情况一（第一列中有一元素为零）

有两个根位于右半平面，系统不稳定。

注意：劳斯表每列元素同时乘或除某一个数，不影响计算结果。特殊情况二（劳斯表中一行元素均为零）：

征方程为:

辅助方程：

第一列没改变符号，右半平面没有根

有一对共轭虚根。辅助方程：

至少有三种情况：1、特征方程有一对实根，大小相等，符号相反2、有一对虚根3、有对称于S平面原点的共轭复根

举例：试用劳斯判据确定系统稳定的开环增益K的取值范围

R(s)C(s)闭环传函：

系统特征方程式：为使系统稳定，必须

40k>0即k>00<k<14

k<143.6线性系统的稳态误差计算前提：系统稳定一个符合工程要求的系统，其稳态误差必须控制在允许的范围之内。如工业加热炉的炉温误差若超过其允许的限度，就会影响加工产品的质量。又如造纸厂中卷绕纸张的恒张力控制系统，要求纸张在卷绕过程中张力的误差保持在某一允许的范围之内。重要性能指标。

动态性能:稳态性能:系统性能指标:1．误差与稳态误差在实际系统中是可以量测的

输出的实际值

输出的希望值（真值很难得到）

可得误差闭环传递函数

误差传递函数拉氏反变换可见，不同的输入对同一个系统所产生的误差是不同的

终值定理，求稳态误差

公式条件：的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）系统的稳态误差，不仅与开环传递函数的结构有关，还与输入形式密切相关。对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描述的系统结构。因此，按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。2、系统类型

令系统开环传递函数为

为便于讨论，令

有稳态误差因为实际输入多为阶跃函数，斜坡函数和加速度函数或者其组合，因此分别讨论。

此s->0是终值定理3、阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数

令则由如果要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统。习惯上，阶跃输入作用下的稳态误差称为静差。

4、斜坡输入作用下的静态误差与静态速度误差系数

令称为静态速度误差系数，指系统在速度(斜坡)输入作用下，系统的稳态输出与输入之间存在

由结论：0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入Ⅰ型系统稳态时能跟踪斜坡输入，但存在一个稳态位置误差Ⅱ型及Ⅱ型以上系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差

5、加速度输入作用下的静态误差与静态加速度误差系数

令令分析结论：（1）系统的稳态误差与输入信号有关（2）系统的稳态误差与开环放大倍数K基本成反比关系。对于有差的系统，K值越大稳态误差越小。（3）系统的稳态误差与开环传递函数的积分环节数ν有关。积分环节数增加，稳态误差减小，但同时系统的稳定性变差。

例系统结构图如图所示，求r(t)分别为A·1(t),At,At2/2时系统的稳态误差。解

系统自身的结构参数影响ess

的因素：

外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）

外作用的类型（控制量，扰动量及作用点）构根据定义求解例系统结构图如图所示，已知输入