微积分9-2对坐标曲线积分

第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分第十一章一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)2.定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作若为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,3.存在条件：4.组合形式5.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!6.物理意义⌒⌒⌒二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明:下面先证存在,且有对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理例1.计算其中L为沿抛物线解法1取x为参数,则解法2取y为参数,则从点的一段.例2.计算其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式例4.设在力场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为例5.求其中从z轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程三.两类曲线积分之间的联系：（可以推广到空间曲线上）有向曲线弧L的切向量为))(),((tttyj¢¢=r可用向量表示有向曲线元则推广空间曲线类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A在t上的投影为例6解

所以把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分.其中L为沿抛物线从点(0,0)到(1,1).例7解oxyzPQ(3,2,1)32练习.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:原点O的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:F的大小与M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若题中F的方向改为与OM垂直且与y轴夹锐角,则2.

已知为折线ABCOA(如图),计算提示:备用题1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xOy面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F的方向指一质点在力场F